三角方程中根的通值的等效问题

每一个有解的三角方程都有無限多个根,如方程cosX=1/2,它有無限多个根:±60°,±300°,±42O°,……。我們不可能把它的根完全寫出來。因为它的根是有規律性的,所以我們也不必要把它的根全部寫出來。通常我們采取兩种不同的方式把它的根表示出來:     

用分式方程中的增根求值

解分式方程时,由于方程两边同时乘以的最简公分母未知是否为零,故所求出的解可能使分母为零,即为增根。据此可知,分式方程要有增根,未知数的取值必是使最简公分母为零。由此可判断有增根的分式方程其增根是多少,或在知道某一增根的条件下求出分式方程中其它字母的值。例1　若方程2x-1x-1=1+x-ax(x-1)在实数范围内无解,求a分析:此方程无解,有两种情况:其一是化为整式方程后整式方程无解;其二是整式方程的解是分式方程的增根。解:方程两边同时乘以x(x-1)化为整式方程得:x2-x+2-a=0(1)当△<0时方程无解即(-1)2-4×1×(2-a)<0解得a<74(2)当分式…     

谈分式方程的增根和失根

解分式方程是通过“去分母”法把分式方程“整式化”的。在化去分母“转化”为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。因此解分式方程中“去分母整式化”和“验根”是必不可少的步骤。     

检验增根遗根偶得

一九七七年中国科技大学招生有这样一道试题,解方程(5+x)~(1/3)+(5-x)~(1/3)=5~(1/3)学生不难求出方程的二根是:x=±(10)/9 (21)~(1/2)。但把这两个根代入原方程验算,却要花很大的气力。这里就提出了这样一个问题,解这类根式方程时,把方程两边立方会不会产生增根?如果有增根,又是怎样产生的?     

浅析无理方程的增根

初中《代数》第三册11.9,在解无理方程时指出:“为了把无理方程变形为有理方程,需要将方程的两边都乘方相同的次数,这样就有产生增根的可能。”怎样引导学生对上述这句话进行深化理解呢?我们从以下三个方面作了补充说明: 1.将方程的两边都平方或偶次乘方时,增根赤源于乘数的有理化因式的零点。例1 解方程(x-2)~(1/2)=8-x ①解:方程两边平方,得x-2=(8-x)~2 ②即x~2-17x+66=0,∴x_1=6,x_2=11。     

分式方程增根的应用

我们知道解分式方程时有可能产生增根,反过来利用分式方程可能产生的增根可求分式方程中的待定系数．     

根的判别式的灵活应用

△ =b2 - 4ac叫做一元二次方程 ax2 + bx+ c=0(a≠ 0 )的根的判别式。灵活应用它 ,不仅可以解答一些与一元二次方程有关的问题 ,一些非一元二次方程问题也可获得巧妙解答。一、与一元二次方程有关的问题例 1　若方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,则方程 x2 + ax+ b=0的两根分别是 (　　 )(A) 0 ,3;(B) 0 ,- 3;(C) 1,4 ;(D) 1。解 :由方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,∴△ =(a- 3) 2 - 4(- 3a- b2 ) - 0 ,∴ (a+ 3) 2 + 4 b2 =0。∵ (a+ 3) 2≥ 0 ,4 b2≥ 0 ,∴ a=- 3,b=0。这时 ,要求的方程即为 x2 - 3x=0∴ x1=0 ,x2 …     

谨防失根·追回失根

解分式方程、无理方程,通过检验可找出增根.可是,失根是无法用检验的办法查知的.所以,必须明白为何会产生失根?又若发生失根,应如何找回呢?     

分式方程的增根

分式方程的增根问题比较抽象,学生一直难以理解.运用解分式方程的方法去解一个无解的一元一次整式方程,结果得到无数个"增根".再回顾分式方程增根产生的原因,同时介绍检验的三种方法和简便检验分式方程根的由来.     

分式方程增根的妙用

解分式方程时,一般要将分式方程变形为整式方程.这种变形可能扩大了未知数的取值范围,使方程产生增根,我们往往只重视对增根的检验,忽视了增根的潜在作用.如果认真分析产生增根的原因,那么在确定有关分式方程字母系数的值时,能够巧妙获解.     

一元二次方程根的讨论

二次方程、二次函数无疑是初中数学的重中之重,而一元二次方程根的讨论能融汇方程、函数和不等式的知识,对强化数形结合能力,培养思维的严密性与灵活性,都是很好的课题,值得我们重视.本文相对集中有关内容,使读者便于比较和掌握.例1当m是怎样的值时,方程x2-(m+1)x+m=0的根分别满足:(1)两根都是正根;(2)两根互为相反数;(3)两根异号,且负根的绝对值大于正根的绝对值;(4)两根都大于-1.分析注意观察方程的特点,不要贸然动用求根公式、判别式和韦达定理.解原方程即(x-1)(x-m)=0,有x1=1,x2=m,因此(1)只要x2>0,即m>0;(2)已知x1=1,只要m=-1;(3)因为x…     

分式方程验根五法

分式方程转化为整式方程时，未知数的取值范围可能发生变化，此时往往会产生增根，因此，解分式方程必须验根，下面举例说明分式方程验根的五种方法。     

增根的妙用

解分式方程或无理方程时可能产生增根,这给我们解题带来了一定麻烦,必须验根以剔除,岂不知,增根还自有妙用呢!一些含字母系数的方程题,应用增根可使解法巧妙而简便,令人耳目一新.     

分式方程的增根与无解

分式方程出题时出现增根与无解时该如何区分,常见的三种情况:1.无解=增根.2.无解>增根.3.无解≠增根.在初二数学分式这一章,解分式方程中会出现增根的现象而导致分式方程无解,因此解分式方程时必须检验.而同学们在做相关的练习题时,有时会遇到无解,有时会遇到增根,那么无解与增根到底有怎样的区别呢?(一)无解=增根有时候题目中出现的无解与增根     

关于一元二次方程根的讨论

对于整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(1)方程有有理数根的条件是△=b2-4ac为一有理数的平方;(2)若a、b、c为奇数,则方程无整数根;(3)若a、b为偶数,而c是奇数,则方程无整数根。     

根与系数的关系和根的对称式

如果ｘ1、ｘ2 是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,由根与系数的关系 ,不解方程 ,可以求得下列代数式的值 :(1)ｘ21+ｘ22 ;(2 ) 1ｘ1+ 1ｘ2;(3)ｘ3 1+ｘ3 2 ;(4) 1ｘ21+1ｘ22;(5 ) (ｘ1+ｋ) (ｘ2 +ｋ) (ｋ为常数 ) ;(6 )ｘ21+ｘ1ｘ2 +ｘ22 ;(7) ｘ2ｘ1+ ｘ1ｘ2;(8) |ｘ1-ｘ2 | ;等等 .仔细观察这些代数式 ,它们都有一个共同的特点 :把式子中的ｘ1、ｘ2 互换之后 ,原来的式子不变 .例如把ｘ1、ｘ2 互换之后 ,ｘ21+ｘ22 变成了ｘ22 +ｘ21,|ｘ1-ｘ2 |变成了 |ｘ2 -ｘ1| ,其值不变 .我们把这类式子称做一元二次方程根的对称式 …     

用辩证法看分式方程的增根

解分式方程时可能产生不适合原方程的根,这样的根叫做方程的增根．不可否认,增根的出现给同学们的解题带来了一定的麻烦．然而任何事物都有其两面性,让我们用辩证的眼光看待分式方程的增根．由增根的原因知道,分式方程的增根一定是去分母后所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零,据此可以解决一些相关的问题．现举例如下,供同学们赏析．     

剖析分式方程中的增根问题

同学们在解分式方程时,需要把分式方程化为整式方程,这样方程中的未知数取值范围就可能扩大了,由此得到的整式方程的根就有可能不是原方程的根,而此时产生的根,即为原分式方程的增根.因此,在解分式方程时,需对所求的根进行检验.另外,我们还可利用分式方程的增根,解决求参数值的问题,现在就通过以下几例来加以说明.……     

分式方程的根与增根

在解分式方程时通常都是先把分式方程去分母,转化成整式方程,然后求整式方程的解,求解后还要进行验根。那么在教学中学生经常会有这样的疑问:解分式方程为什么必须要验根呢?增根是如何产生的?增根是分式方程所特有的吗?分式方程的根与增根能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根;增根是在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0(根使整式方程成立,     

这样解分式方程可免验根

由于在解分式方程过程中，去分母化为整式方程时可能产生增根，因此，解分式方程必须验根。但是若不采用这种方法，而是先把分式移到方程的一边进行通分，能约分的先约分，同时使方程另一也为零，则使分子为零的未知数的值即为原方程的解，这样，可免去验根这一步骤。