思考题(四)

题11.设R是全体实数集合,对于函数f(x)=x~2+ax+b,(a,b∈R)定义集合 A={x|x=f(x),x∈R}, B={x|x=f(f(x)),x∈R}, (1) 若a=-1,b=-2,求 A∪B,A∩B; (2) 若A={-1,3),求B; (3) 若A={a},求证A∩B={a}。题12.设a、b、c分别是△ABC的三个角A、B、C的对边。证明:方程 x~2-2abxsinC+abC~2sinAsinB=0     

第四届中国东南地区数学奥林匹克 第二天

(2007年7月28日,8:00-12:00,浙江镇海)五、设函数f(x)满足:f(x 1)?f(x)=2x 1(x∈R),且当x∈[0,1]时有f(x)≤1.证明当x∈R时,有f(x)≤2 x2(金蒙伟供题)证:令g(x)=f(x)?x2,则g(x 1)?g(x)=f(x 1)?f(x)?(x 1)2 x2=0,所以g(x)是R上以1为周期的周期函数;又由条件当x∈[0,1]时有f(x)≤     

有奖解题擂台(71)

题设R是全体实数的集合.试解决下列两个问题: (1)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(f(x) f(x*y))=f(x) x*f(y); (2)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(x2 y f(y) y*f(x))=2*y y*f(x) (f(x))2.     

探求函数的奇偶性、对称性、周期性三者关系

背景资料　 2 0 0 1年全国卷高考试题 (第 2 2题 ) :设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,其图象关于直线x=1对称 ,对任意x1,x2 ∈ [0 ,12 ]都有 f(x1+x2 ) =f(x1)·f(x2 ) ,且 f( 1 ) =a >0 .( 1 )求 f( 12 )及f( 14) ;( 2 )证明f(x)是周期函数 ;( 3 )记an=f( 2n +12n) ,求limn→∞(lnan) .探求设想　对上面资料中的部分条件和结论删除 ,把其内容分成三个部分 :①f(x)是定义在R上的偶函数 ;②f(x)图象关于直线x =1对称 ;③ f(x)是以T =2为一个周期的周期函数 .我们可以这样设想 :把上面任两个条件组合能否推得第三个条件成立 ?显然由①② ③就…     

一道课本习题的巧用

人教版试验修订本数学高一(上)复习参考题二(B)第6题: 设y=f(x)是定义在R上的任一函数,求证: (1)F_1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F_2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。该题本身的证明较简单,但它的作用却不简单,成为判断函数奇偶性的又一有力工具,应用它可以很方便地解答某些高考题。     

导数用于根的问题(高一、高二、高三)

本文例析导数的一个应用:研究方程根的问题,这可以提高学生对高考新题型的适应能力.例1证明2x=sinx只有一个根x=0.证明设f(x)=2x-sinx,x∈R.因为f'(x)=2-cosx>0,所以f(x)在R上递增.而当x=0时,f(x)=0,由单调函数自变量与函数值一一对应知原方程有唯一根x=0.     

导数易错题辨析

在导数的学习中 ,我们常常会遇到下面一些问题 :例 1　已知 f(x) =kx3-x2 + 13 kx-16在R上单调递增 ,则k的取值范围是 (　　 )(A)k >1　　　　 (B)k≥ 1(C)｜k｜ >1(D)｜k｜≥ 1错解　f′(x) =3kx2 -2x+ 13 k ,依题设 ,对一切x ∈R ,f′(x) >0 .∴3k>0Δ =4-4 · 3k·13 k<0 ,∴k >1,选A .正解　依题设 ,对一切x∈R ,f′(x) ≥0 ,应选B .错因辨析　我们知道 ,对一切x∈R ,f′(x) >0是 f(x)在R上单调递增的充分不必要条件 .该题中 ,f(x)在R上单调递增的充要条件是对一切x∈R ,f′(x)≥ 0 .值得提醒的是 ,并不是对一切函数 f(x) ,f′(x)…     

一道高考题的溯源·探究·巧证·推广

一道好题不一定要有多么难,只要它是数学知识的有机融合体(非矫揉造作的堆砌物),能够很充分地考查解题者对数学概念本质属性的理解、对定理或公式的掌握程度,且能起到举一反三的功效,我们就可以称之为一道好题!当然一道好的高考题更能发挥试题的导向作用,特别是通过解题过程对理性思维能力进行深入的考查,比如2009年高考天津卷文科第10题,把导数应用于单调性、常规问题的同时,进一步升华到处理与不等式恒成立问题的证明.给不等式的证明增添了新的思路.1一道好题堪称经典2009年高考天津卷文科第10题如下:问题1设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是.A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)     

有奖解题擂台（91）

题 设R是由全体实数组成的集合,试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有 f(x2+y+f(y)+y·f(x))=2·y+f(x·y+(f(x))2.     

对函数非常规性考查的探索

引例设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列{cn}不是等比数列. 此题(2000年高考题)给我们以非同寻常的感觉.随着教学改革与研究性学习的兴起,高考中对函数性质的考查也开始非同寻常起来,又例如:设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,讨论f(x)的奇偶性     

函数奇偶性与周期性的一种关系

函数的奇偶性与周期性有如下一种关系:定理1设函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,且f(a-x)=f(a x)(a≠0),则函数y=f(x)必是周期函数,且2a是它的一个周期.证明:由f(x)是偶函数知,对任意x∈R,有f(-x)=f(x).又因为     

一道高考题求解中的类比联想

<正> 2001年高考第22题是一道关于函数的问题.题目是: 设f(x)是定义在R上的偶函数,其函数图象关于直线x=1对称,对于任意的x1,x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)且f(1)=a>0.     

丰富多彩的函数——奇偶性、对称性、周期性

函数奇偶性、对称性、周期性关系的复杂性带来研究的灵活性和高考命题的热点.1奇偶性、对称性与周期性 定理 1设y=f(x)是定义在R上的奇函数,它的图象关于直线x=a对称(a为不等于零的常数),那么 (1)y=f(x)是周期函数; (2)若y=f(x)的图象在x=-a和x=a之间无对称轴,则y=f(x)的最小正周期T=4|a|. 证明(1)因y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以对于任意的x∈R都有     

几道高考压轴题所蕴涵的重要分析引理

1先看2001年高考数学题(全国卷的压轴题,第22题)的表述:设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,P x1,x2∈0,21都有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a>0.(1)求f(21)及f(41);(2)证明f(x)是周期函数;(3)记an=f(2n 21n)求lni→m∞(lnan).这里问题的关键是函数方程式f(x1 x2     

关于函数的两个不等式

(四川省2011年高考卷(理科)第22题)已知函数f(x)=2/3x+1/2,h(x)=x.(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x^2[h(x)]^2,求F(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程lg[3/2f(x-1)-3/4]=2lgh(a-x)-2lg(4-x);(Ⅲ)设n∈N*,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥1/6.     

有奖解题擂台(66)

1.设单射函数f:R→R对于任何的x,y∈R,都有f(f(x) f(y))=f(x y)-2. 求证:对于任何x∈R,都有f(f(x)-2003)=f(x)-2004.     

用分离常数法解2012年高考陕西卷压轴题

高考题1:(陕西·文·21)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.高考题2:(陕西·理·21)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;     

知其然更要知其所以然--对一道试题的解法剖析

题 已知a＞0,函数f(x)=ax-bx2. (Ⅰ)当b＞0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2b; (Ⅱ)当b＞1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b;     

相关,又有区别的几对概念(高一、高三、高三)

1.“定义域”及“值域”例1 设函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)(a∈R). (1)若f(x)的定义域是R,求a的取值范围; (2)若f(x)的值域是R,求a的取值范围. 分析 (1)f(x)的定义域是R,即对一切r∈R.ax2+2x+1恒为正数,其充要条件是     

一类函数迭代问题的“周期性”及其证明(高一、高二、高三)

近日,笔者在做一些数学奥林匹克赛题时,遇到了这样两道题: 题1 设n∈z,函数f:Z→R满足证明:对任意n≤100,都有f(n)=91. 题2 函数f定义在整数集上,且满足求f(84).对于题1,书中是通过递推的方法,证明了