从基础到能力的跨越——记一道习题的讲评课

九年义务教育三年制初中《代数》第三册(人教版)P145有这样一道习题：一条抛物线y=ax^2 bx c经过(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式．     

从一道高考题看过抛物线焦点弦性质的应用

今年高考“3 Ｘ”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ ∥ｘ轴 ,证明 :直线ＡＣ经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为ｙ1 ,ｙ2 ,求证 :ｙ1 ｙ2=-ｐ2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若…     

指向数学素养,发展关键能力——以2022年上海市中考卷第24题为例

<正>1试题及出处(2022年上海数学中考第24题)在平面直角坐标系xOy(如图1)中,已知抛物线y=(1/2)x²+bx+c经过A(-2,-1)和点B(0,-3).(1)求这条抛物线的表达式;(2)将这条抛物线平移,得一条顶点为P(m,n)(m>0)的抛物线.(1)当△OBP的面积为3时,如果这两条抛物线在直线x=k右侧的部分都是上升的,求k的取值范围;     

一道课本习题的再探究

习题:过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的一条直线和这抛物线相交 ,两个交点的纵坐标是y1,y2,求证:y1y2＝-p2(人教版<解析几何>第二章习题八第8题)     

一道高考试题的探讨(高二、高三)

04年全国高考数学理科试题(北京卷)第17题:如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求抛物线上纵坐标为p/2的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求(y1 y2)/y0的     

利用对称性巧求二次函数解析式

轴对称性是二次函数图像的一个重要性质 ,运用它求二次函数的解析式 ,能收到事半功倍的效果 ,现举例说明 ,希望同学们能从中得到一定的启发。例 1　一条抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ经过点 ( 0 ,0 )与 ( 1 2 ,0 ) ,最高点的纵坐标是 3,求这条抛物线的解析式。分析 :此题若将点 ( 0 ,0 ) ,( 1 2 ,0 )代入解析式 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,由最高点纵坐标 3,得4ａｃ-ｂ24ａ =3,组成议程组解之并非省事。反之由抛物线的轴对称性 ,并注意到抛物线过 ( 0 ,0 )和 ( 1 2 ,0 ) ,可知抛物线的对称轴为直结ｘ =6,从而得到其顶点为 ( 6,3) ,故抛物线解析式为 …     

抛物线的两条性质的推广

本刊 2 0 0 1年第 5期文 [1]给出了抛物线的两条互逆性质 ,读后颇受启发 ,但尚觉意犹未尽 .我们自然要问 :椭圆、双曲线有没有类似的性质呢 ?我们把文 [1]关于抛物线的两条性质及推论抄录如下 :　　　　　图 1性质 1.1　过点Ｑ(-ａ ,0 ) (ａ>0 )的直线与抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )相交于Ｍ、Ｎ两点 ,Ｈ为 (ａ ,0 ) ,则∠ＭＨＱ =∠ＮＨｘ .性质 1.2　Ｍ、Ｎ是抛物线ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )上非顶点且位于ｘ轴同侧的两点 ,Ｈ为 (ａ ,0 ) (ａ>0 ) ,Ｑ为 (-ａ ,0 ) ,若∠ＭＨＱ =∠ＮＨｘ ,则直线ＭＮ交ｘ轴于点Ｑ .当性质 1.1、1.2中的Ｍ、Ｎ两点…     

巧用抛物线的一个定理妙解高考题

定理　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )对称轴上一定点Ｍ(ｘ0 ,0 )作一条直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,则ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 (定值 ) .证明　设直线ＡＢ方程为ｘ=ｍｙ+ｘ0 ,代入抛物线方程ｙ2 =2ｐｘ ,得ｙ2 2ｍｐｙ - 2ｐｘ2 =0 .因为ＡＢ的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,由韦达定理得　　　ｙ1ｙ2 =- 2ｐｘ0 .特别地 ,当Ｍ(ｐ2 ,0 )时 ,ｙ1ｙ2 =-ｐ2 .(高中《解析几何》课本 10 1页第 8题 )逆定理　一条直线和抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )相交 ,若两交点的纵坐标为ｙ1、ｙ2 ,且满足ｙ1ｙ2 =Ａ(定值 ) ,则这条直线恒过定点 (- Ａ2…     

过定点的三次函数图像切线条数问题

二次函数y=ax_2 bx c(a≠0)的图像是抛物线,我们有如下共识:点P(x_0,y_0)在抛物线上时满足y_0=ax_0~2 bx_0 c,过点P的切线有且只有一条;当点P在抛物线内时满足y_0     

有关圆锥曲线的两个题组

运用题组进行教学,可以把有关知识综合串联起来,有助于开拓学生的思路,培养综合运用的能力。本文介绍“圆锥曲线”中的两个题组。 (一)抛物线的焦点弦有着广泛的应用,围绕着焦点弦、切线、准线等可以组成很多题目。为了帮助学生理清头绪,我们首先复习统编教材上证过的两个题:(1)已知经过抛物线y~2=2px上两点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)的两条切线相交于点M(x_0,y_0)。求证x_0=(y_1y_2)/(2p),y_0=(y_1 y_2)/2。(解几课本第120页第6题)(2)过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2。求证y_1y_2=-p~2。(解几课本第111页第8题)在学生掌握了这两题的证法和结论     

二次函数中考题精选

一、填空题1 抛物线ｙ =ｘ2 - 4ｘ + 5的顶点坐标是 . (2 0 0 1年江苏省南通市中考题 )2 已知抛物线ｙ =ｘ2 + (ｍ - 1)ｘ - 14的顶点的横坐标是 2 ,则ｍ的值是 .(2 0 0 1年江苏省苏州市中考题 )3 平面上 ,经过两点Ａ(2 ,0 )、Ｂ(0 ,- 1)的抛物线有无数条 ,请写出其中一条确定的抛物线的解析式 (不含字母系数 ,要求写成一般式 ) :. (2 0 0 1年浙江省台州市中考题 )4 炮弹从炮口射出后 ,飞行的高度ｈ(米 )与飞行的时间ｔ(秒 )之间的函数关系是ｈ =ｖ0 ｔｓｉｎα -5ｔ2 ,其中ｖ0 是炮弹发射的初速度 ,α是炮弹的发射角 .当ｖ0 =30 0 (米 /秒…     

解题计算应力求算路简而短

问题1已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交于点K,已知|AK|=槡2|AF|,三角形AFC的面积等于8.(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)过该抛物线的焦点做两条互相垂直的直线l1,l2与抛物线相交得两条弦,两条弦的中点分别为G,H,求|GH|的最小值.批阅同学们的试卷,发现第2问解答的思路惊人的一致,并且思路是完全正确的.但由于运算量较大,大部分同学没能完成,有些     

对抛物线两个命题的探究

本文将对以下两个与抛物线有关的命题进行探究．命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作两直线交抛物线于A、B两点,若(OA|→). (DB|→)=0,则直线AB过x轴上一定点(2p,0)．命题2在抛物线y2=2px(p>0)中,过焦点F(p/2,0)作不过顶点O的一条直线交抛物线     

解读一个考题 探究一类问题

一、解读一个考题2 0 0 1年高考理科第 19题 :如图 1,设抛物线 y2 =2 px ( p >0 )的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线与A、B两点 ,点 C在抛物线的准线上 ,且 BC∥ x轴 ,证明直线 AC经过原点 O.(证明略 )对比教材 ,显然它是课本习题的一个逆命题 .图 1图 2课本 P10 2 习题八第 13题 :如图 2 ,过抛物线 y2 =2 px ( p >0 )的焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点 P和抛物线顶点的直线交准线与点 M,求证 :直线MQ平行于抛物线的对称轴 .(证明略 )二、探究一类问题解读上述这对互逆命题 ,我们通过叠加组合不难得到这样一个重要结论 :如…     

a、b、c的符号与抛物线

我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线,它的顶点坐标是(-2ba,4ac-b24a),对称轴是平行于y轴的直线x=-2ba·而a、b、c的符号与抛物线在坐标系中的位置关系有以下三条规律:1·a的符号与抛物线开口方向的关系:(1)a>0抛物线开口向上;(2)a<0抛物线开口向下·2·a、b的符号与抛物线的对称轴的位置的关系:(1)ab>0对称轴位于原点左侧;(2)ab<0对称轴位于原点右侧;(3)b=0对称轴是y轴(直线x=0)·3·c的符号与抛物线和y轴交点的位置的关系:(1)c>0抛物线和y轴的正半轴相交;(2)c<0抛物线和y轴的负半轴相交;(3)c=0抛物线和y轴的交点就是顶点·…     

一个常用结论的证明

中学数学课本《解析几何》总复习第8题“求抛物线y=x2上到直线2x－y=4距离最小的点的坐标，并求出这个距离。”对此题的解法，很多书上都直接采用了结论：“当直线不与抛物线相交时，抛物线上到已知直线距离最短的点是与已知直线平行的抛物线切线的切点。”对此，不少学生提出疑问。本文加以证明并推广到其它二次曲线。Ⅰ.首先对抛物线进行证明。设抛物线方程为y2=2px(p>0)，直线l:y=kx＋b，直线与抛物线不相交。求证：抛物线上到已知直线l距离最短的点是与l平行的抛物线的切点。证明：设M(x0,y0)是抛物线上任一点的坐标，它到直线l的距离…     

一道题的解法研究

题目 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的顶点是(1，2)，且抛物线还过点(3，0)，那么不等式ax^2+bx+c&;gt;0的解是——．     

构造二次函数，解圆锥曲线中一类对称问题

例1 直线l过抛物线y^2=2px(p&;gt;0)的焦点F，并且与该抛物线相交于A、B两点．求证：对于抛物线任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．     

抛物线的顶点和对称轴

二次函数y=αx^2 bx c(α≠0）的图象是一条抛物线，这条抛物线是轴对称图形，其顶点的横坐标为-b/2α，对称轴是直线x=-b/2α，对称轴是经过顶点且垂直于x轴的一条直线。     

一道高考题另一种形式的推广

问题(2005年江西高考第22题)设抛物线C:y=x~2的焦点为F,动点P在直线l:x- y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程;