数形结合三例(高二、高三)

带l¨’17J 、, /_、譬【,{/I。珂^0 P I丁 …V…例1 实数z,y满足z。+∥。一6z～4y一 大(小)值.即当直线3z+y—z—O与圆中阴影9,则2z一3y的最大值及最小值的和等于 部分有公共点时求z取得的最. (99年“希望杯”) 分析 原方程即(z一3)。+(岁+2)。一4,设2—2-r一3y,则本题相当于在约束条件(z一3)。+(y+2)。一4下求z一2z一3∥的最值.即直线2z一3y—z===0与圆相切时,获得最值.由d一卫苎芝兰垒兰尘l √2。+(一3)。图1—2得 z。,一12+2~/13,2。一12—2~/13. 例2 设z,.y满足口rccos(y一2)一口rcs砌(z一1),则3z+y的取值范围是( )(A)[5抓,5炯].(B…     

循序渐进的数学题组

学生做数学题应重“质”,而非重“量”。教师可根据教材内容,学生的学习层次,由易到难,精选不同的题目,编成题组。学生在做这些题组时,知识循序渐进,达到了事半功倍的学习效果。一、巩固性题组(为重现、熟悉基本知识、方法而设置)1.当x>0时,求证x+≥8;2.求函数y=3x2+的最小值;3.已知x>0,求证2-3x-的最大值为2-43√;4.已知0<θ<,求证:tanθ+cotθ的最小值是2;16xπ24x12x25.求证lgx+logx10≥2(x>1);6.已知x,y,z∈R+,求证++≥3。二、发展型题组(为提高应用知识、方法的能力而设置)1.已知a,b,c∈R+,求证:(1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc;(2)a+b+c≥a…     

一个不等式选考试题的解法切入

<正>1 题目呈现设x,y,z∈R,且x+y+z=1.求(x-1)~2+(y+1)~2+(z+1)~2的最小值.(2019年全国卷Ⅲ选考题)2 解法展现2.1 切入点1 运用均值不等式解法1 [(x-1)+(y+1)+(z+1)]~2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)~2+2(x-1)(y+1)+2(y+1)(z+1)+2(z+1)(x-1)≤3[(x-1)~2+(y+1)~2+(z+1)~2].     

数学奥林匹克高中训练题(44)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.已知x、y、z∈R~ 且满足xyz(x y z)=1。则(x y)(y z)的最小值为( )。 (A)2 (B)3 (c)4(3~(1/2))/3 (D)1 2.对于一个有限数列P=(p_1,p_2,…,p_n),P的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家名)     

数学奥林匹克高中训练题(10)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知sin18°=-14+5.则a=sin2007°,b=cos2007°,c=-1+tan2007°,d=sin2007°+cos2007°2的大小关系是().(A)b相似文献   

2019年全国高考卷Ⅲ第23题的推广及应用

2019年高考全国卷Ⅲ第23题(1):设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2的最小值.若以不等式方式呈现就是:设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求证:(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2≥4/3.     

03年重庆市高三测试(函数、三角、数列)(高一、高二、高三)

1.已知矗”(7r+a)一一专,则∞豫的值为( ) (A)±丢(B)虿1.(c浮(D)±争 2.函数y一/og2(z+1)+1(z>O)的反函数为( ) (A)y一2’’～1(or>1). (B)了一2’。+1(z>1). (C)y一2H’一1(z>0). (D)y==:2卧’+1(z>0). 3.复数z。一}氅,z:一2—3i,z。一詈,则I 2。I等于( ) (A)i1.(B)√5-g-.(c)佰.(D)5. 4.定义集合A、B的一种运算:A*B一{z I z=z1+z2,其中Xl∈A,z2∈B),若A={1,2,3}'B一{1,2}’则A*B中的所有元素数字之和为( ) (A)9. (B)14. (C)18. (D)21. 5.在等差数列{n。}中,a1+3a8+口。。一120,则3a 9一倪11的值为( ) (A)6. (B):12. (C)24.…     

2006年第9期问题

49.设a,b,c∈R ,且a b c=1,求证:11(a2 b2 c2)-3(a4 b4 c4)≥392.(安徽潜山二中246300琚国起提供)50.已知关于x的三次方程x3-Ax2 x-B=0有三个正实根,其中A,B为参数.试求A8-B B A2的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)51.若x,y,z∈R ,n是不小于3的自然数,且xyz=1,求证:(1 y)x(n1 z) (1 z)(y n1 x) (1 x)(z n1 y)≥43.(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)52.在两个正数a,b(a≠b)之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n 2个正数成等差数列,n∈N ,求证:a21 a22 … an2<12n(a2 b2).(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供)53.过B、A…     

条件x+y=1下1/xn+λ/yn最小值的简单求法

文 [1]给出了条件 x+ y=1下 1xn+ λyn的最小值定理 ,并利用 (a2 + b2 ) (c2 + d2 )≥ (ac+ bd) 2 (a,b,c,d∈ (0 ,+∞ )和待定系数法证明之 .定理　已知 x,y,λ∈ (0 ,+∞ )且 x+ y=1,则当且仅当 y∶ x=λ1n+ 1 时 ,1xn+ λyn(n∈N* )取最小值 ,最小值为 (1+ λ1n+ 1 ) n+ 1 .本文给出定理的一个简单证明 .证明　∵x,y,λ∈ (0 ,+∞ ) ,n∈ N* ,且x+ y=1,∴ 1xn+ λyn=(1xn+ λyn) (x+ y) n =(1xn+λyn) (C0nxn+ C1 nxn-1 y+ C2nxn-2 y2 +… + Crnxn-ryr+… + Cnnyn)=1+ C1 nyx + C2ny2x2 +… + Crnyrxr +… + Cnnynxn+ λC0nxnyn + …     

2005年河南省数学竞赛(高二)

一、选择题(每小题5分,共30分)1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中,与BM相等的向量是().(A)-12a+12b+c(B)12a+12b+c(C)-12a-12b+c(D)12a-12b+c2.等差数列{an}中,Sn是前n项和,且S3=S8,S7=Sk.则k为().(A)2(B)11(C)4(D)123.已知点P在直线y=x+2上运动,点A(2,2)、B(6,6)满足∠APB取得最大值.则点P的坐标是().(A)(0,2)(B)(1,3)(C)(2,4)(D)(3,5)4.已知1+2×3+3×32+…+n×3n-1=3n(na-b)+c,对一切n∈N+都成立.那么,a、b、c的值为().(A)a=0,b=c=14(B)a=b=c=14(C)a=12,b=c=14(D)不…     

等差数列通项公式和前n项和公式的变形及应用

众所周知,等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可变形写成:an=dn+(a1-d),这个式子的几何意义是点列An(n,an)(n∈N+)在直线y=dx+(a1-d)上.同样,等差数列{an}的前n项和公式sn=na1+n(n2-1)d可变形为:snn=a1+n-12d=2dn+(a1-2d),它也可看成是点列An(n,snn)在直线y=2dx+(a1-2d)上.于是得到以下两个结论:结论1等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d,则点(1,a1),(2,a2),(3,a3),…,(n,an)…共线.结论2等差数列{an}的前n项和sn=na1+n(n2-1)d,{sn}为等差数列的前n项和组成的数列,则点(1,s11),(2,s22),(3,s33),…,(n,snn)…共线.例1已知等差数列{an},a4=…     

一道美国数奥题的六种解法

本文所研究的是一道美国第七届数学奥林匹克试题 ,它新颖、别致 ,是一道涉及五个变量的条件最值问题 .笔者研究后发现 ,它的解法相当多 ,不下于 1 6种 .现将其中 6种鲜为人知的新解法一一写出来 ,与大家交流 .问题 :已知a、b、c、d、e∈R ,a+b +c+d+e =8,a2 +b2 +c2 +d2 +e2 =1 6,试求e的最大值 (美国第七届数学奥林匹克试题 ) .解法 1 :(基本不等式法 )由基本不等式 2xy≤x2 +y2 (x、y∈R)得 (x+y) 2 ≤ 2 (x2 +y2 )　 ( 1 )令x =a+b ,y=c+d ,于是 ,由式( 1 )得[(a+b) +(c+d) ]2 ≤ 2 [(a+b) 2 +(c+d) 2 ]　 ( 2 )=2 (a2 +b2 +c2 +d2 +2ab…     

初中数学中的函数最值问题

最值问题是初中数学的一个重要内容,也是各种考试命题的一个热点。笔者根据自己的教学体会,将初中阶段所涉及的求函数最值问题的题目类型归纳如下。 一、求y=ax~2+bx+c(a≠0)型的最大(小) 值 当a>0时,y最小值=(4ac-b~2)/4a;当a<0时,y最大值=(4ac-b~2)/4a。 例1.求y=-2x+7的最大值. 解 ∵a<0,∴y最大值=(81)/8. 例2.求y=2x~2-3x+4的最小值. 解 ∵a<0,∴y最小值=(23)/8. 二、求隐二次函数的最大(小)值 已知y与x不成二次函数关系,但z与x成二次函数关系,可以先求z的最大(小)值,而后再求y的最大(小)值. 例3.求函数y=1/(2+(x-1)~2)的最大值.     

解题中的联想

例1已知(二一x)’一4(x一y)(y一z)~O,且x笋y.求证:Zy一x+z. 分析根据已知,联想到一元二次方程根的判别式△一犷一4ac.因此,可构造一元二次方程(x一y)tz+(二一x)t+(y一劝一。 丫△一(z一x)2一4(x一y)(一二)~O, :.此方程有两个相等的实数根. 观察到方程各项系数之和为。,故知有一根为1,则另一根也必为1,从而两根之积为1. y一之 X一y:.Zy一了+2.这样证明简捷明快,十分巧妙.例2已知:a、b、‘、d都是正数,证明:存在这样的三角形,它的三边等于了护+。2,丫砂十护十护+Zcd,丫彭+夕+砂+Zab,并计算这个三角形面积. 分析本题初看不容易理出头绪.我们…     

一道习题与三则竞赛题(高一、高二、高三)

新编高中数学第二册(上)(必修)P3。第8题: 已知n>b>h求证: 1 l 1 、 1 “一b。b一(·/a—C’ 证明 设“一6一z,6一f—y(x>0,Y>o),则 “一(’一T+y.证i毛+万l_>i1 成立,即证 土+1>—}成立, 0 y a弋j>也即证 z。+Y。+xy>0成立.因为 z>0,y>0,所以 Lz。+rY。+xy>0显然成立,所以南+士>i1魁 以上的解法是经过换元将分母中的多项式改写单项式,使推证变简单.用同样的思路可以推证一些更难的问题.例1 设。>6>c,n∈N,且ib+矿l_≥÷恒成立,则n的最大值为( ) n—C (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (第11届“希望杯”) 证明 设口一6一z,b—c—y(x o,Y>o),则 ＆…     

2019年高考浙江卷第21题的探究及教学启示

<正>2019年全国卷Ⅲ第23题是:设x、y、z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若成立,证明:a≤-3或a≥-1.1 解法探究解法一 (1)设P0(x0,y0,z0)是平面α上的某一个定点,P(x,y,z)是平面α上的任意一点,n=(A,B,C)( 其中A2+B2+C2≠0)是平面α的一个法向量,从而,即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,若令D=-(     

一道捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题的两种解法

问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9.     

美国《数学杂志》问题1714的再推广

美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714:设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,证明:44()()()()x ymx+ny my+nx+my+nz mz+ny421()()3()z+mz+nx mx+nz≥m+n.(1)文[1]将其推广为:设λ,ai∈R+(i=1,2,n),且1niia=∑=1,an+1=a1,则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk kii i i i ia naλa aλaλ?=++∑++≥+.本文在文[1]的基础上对(1)式进行再推广:命题1设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,α,β,γ∈R+,且α?(β+γ)=2,则()()()()x ymx ny my nx my nz mz nyαα+β+γ++β+γ1()()3()zmz nx mx nz m nα++β+γ≥+β+γ.命题2设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,β,γ,l∈…     

2013年湖南高考数学试题理科10题

题目 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+ 4b2+ 9c2的最小值为____. 解法1 由柯西不等式得(a2 +4b2+ 9c2)(12+12+ 12)≥(a+2b+3c)2, 所以3(a2+ 4b2+ 9c2)≥36, 所以a2+ 4b2+ 9c2≥12,当a/1=2b/1=3c/1且a+2b+3c=6,即a=2,b=l,c=2/3时取得最小值.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.