函数y=λ_1(x-a)~(1/2)+λ_2(b-x)~(1/2)极值的九种求法

一、巧借增量设元对于两个实数a和b,若a>b,则可令a=b t,其中t>0称为增量.通过设置增量元素,利用增量代换来解答和处理问题的方法叫做增量方法.某些无理方程或无理函数问题,可以通过设置增量元素,化无理式为有理式,从而摆脱根号纠缠,使得问题巧妙获解.例1求函数f(x)=!x-4 !15-3x     

求函数最值的十种构造方法

一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献   

Robin问题的一个存在唯一性定理

对于Robin问题{x^n=f(t,x,x^1); a0x(a)－a1x^1(a)=A,b0x(b)＋b1x^1(b)=B在主要假设f,fx,fx^1连续，fx≥－β(t),－a(t)≤fx^1≤a(t)(1＋|x^1|)之下，给出一个存在唯一解的充分条件。     

超越方程log_ax bx c=0的解法探讨

对数函数在理论上的重要性及应用的广泛性，早已有所肯定．在应用中提出了这样一类问题：求曲线y=loga~x与直线y=kx b的交点，即需解方程组于是问题归结为解形如logax bx c=0的超越方程．迄今为止，超越方程log_a~x bx c=0（b≠0）还没有一般解法，本文将讨论这类方程的初等解法及其根的个数判别式．一、定理定理设a、b、c、x都是实数，且x＞0，a＞0，a≠1，b≠0，则超越方程有根x＝a~a（a∈R）的充要条件是证必要性从略．充分性：从（2）式成立→（1）式有根a~a．反证法：假定x＝a~a不是（1）式的根，a~a不满足（1）式，有a ba~a c≠0即a~…     

考场答题"增加思考量减少演算量"的7个途径

高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1　适时代换 ,减轻负担例 1　设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解　令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 …     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

完全平方式的一个变式及其应用(初一、初二、初三)

例1 已知x、y是实数,且满足 x2+xy+y2—2=0,求x2—xy+y2的取值范围. 解因为 x2+xy+y2=2①设x2—xy+y2=t ②①—②,得③①+③,得④由④知 t≤6,由变式,得解得 t≥2/3,所以例2 已知a、b、C满足a+b+c=0,abc=8,     

利用线性代换法解题

在解某些数学题时,若已知两个字母a与b的和等于常数2k,我们则可引入参数t,分别用k+t,k-t代换a和b,使解题获得成功,用这种线性代换法解题来得简捷明快,颇具新意。现举例加以说明。例1 求的实数解的组数。解令x=1+t,y=1-t(t是实数),代入得 (1+t)(1-t)-z~2=1, 展开得 z~2+t~2=0,故z=t=0 因此原方程组有唯一的一组解例2 若a>0,b>0,a~3+b~3=2,试证a+b≤2。证明不妨设a+b=2c,显然c>0,我们只需证2c≤2,为此,又设a=c+t,b=c-t(t是实数),把它们代入a~3+b~3=2得c~3+3ct~2=1,即3ct~2=1-c~3,     

代换法在不等式证明中的运用

代换法在数学解题中有着广泛的应用 ,用它证明不等式 ,不蹈常规 ,见解独到且富有新意 .本文谈谈五种代换方法在不等式证明中的运用 .1　增量代换在题设条件a≥b下 ,令a =b +t(t≥ 0 ) ,这种代换叫做增量代换 .例 1　已知x >y>0 ,求证 x -yy >0入手 ,用增量代换法去证明 ,十分快捷 .证明 :由x >y >0 ,可令x =y +t(t>0 ) .∵ y +t相似文献   

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

构造法求解一类条件型最值问题的探析

最值问题是近几年高考中的一大热点内容,这类问题解法灵活多变,对数学思想方法的要求较高.本文介绍构造法求解这类问题的一些类型题,希望对读者有所启发.一、构造方程模型【例1】已知实数a、b满足a2 b2 ab=1,求t=ab-a2-b2的最值.解:构造一个关于x的一元二次方程x2-(a b)x (a b)2-1=0.显然a、b是这个方程的两个实根.从而△=[-(a b)]2-4[(a b)2-1]≥0,即4-3(a b)2≥0,∴0≤(a b)2≤34.由t=ab-a2-b2=-2ab-a2-b2 3ab=-(a b)2 3[(a b)2-1]=2(a b)2-3.综上,当(a b)2=0时,tmin=-3;当(a b)2=43时,tmax=-31.评析:构造满足题设条件的二次方程是本题求…     

一个分式不等式的联想

瓦西列夫不等式[1]叙述如下: 设a,b,c＞0,a 6 c=1,则有a2 b/b c b2 c/c a c2 a/a b≥12.(1) 将此不等式进行联想类比,并推广到多元情形,得到 结论1 设x1,x2,…,xn＞0,n∈N,n≥2,则∑x12 x22 … xn2-1/x2 x3 … xn≤x1,x2 … xn.(2) 其中记.号"∑"表示循环和.     

构建斜率表达式 破解高考压轴题

题目 已知函数f（x）（x∈R）满足如下条件：对任意实数x1，x2都有λ（x1-x2）^2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和｜f（x1）-f（x2）｜≤｜x1-x2｜，其中λ是大于0的常数．设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）．（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b-a0）^2≤（1-λ^2）（a-a0）^2；（Ⅲ）证明[f（b）]^2≤（1-λ^2）[f（a）]^2．分析 这是2004江苏高考题，形式新颖，在函数与不等式的交汇点上命题，旨在揭示函数的性态，与高等数学衔接紧凑，难度大，区分选拔功能明显．     

和差代换技巧及其妙用

例 1.已知 a2 b2 =6 ab且 a>b>0 ,则 a ba- b=。 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛初二决赛题 )解 :设 a=x y,b=x- y,则将其代入 a2 b2 =6 ab中 ,得 (x y) 2 (x- y) 2 =6 (x y) (x- y)展开括号 ,化简整理得 4 x2 =8y2。而 a>b>0 ,∴ x>y>0 ,∴ x2y2 =2 ,∴ xy=2 ,另 a b=2 x,a- b=2 y,因此 a ba- b=2 x2 y=xy=2。二、求最值范围例 2 .已知实数 a、b满足 a2 ab b2 =1,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是。 (2 0 0 1年 TI杯全国初中数学竞赛 A卷试题 )解 :设 a=x y,b==x- y,代入已知式得(x y) 2 (x y) (x- y) (x- y…     

用换元法解决不等式问题

一、用换元法解不等式例１（１９９９年全国高考题）解不等式３logax－２√＜２logax－１（a＞０，a≠１）．解设３logax－２√＝t≥０，则logax＝t２＋２３．原不等式可化为２t２－３t＋１＞０．解得０≤t＜１２或t＞１．∴２３≤logax＜３４或logax＞１．当a＞１时，原不等式的解集是｛x｜a２３≤x＜a３４｝∪｛x｜x＞a｝；当０＜a＜１时，原不等式的解集是｛x｜a３４＜x≤a２３｝∪｛x｜０＜x＜a｝．例２解不等式３－x√－x＋１√＞１２．解∵（３－x√）２＋（x＋１√）２＝４，∴可令３－x√＝２sinθ，x＋１√＝２cosθ，θ［０，π…     

两个取值问题的错解与正解

例 1　已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解　∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析　由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解　y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2　已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解　∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 ,　　 -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -…     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

利用根与系数的关系解竞赛题

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…     

一道全国初中数学联赛试题解答的研究

2004年全国初中数学联赛第14题及解答如下: 已知a＜0,b≤0,c＞0且√b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac的最小值. 解令y=ax2 bx c,由a＜0,b≤0,c＞0,判别式△=b2-4ac＞0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0).