一篇文章中的失误及修正

贵刊所载冯老师《数学解题中的六大观察法》(《中学教学杂志》高中 ,2 0 0 2 .3 ) ,读来令人受益匪浅。但美中不足的是文中有一处失误 ,笔者认为有必要指出并给予修正。1　文中的失误文中例 3 :平面上有ｎ条直线 ,且任意两条不平行 ,任意三条不共点 ,则这ｎ条直线之间能分为多少不同的线段和射线 ?文中给出的答案是有ｎ2 条不同的线段和射线 .这显然是错误的 ,事实上 ,当ｎ =1时 ,即一条直线分不成任何线段和射线 ,所以 ,这时应该是 0条 ,而不是 12 =1条 .2　正确的答案根据题意 ,第ｎ条直线与前ｎ-1条直线有ｎ-1的交点 ,以这ｎ -1个交点为…     

类比在数学解题中的应用

类比是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其它方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式．它在科学研究和科学发现中起着十分重要的作用,下面仅从两个方面谈谈类比在数学解题中的应用,提襟之见,望同行指正．１　类比平面结论,解决空间问题问题１　求位置一般的ｎ个平面分空间的份数ｆ（ｎ）．考虑到直线上ｎ个点分直线的份数ｆ（ｎ）＝ｎ＋１是ｎ的一次函数,平面内位置一般的ｎ条直线分平面的份数ｆ（ｎ）＝１２ｎ２＋１２ｎ＋１是ｎ的二次函数．可猜测空间中位置一般的ｎ个平面分空间的份数ｆ（ｎ）…     

关于直线和平面划分区域个数问题的探究

关于直线 (平面 )划分平面 (空间 )区域个数问题 ,在各类高中数学书刊和试题中出现频率较高 ,往往解法难度较大且答案容易出错。本文给出两个定理和两个推论 ,使这两类问题一并得到圆满地解决。定理 1　已知平面内有ｎ条直线 ,这ｎ条直线有ｍ个交点 ( ｐ条直线共点 ,取交点个数为ｐ -1 ) ,则这ｎ条直线将此平面划分出区域的个数为ｆ(ｎ ,ｍ) =1 ｎ ｍ。证明　 ( 1 )ｎ =1时 ,ｍ =0 ,ｆ(ｎ ,ｍ) =2 ,1 1 0=2 ,定理 1成立。( 2 )假设ｎ =ｋ时 ,ｆ(ｋ ,ｍ) =1 ｋ ｍ。则ｎ =ｋ 1时 ,增加了第ｋ 1条直线ｌｋ 1,设增加了ｍ1个交点Ａ1,Ａ2…     

一个组合几何问题初探

若点集Ｍ中每两点之间的距离只能取ｎ种不同的数值，则称Ｍ为ｎ－阶点集。直线上、平面上、空间中含点的数目最多的ｎ－阶点集分别记为Ｌｎ、Ｐｎ、Ｓｎ，其中所含点的数目记为ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ。本文对Ｌｎ、Ｐｎ、Ｓｎ的结构及ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ的估计进行讨论，得到了一些有趣的结果。     

一个组合几何问题初探

若点集Ｍ中每两点之间的距离只能取ｎ种不同的数值，则称Ｍ为ｎ－阶点集。直线上、平面上、空间中含点的数目最多的ｎ－阶点集分别记为Ｌｎ、Ｒｎ、Ｓｎ，其中所含点的数目记ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ．本文对Ｌｎ、Ｐｎ、Ｓｎ的结构及ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ的估计进行讨论，得到了一些有趣的结果．     

whc69的部分解决

文献［１］的ｗｈｃ６９是：对于空间不共面ｎ点,至少可确定多少条直线？至少可确定多少条恰好过两点的直线？本文讨论前一问,由于ｎ点不共面,则必有ｎ≥４．设不共面ｎ点按在空间的某种排布,可确定Ｌ（ｎ）条直线,其最小值为Ｌ０（ｎ）,我们来讨论Ｌ０（ｎ）的值．...     

等差（比）数列中的几何模型及应用举例

本文给出等差 (比 )数列中几个常见的几何模型 ,并应用其给出有关问题的巧妙解答 .1　几个常见的几何模型1.1　直线模型模型 1　由等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ- 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ)知 ,点列 { (ｎ ,ａｎ) }在斜率ｄ =ａｍ -ａｎｍ -ｎ 的直线 ｙ =ｄｘ (ａ1-ｄ)上 .模型 2　由等差数列的前ｎ项和的公式 :Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ- 1)ｄ2 Ｓｎｎ =ａ1 ｎ- 12 ｄ ,故点列 { (ｎ ,Ｓｎｎ) }在直线 ｙ=ｄ2 ｘ (ａ1- ｄ2 )上 .模型 3　由等比数列的定义 ,易知其求和公式满足Ｓｎ 1=ａ1 ｑＳｎ,故点列 { (Ｓｎ,Ｓｎ 1) }在直线 ｙ=ａ1 ｑ…     

用转化思想求异面直线的距离

求异面直线的距离 ,就是要确定它们的公垂线段 ,然后再利用解三角形来完成 .但在有些情况下公垂线段难以确定 ,此时若能运用化归思想对问题进行适当转化 ,不仅可以简化运算 ,而且思路也非常简捷、明快 .下面就几种常用的转化方法举例说明 .1　转化为线面距离若ｍ、ｎ是两条异面直线 ,当ｍ 平面α且ｎ∥平面α时 ,直线ｎ与平面α间的距离也就是异面直线ｍ与ｎ之距离 .　　　　　图 1例 1　Ｓ为直角梯形ＡＢＣＤ所在平面外一点 ,∠ＤＡＢ=∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＣ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =ａ ,ＡＤ =2ａ .(1)求异面直线ＳＣ与ＡＢ间的距离 ;…     

等差、等比数列的线性应用

等差、等比数列的通项公式ａｎ,前ｎ项和公式Ｓｎ 经转化都可以看作是关于自然数ｎ的函数 .本文用函数观点把有关等差、等比数列问题转化为平面解析几何中直线斜率来解决 ,同时把两部分知识得以综合应用 .我们知道 ,等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ-1)ｄ可变形为ａｎ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,所以等差数列的项ａｎ 是项数ｎ的一次函数 ,亦即点 (ｎ ,ａｎ)在直线 ｙ=ｋｘ ｂ (ｋ=ｄ ,ｂ =ａ1-ｄ)上 .由此得 :性质 1　若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则它的各项对应的点Ａｎ(ｎ ,ａｎ)在同一条直线上 ,ｎ∈Ｎ .对等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ…     

向量──求空间距离的有力工具

向量除了用来求解有关角度 (包括垂直 )问题 ,还可以用来求各种距离 ,包括两点间的距离 ,点到直线的距离 ,点到平面的距离 ,异面直线之间的距离 ,等等 .具体途径如下 :(1)欲求两点Ｅ、Ｆ之间的距离 ,改为求向量ＥＦ的模 ;(2 )欲求点Ｅ到直线ＡＢ的距离 ,在ＡＢ上取一点Ｆ ,令ＡＦ =λＦＢ ,由ＥＦ⊥ＡＢ或求｜ＥＦ｜的最小值 ,求得参数λ值 ,以确定Ｆ的位置 ,则ＥＦ的模｜ ＥＦ｜即为点Ｅ到直线ＡＢ的距离 .(3 )欲求点Ｅ到平面ＡＢＣ的距离 ,可设ｎ为平面ＡＢＣ的法向量 ,Ｆ为平面上任一点 ,则Ｅ到平面ＡＢＣ的距离ｄ=｜ＥＦ·ｎ｜｜ｎ｜ .(…     

电池的标准电动势求算中若干问题的讨论

本文推导出利用外推法求算电池标准电动势Ｅ＾ｏ的一般公式，并论证了Ｅ＋ｖＲＴ／ｎＦｌｎ「（ｖ＋＾ｖ＋ｖ－＾ｖ－）」１／ｖｍ／ｍ＾ｎ与√ｍ的直线关系。     

平面的法向量及其应用

先介绍以下结论 :如果ａ =(ａ1 ,ａ2 ,ａ3) ,ｂ =(ｂ1 ,ｂ2 ,ｂ3)为平面α上的两个不共线向量 ,又ｎ =(ｘ ,ｙ,ｚ) ,且ｎ·ａ=ａ1 ｘ +ａ2 ｙ +ａ3ｚ =0 ,ｎ·ｂ =ｂ1 ｘ+ｂ2 ｙ+ｂ3ｚ=0 ,则ｎ⊥平面α ,向量ｎ叫做平面α的法向量 .利用平面α的法向量ｎ,可解决立体几何中有关线面夹角、线面垂直、面面垂直、求二面角的大小和求点到平面的距离等问题 ,且思路清晰 ,解题快捷、准确 .以下举例说明它的应用 .一、直线与平面垂直要证直线与平面垂直 ,只要直线上的向量与该平面的法向量平行即可 .例 1　在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 …     

与二次曲线有关的两个定理及应用

在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1　已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ…     

一个平面分割问题的推广

下面是一道熟知的习题：１１１２１１３３１１４６４１１５１０１０５１１６１５２０１５６１问题Ⅰ平面上有ｎ条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,问这ｎ条直线把平面分割成多少块区域？这是一道引导学生积极思考、探索规律、洞察结论,再用数学归纳法严格证明...     

关于欧氏空间R~n中若干直线方程

给出了欧氏空间 R~n 中直线点向式和一般式两种方程,讨论了直线与直线之间、直线与 n-1维超平面之间的关系.     

中点问题的一种处理方法

中点问题是解析几何中的重点、热点问题 .本文给出它的一种处理方法 :若Ｍ是线段ＡＢ的中点 ,且Ｍ点的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则可设Ａ(ｘ0 +ｍ ,ｙ0 +ｎ) ,Ｂ(ｘ0 -ｍ ,ｙ0 -ｎ)　 (ｍ ,ｎ∈Ｒ) ,再结合题目中的其它条件进行解题 ,是一种行之有效的方法 ,以下分别举例加以说明 .1　判断直线 (或曲线 )的存在性例 1　已知双曲线 ｘ24 - ｙ22 =1,问是否存在直线ｌ,使Ｎ(1,12 )为直线ｌ被双曲线所截弦ＡＢ的中点 .若存在 ,求出直径ｌ的方程 ;若不存在请说明理由 .解　由题意得Ｎ(1,12 )为弦ＡＢ的中点 ,可设Ａ(1+ｍ ,12 +ｎ) ,Ｂ(1-ｍ ,12 -ｎ) …     

九年级结课代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.若点Ｐ(ａ ,ｂ)到ｘ轴的距离是 2 ,到ｙ轴的距离是 3,则这样的点Ｐ有 (　　 ) .(Ａ) 1个　　 (Ｂ) 2个　　 (Ｃ) 3个　　 (Ｄ) 4个2 .直线ｙ =- 2ｘ + 12 不通过 (　　 ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限3.若直线ｙ =12 ｘ +ｎ与直线ｙ =ｍｘ - 1相交于(1,- 2 ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｍ =12 ,ｎ =- 52 (Ｂ)ｍ =12 ,ｎ =- 1(Ｃ)ｍ =- 1,ｎ =- 52 (Ｄ)ｍ =- 3,ｎ =- 324 .若二次函数ｙ =(ｍ + 1)ｘ2 +ｍ2 - 2ｍ - 3的图像经过原点 ,则ｍ的值必为 (　　 ) .(Ａ) - 1或 3　 (Ｂ) - 1　 (…     

一道课本例题的潜在价值

1　问题的提出高中《代数》(必修 )下册第 70页例 3:平面内有ｎ条直线两两相交 ,其中任何两条不平行 ,任何三条不共点 ,证明交点的个数 ｆ(ｎ) =12 ｎ(ｎ- 1) .在教学中用数学归纳法证明此题并不难 ,但学生往往会提出这样的问题 :这个结论是如何知道的呢 ?可见学生更感兴趣的是通过自己的努力去探索发现结论 .因此 ,这道例题的不足是明显的 ,它束缚了学生的思维 ,使许多有意义的活动在此无法实施 ,故笔者建议将原题改为 :平面内的ｎ条直线最多有多少个交点 ?怎样引导学生解决这个带有探索性的问题呢 ?2　试探—猜想—论证当我们在研究一个抽…     

闪光照像能测出重力加速度吗

在研究自由落体运动时,教材中介绍了闪光照像的方法,并且提供了自由落体运动小球的彩色闪光照片。照片上的像是相隔1/30ｓ拍摄的。从照片上不难看出①在相等的时间间隔内,小球下落的位移越来越大,表明小球做加速直线运动。②用刻度尺量出标有编号的相邻的相等时间内的各段位移的大小,记下某一组数据为:Ｓｎ=5.2ｍｍ,Ｓｎ 1=6.0ｍｍ,Ｓｎ 2=6.8ｍｍ,Ｓｎ 3=7.6ｍｍ,Ｓｎ 4=8.4ｍｍ……显然,Ｓｎ 1-Ｓｎ=Ｓｎ 2-Ｓｎ 1=Ｓｎ 3-Ｓｎ 2=Ｓｎ 4-Ｓｎ 3=……=0.8ｍｍ=8×10-4ｍ即相邻的相等时间内的位移差相等。由此可见,自由落体运动为匀加速直线…     

高考解几对称性试题的归类及其解法

近年高考中频频出现平面解析几何中的对称问题 ,由于此类问题在现行高中《平面解析几何》中讲得较少 ,令许多考生不知从何处着手 .现将近年来高考中的平面解析几何对称试题分类解答如下 ,以利于同学们提高解题速度 ,达到举一反三的作用 .一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式 ,设Ｐ(ｘ ,ｙ)关于直线ｌ :Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0的对称点为Ｑ(ｍ ,ｎ) ,则ＰＱ的中点在ｌ上 ,坐标为 (ｘ ｍ2 ,ｙ ｎ2 ) ,则Ａ×ｘ ｍ2 Ｂ× ｙ ｎ2 Ｃ =0 ,再根据直线ＰＱ ⊥ｌ ,得ｙ-ｎｘ -ｍ ×(-ＡＢ) =-1,进行求解 .例 1　 (’91全国 )点Ｐ(2 ,5 )关…