高屋建瓴 势如破竹——函数凹凸性在解题中的应用

某市模拟考试中，将2006年四川省高考题改编得如下一道题目： 已知函数f（x）=x^2＋2x＋αlnx。（1）若f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数α的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数α的范围。[第一段]     

全国卷Ⅱ（理）第22题

题目 设函数f（x）=1-e^-x． （Ⅰ）证明：当x〉-1时,f（x）≥x/x＋1; （Ⅱ）设当x≥0时,f（x）≤x/ax＋1,求a的取值范围．     

利用分割区间进行解题的讨论

高考题1（20LO·福建·理·15）已知定义域为（0,＋∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0,＋∞）,恒有f（2x）=2f（x）成立;（2）当x∈（1,2]时,f（x）=2-x．给出如下结论：     

构造函数求解不等式综合题的七类方法

评注 本题中观察到待证的不等式f（x2）＋4x2≥f（x1）＋4x1两边有相似的结构,于是构造函数g（x）=f（x）＋4x,然后利用此函数的性质寻求突破口．     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

用逐步缩小法求范围

例1已知．f（x）={x^2＋1,x≥0,1,x〈0,则满足不等式f〈1-x^2）〉f（2x）的x的取值范围是____．     

一对高考题的多视角分析

例（2013年高考大纲版全国卷文21（2））已知函数f（x）=x^3＋3ax^2＋3x＋1．若x∈[2,＋∞）时,f（x）≥0,求a的取值范围．     

一道涉及函数f（x-1）与f^-1（x-1）的高考题随想

2007年陕西省高考数学卷有一道题涉及函数f（x-1）与f^-1（x-1）的图象问题．考生普遍反映这道题较难．本文就以分析这道高考题为契机,来进一步探讨函数f（x＋a）与f^-1（x＋a）的关系问题,以期对学生在这方面能有帮助．     

两类创新导数题的思考

创新类型1：隔离直线 已知函数．f（x）和g（x）,若存在常数k和b,使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx＋b和g（x）≤bx＋b,则称直线l：y=kx＋b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．     

2010年高考全国卷I理科第20题（Ⅱ）的简解

题 已知函数f（x）=（x＋1）ln x-x＋1．（I）略;（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．对（II）,参考答案给出的方法有较强的技巧性,思维重心显得偏高．笔者给出下面的简解,供参考．     

全国卷Ⅰ（理）第20题

题目 已知函数f（x）=（x＋1）In x—x＋1. （Ⅰ）若xf′（x）≤x^2＋ax＋1,求a的取值范围; （Ⅱ）证明：（x-1）-f（x）≥0．     

一道高三调考题的繁解、错解、简解

[问题]（武汉市2007年高三二月调考理科数学第21题） 已知函数f（x）=x^2＋2x＋alnx. （1）若函数f（x）在区间（0,1]上恒为单调函数,求实数α的取值范围; （2）当f≥1时,不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立。求实数α的取值范围．     

一道高三调研考试题的繁解、错解、简解

问题：（2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题） 已知函数f（x）=x^2＋2x＋alnx． （Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．     

湖北卷（理）第21题（Ⅲ）

题目 已知函数f（x）=ax＋b/x＋c（a〉0）的图象在点（1,f（1））处的切线方程为y=x-1． （Ⅰ）用a表示出b,c; （Ⅱ）若f（x）≥In z在[1,＋∞）内恒成立,求a的取值范围;     

以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展

用切线法证明不等式已有过不少研究，例如文[1]、[2]．其操作过程是：设f（x）是一个函数，用待定系数法决定不等式f（x）≤αx＋β（或f（x）≥αx＋β）中的常数α和β，     

对一个数学问题解答的修正与问题的另解

《数学通报）2005年7月号问题1561为如下题目： 已知函数y=f（x）ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0， （1）试证：方程f（x）=-a有实数解； （2）设方程f（x）=-a两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围．     

2010、2009年高考中的分段函数

1 分段函数的求值（域）问题 例1 （2010陕西文）已知函数f（x）＝{3x＋2,x〈1,x2＋ax,x≥1,若f（f（0））＝4a,则实数a＝__. 解析 f（0）=2,f（f（0））=f（2）=4＋2a=4a,所以a=2.     

江苏卷第14题的解法

14 设函数f（x）=ax^3-3x＋1（x∈R）,若对于任意的x∈[-1,1],都有f（x）≥0成立,则实数a的值为——．     

第10个优美不等式之“源”与再推进

安振平老师在文[1]中提出的26个优美不等式,其中的第10个是： 设a、b∈（0,1）,求证：a/1-a^2＋b/1-b^2≥a＋b/1-ab＋a＋b/1-ab（a-b/1＋ab）^2 1 “源” 抚今追昔,勾起了笔者对当年的一道高考题和一个数学问题的回忆：考题 已知函数 f（x）=tanx,x∈（0,π/2）.     

一个由三次函数所生成的不等式

函数f（x）=1＋x＋x3生成函数F（x）=f（x）f（x2）…f（xp-1）（p〉3）,ω是方程xp=1的一个复根,则有F（ω）≥1.在证明结论时,用了数学归纳法及根的存在性定理。