求自然数方幂和的递推式的一种方法

现行高中代数(下册)封面上醒目地给出等式1~2+2~2+3~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)。又在第47页练习和第124页习题上相继出现1+2+3+…+n=1/2n(n+1)与1~3+2~3+3~3+…+n~3=1/4n~2(n+1)~2的求证式。这些结论之间是否存在相关性?下面作出了肯定的回答。     

自然数方幂和的积分递推法

由积分方程构造多项式序列,使之在自然数点时,其表达式恰好就是自然数方幂和公式.     

微分方程与自然数方幂和公式

本文用微分方程的知识导出了自然数方幂和公式。     

自然数方幂和公式的系数三角形

与用扬辉三角形可求出二项式任意次幂的展开式相似,自然数方幂和公式的系数三角形可求出自然数方幂和任意次幂的求和公式,且这种方法的计算速度超过以往的任何一种计算方法。     

求自然数方幂和的简单方法

讨论了利用二项式公式求自然数的方幂和的简单、实用方法。     

求自然数方幂和的又一方法

首先,不难用归纳法证明(对n进行归纳): 1.m=1时,由公式立得 2.m=2时,公式(*)为     

求自然数方幂和的一种计算机算法

通过归纳法证明了自然数方幂新的求和公式∑i=1im=1m 1nm 1 ∑αini,并用C语言验证了该算法的可行性。     

自然数方幂的累进和的两个猜想的证明

盛宏礼在《自然数方幂的累进和》(载《中学数学月刊》1997年第1期)一文中定义了自然数方幂的累进和如下:设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=∑S_t(j),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和,通过证明下述定理,建立了累进和与方幂和之间的关系, 定理 SS_t(n)=(n 1)S_t(n)-S_t 1(n).(1)     

自然数方幂求和公式及所含因式

众所周知,Sk(n)=n↑∑↑i=1是一个关于n的k 1次多项式,且常数项为零．不妨设Sk(n)=k 1↑∑↑j=1αk,jn^j,定义实函数Pk(x)=k 1↑∑↑j=1αk,jx^j(x∈R）,其中αk,j为常数,显然(1)Pk(n)=Sk(n);(2)α2m 1,t=0;(3)Pk(0)=0,Pk(1)=1;(4)Sα（0)=n。     

构造长方形求自然数幂和

形如S_p(n)=1~p+2~p+3~p+…+n~p(p∈N~*)的和式称为自然数幂和,也称为p阶自然数幂.自然数幂和公式有着非常精彩的发展历史.低阶自然数幂和公式有许多种奇思妙解,相关的数学家的智慧依然为我们今天的数学学习提供了很好的借鉴,仍然能激励我们变更新视角、尝试新证法,在享受数学美的过程中,将问题研究继续下去.长方形是最简洁、最直观的基本图形.     

自然数方幂和的求法

∑i=1^n i^m(n，m是正整数)叫做自然数的m次方幂和。如何把∑i=1^n i^m表示成n的多项式Fm(n)，是历代数学家们不断探求的内容。从古代的欧几里德到现代的陈景润等，大多走离散的路子，所以过程较繁，也仅给了m在20以内的Fm(n)的表达式，本文把这个问题转化为研究∑i=1^n(i x)^n(x∈R)的表达式，化离散为连续，从而求得Fm(n)的递推表达式，使这个问题得到彻底的解决。     

自然数方幂的累进和

设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=sum from i=1 to n sum from j=1 to i (j~t)=1~t (1~t 2~t) … (1~t 2~t … n~t),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和。文[1]给出:     

自然数幂和公式的推导研究

本文首先将自然数等幂和问题表述为递推关系,进而将自然数幂和问题化为对递推关系的求解。通过对递推关系的求解,得出幂和的组合数表示中系数递推关系,最后推导出自然数幂和的组合数表达形式。     

自然数幂和公式的简捷方法

利用高阶导数,简捷地推导出了∑n-1 k=0rkkm的两种形式的求和公式,并证明了一个Bernoulli数的确切表达式,得到了一个新的Bernoulli数递推公式。     

自然数幂和公式之历史发展

自然数幂和公式之历史发展中国科学院自然科学史研究所汪晓勤所谓自然数幂和，系指１ｐ＋２ｐ＋…＋ｎｐ＝∑ｎｒ＝１ｒｐ（ｐ∈Ｎ）．（１）在中学数学里，我们遇到ｐ＝１，２，３三种情形．（１）的求和公式从低次幂到高次幂，从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、...     

幂和的两个组合公式

设k,n∈N,利用^n∑i=0 x^i=x^n＋1/x-1推出了^n∑i=0 i^k x^i=^n∑i=0 Si（k）（x-1）^i及Si^（k）=iSi^（k-1）＋（i＋1）Si＋1^（k＋1）（0≤i≤n）,且si^（0）=s（n＋1 i＋1）（0≤i≤n）。获得了si（k）的两个不同表达式,由此得到了幂和的两个公式、两个系数公式及系数的若干性质,并给出求系数的两个C-语言程序。     

自然数幂和公式的积分推导法

自然数幂和公式的推导方法甚众.各类书刊也时有介绍.其中以复变函数论为基础的推导方法最为出色,遗憾的是该非初等的推导方法一般读者难以接受.本文叙述一种积分推导法,不仅方法简捷,理论亦不深奥,只要稍具微积分知识就可以掌握.     

幂和的两个组合公式

设k,n∈N,利用∑ni=0xi=xn+1-1x-1推出了∑i=n0ikxi=∑i=n0Si(k)(x-1)i及Si(k)=iSi(k-1)+(i+1)Si+1(k-1)(0≤i≤n),且si(0)=sn+1i+1i=0(0≤i≤n)。获得了si(k)的两个不同表达式,由此得到了幂和的两个公式、两个系数公式及系数的若干性质,并给出求系数的两个C-语言程序。     

自然数方幂末两位数字的研究

为方便起见,我们首先约定下文所有字母均表示自然数。并且规定自然数N末两位数字用函数R(N)表示,如R(1993)=93,R(5)=05,容易证明R(N)有如下基本性质:R(XY)=R(X)R(y)。