添设辅助线拾遗

在平面几何的学习中,同学们很重视添设辅助线的技巧与方法,但有两个问题容易被忽视,一是图形中有字母的地方,不一定就要在这里作辅助线,但如果题设的图形中有些点未标字母,辅助线是否就不能在这里添设;二是辅助线的位置找对了,但是作法欠妥,或者叙述欠严密。下面结合中考试题谈谈这两个问题.例1如图,已知BC为半圆的直径,AD与半圆相切于点D,在AB上截取AE=AD,过E作EF⊥AB,交AC的延长线于点F,过F作GF∥BC交AB的延长线于点G.求证:⑴AE∶AB=AC∶AF;⑵AB2=AD·AG.评析此为广东省的中考题.因为图中AB与半圆的交点未标字母,不少考…     

一道竞赛题的赛后反思

2008年全国初中数学竞赛(浙江省赛区)初赛第17题:已知AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE,请说明以下各式成立的理由:     

以美启真:光辉照亮解题道路

本文由一次八年级期中考试的几何题说起,为同学们点拨"对称美"在几何思路获取上的作用.问题如图1所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为△ABC内部一点,且AB=AC=BD,∠ABD=30°,求证:AD=CD.BADC图1BADCE图2思路探究理解题意后,在形内不添辅助线难有头绪,看不到"光明".     

一道课本习题的多种证法

人教版第二册第254页第12题,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于K.求证:AB=3AK.此题需作平行线,利用平行线分线段成比例定理进行证明,但学生对这种辅助线的作法感到茫然,常需在老师或课本的提示下才能完成,不能真正理解作辅助线的意图.下面就利用此题的多种证法,对这类题分析一下,以培养学生大胆思维,敢于尝试的好习惯.方法1如图1,过D点作DE∥CK交AB于点E,在△ADE与△AMK中,AK∶KE=AM∶MD=1∶1,在△BKC与△BED中,BE∶EK=BD∶DC=1∶1,所以AB∶AK=3∶1,即:AB=3AK.从这种证法中可看出,辅…     

人教版《几何证明选讲》中的一道例题的多解与探究

题目如图1,AB是⊙O的直径,过A、B引两条弦AD和BE,相交于点C. 求证:AC·AD+BC·BE=AB2 (1) 这是教材第38页中的例4,教材中已用割线定理给出了一种证法,还能给出其他的证法吗?对于此题能否作一些探究?     

例谈波利亚解题理论中的“弄清问题”

<正>美国著名数学家波利亚在著作《怎样解题》中将解题的四个步骤分为:弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思.笔者以一个比较经典的题目为例,在探讨其解法的同时,谈谈如何弄清问题的本质.原题如图1,半圆的直径AB=5,弦AC     

几何不等式证明八法

1.利用三角形的边长关系 例1.AB为半圆直径,AC、AD指为半圆的满足∠BAC=∠CAD。 求证:AB+AD<2·AC。 简证:如图,显然有DC=BC,且知∠ADC与∠ABC互补。将△ABC绕着C旋转至△EDC位置,易证A、D、E共线,DE=AB,EC=AC。     

辅助线在一个习题中的应用

西南师大版九年制义务教育全日制初中课本(实验本)《几何》第三册复习题五第6题: △ABC中,AD是△ABC的中线,M为AD上的任意一点,CM的延长线交AB于N,求证:AM/MD=2AN/BN 此题是一个训练学生用添辅助线的方法解决几何问题的曲型习题,对于开拓学生思路,发展智力,培养兴趣,提高分析和独立解决问题的能力十分有用,现从不同角度出发引辅助线,可给出此题的十六种不同解法,简析如下: 一从D点出发添加辅助线     

添加辅助线构造全等三角形证题

正在初中数学中,常遇见一些需要添加辅助线构造全等三角形证题的题目.通过添加合适的辅助线构造全等三角形,从而在已知与结论之间架构桥梁,为题目的解决找到有效的途径.现将这类题型分类并结合实例加以说明,希望对这一类题目的教学提供启示.一、连接特殊图形的对角线构造全等三角形例如:已知如图1,AB=CD,AD=CB,求证:∠A=∠C.分析:由AB=CD、AD=CB可知四边形ABCD是平行四边形,所以连接对角线BD可以构造全等三角形.     

同解一道梯形题共探辅助线真谛

美国著名的数学家G·波利亚曾明确指出:“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”从这样的一个理念出发,我们开展了一次“解中考题探究梯形辅助线的作法”的活动,收到了较好的效果. 所选的题是一道青海省中考题:已知:四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.求证:四边形ABCD是等腰梯形. 分析:要证四边形ABCD是等腰梯形,因为AB=DC,所以只要证明四边形ABCD是梯形即可.因为AD≠BC.故只要证明AD//BC即可.要     

一道课本习题的推广及其应用

九年义务教材《几何》第三册第210页第25题是: 如图,已知半圆的直径AB=40cm,点C、D是这个半圆的三等分点,求弦AC、AD和CD围成的图形的面积S. 解 ∵AC的度数=BD的度数=60°, ∴.CD//AB.     

几种常见铺助线的作法

在平面几何中,许多百思不得其解的题目,添上合适的辅助线,问题就会迎刃而解,思路畅通,但对于初一、初二的几何初学者来说,添加辅助线都是解题的难点.本文介绍初一、初二阶段几种常见的辅助线,供参考.1 连结两个已知点 例1 如图,己知AB=CD,AC=BD.求证:∠A=∠D. 证明连结BC,在∠ABC与∠DBC中, BC=CB(公共边) AB=DC(已知) AC=DB(已知) ∴△ABC≌△DCB (SSS) ∴∠A=∠D(全等三角形     

三角形全等中常见的辅助线

解答有关三角形的问题时,常常需要添加适当的辅助线.本文介绍三角形中5种常见辅助线的添加方法.一、延长中线构造全等三角形例1如图1,已知△ABC中,AD是△ABC的中线,AB=8,AC=6,求AD的取值范围.提示:延长AD至A',使A'D=AD,连结BA'.根据“SAS”易证△A'BD≌△AC D,得AC=A'B.这样将A     

构造全等三角形解题

全等三角形是研究平面几何的基础,它有着广泛的应用,虽然不少几何题在给定的图形中,无明显的三角形全等,但我们通过努力挖掘题设特征,合理添加辅助线,巧妙地构造三角形全等,仍会得到简便的证法,从而打开同学们的证题思路.例如: (l)如图:△ABC中AB=AC,分别过B、c做Bc的垂线,交过A点的任一直线于D、E. 求证:AD=AE.E 分析:欲证AD二AE,图中包含AD、AE的两个三角形显然不全等,我们以此为一对应边,抓住明显的BD//CE,思考延长BA交cE于F,构造出三角形全等. 证明:延长BA交CE于F.丫AB=AC.…乙1=乙2.:乙2十乙3二90“,…乙3=乙4,…AF=…     

含角平分线的竞赛题解析

与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的…     

涉及三角形中线时常用的辅助线

在人教社出版的九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册课本的 P115页复习题三中 ,安排有这样一道习题。求证 :如果延长△ ABC的中线 AD至 A′,使 DA′=AD,那么A′C=AB。本题的证明思路较为简单 ,要证 A′C=AB,可证△ ABD≌△ A′CD。而在△ ABD和△ A′CD中 ,AD=A′D(作图 ) ,∠ 1=∠ 2 (对顶角相等 ) ,BD=CD(已知 ) ,故△ ABD≌△ A′CD A′C=AB。在课本的教学用书中 ,此处有一注解说明 :“这是常用的辅助线的作法。在三角形中 ,涉及中线的题目 ,常常用这种辅助线。”例 1.△ ABC中 ,AB=5 ,AC= 3,则 BC边上的…     

基于代数的算法内涵,寻求几何的思维综合

如何添加几何辅助线?我们常常从几何模型的角度来添加辅助线;今天我们从几何问题中的+、-、×、÷等代数算法符号中进行分析,寻求几何解题思维的策略。例1如图1,在△ABC中,AD为△ABC的高,AB+BD=AC+CD,求证:AB=AC.分析:由于已知条件中,出现线段和的形式,那么这种类型的问题往往用截长补短的方法进行思考.这里显然用补,那么如何补短呢?     

斯库顿定理及应用举隅

如图一,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则AD~2 BD·DC=AB·AC. 这就是平面几何中著名的斯库顿定理.它的证法简便. 证明:延长∠BAC的平分线AD交⊙ABC于E,连结BE.∴∠E=∠C,∠BAE=∠DAC,∵△ABE∽△ADCAB/AE=AD/AC,∴AD(AD DE)=AB·AC.即AD~2 AD·DE=AB·AC,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,∴AD~2 BD·DC=AB·AC.     

例谈添加不同位置的高线解题

<正>我们在解答几何问题时,往往需要添加辅助线,添高线是其中的一种重要方法,而添不同位置的高线,可以帮助我们从不同角度打开解题思路,获得不同的效果.下面以一道习题为例来说明.题目如图1,⊙O的直径AB长为10,弦AC长为6,∠ACB的平分线交⊙O于D,求CD的长.     

一道竞赛题的赛后反思

2008年全国初中数学竞赛（浙江省赛区）初赛第17题：如图1,已知AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE,请说明以下各式成立的理由：