相切问题的几种情形及求解策略

<正>直线与曲线相切问题是高中数学的重要内容之一.在引入导数后,近几年也越来越受到高考命题者青睐.由于相切问题的类型较多,而教材在给出相切概念时又较抽象,没有给出各种相切情形的直观图形,这间接地影响了学生对相切问题的理解和对相关问题的解决.下面笔者就直线与曲线相切的几种情形进行分析,供大家参考.一、常见的相切问题当直线与曲线相切时,许多问题都要求切线方程.对此类问题,可先设出切点坐标     

谨防切线概念的负迁移

中学阶段我们对切线的认识是逐步深入的，平面几何中，我们说当直线与圆只有一个交点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．在解析几何中，平面几何里有关圆的切线问题放在了坐标平面内，除了将直线与圆相切的位置关系转化为圆心到直线的距离等于半径(这是比较合理的解法)，很多时候我们也会求出圆和直线的方程，然后联立方程得到一个二元二次方程组，当这个方程组有且只有一组解时，直线与圆相切．虽然后一种解法的运算量较大，但是由于对学习直线与椭圆相切问题的解法有正迁移的作用，因而教学中很多教师会说明这样也可以解有关直线与圆相切的问题．在紧接着的直线与椭圆的位置关系的学习中，无论是教师还是学生都感觉得心应手，可是在双曲线的学习中出现了新问题．而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点可以不止一个，因此就不再用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定义曲线的切线．直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固，受此负迁移的影响，不少学生对切线问题产生错误的想法，导致错解时常发生，下面举例予以说明．     

剖析曲线的切线

直线与曲线相切，我们在初中就学习过，初中主要研究的是直线与二次函数图象相切，通过△=0来判断，高中阶段直线与曲线相切，就不只是二次曲线了，可以是三次、四次等等，此时有关相切问题就要运用导数来求解．如何正确理解曲线的切线呢？先从一道题目谈起。     

关于直线与二次曲线的相交与相切

二次曲线与直线的相交与相切问题在中学解析几何的教学中一直占据着很重要的地位。本文首先给出一般平面曲线与直线相切的条件,其次对一般的二次曲线讨论与直线相交于一点和相切的条件。一、一般结论设曲线C的方程为F(x,y)=0,下文均设F(x,y)有连续的偏导数,首先引进一般曲线的切线概念。     

两曲线相切的应用

<正>我们熟悉直线与曲线相切的情形,对于两曲线,我们也可以这样定义它们相切:若两曲线有公共点P且在点P处有相同的切线,我们就称这两条曲线在点P处相切.设曲线f(x)与曲线g(x)在点P (x0, y0)处相切,     

切线问题错解剖析

同学们对切线的认识是逐步深化的,最初用和圆只有一个公共点的直线来定义圆的切线,接着用判别式为零判别直线与二次曲线相切,而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线,切线与曲线的交点可以不止一个,就不再用交点个数来定义,而是用割线的极限位置来定义曲线的切线.直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固,受此负迁移的影响,不少学生对切线问题产生错误的想法,导致错解时常发生.请看下面几例:     

关于平面曲线切线的认识

直线和曲线相切是高中数学教学的重要内容之一.在高中阶段,要求学生对相切的认识是本质性的,比较抽象,大大超越了初中学习中对相切的认识.同时,高中数学中有关相切问题的类型较多,图形各异,比较复杂,严重影响了学生对相切的理解和对相切问题的解决.本文就相切有关问题展开剖析,希望对直线和曲线相切有更全面的认识,力求提高对有关相切问题的解决能力.     

△=0在两二次曲线相切问题中错误应用例析

在解决直线与二次曲线位置关系问题的时候,常常借助方程根的判别式,使问题变得简单明了,学生往往也会因此而形成思维定势,在遇到判定两二次曲线位置关系问题时,只考虑消元后所得二次方程根的判别式,而忽略了方程组解的整体情形,造成知识的负迁移.下面就△=0在应用于两二次曲线相切问题时出现的漏解和错解,给出两例加以说明.     

解析几何直线与圆相切问题的例析探究——以2022年高考真题为例

直线与圆相切是解析几何中特殊的位置关系,具体构建时有多种情形,包括渐近线与圆相切、特殊直线与圆相切、直线与多圆相切等.本文结合2022年高考真题进行探究分析,总结相应的破解策略.     

因运动而产生的圆的相切问题的归类分析

随着新课程改革的进一步实施,有关圆的问题形式日趋新颖,方法日趋灵活．观察近几年的中考试题,在圆的相切（包括直线和圆、圆和圆相切）问题中,出现了不少运动的元素,这类试题综合性较强,学生往往感到困惑,本文根据不同的相切情形进行归类分析,供同学们参考．     

曲线的切线与方程“等根”间的关系

对曲线切线的求法,绝大部分是用导数作为研究的工具．利用“等根”与一般曲线切线的关系,给出了用方程“等根”求曲线切线的具体方法,介绍了曲线切线的概念以及用方程“等根”刻画曲线切线的基本思想,推出了直线与三次函数图像相切的充要条件．     

抛物线的切线及其性质初探

中学教材中比较透彻地研究了直线与圆相切问题,对于直线与其他曲线,特别是圆锥曲线相切的问题教材并未介绍,但这并不意味着高中学生对这个问题没有解决办法,特别是在引进了导数这一工具性知识后,     

与切线有关的问题

直线与圆相切是直线与圆三种位置关系中最为重要的一种位置关系,证明直线与圆相切或以直线与圆相切为条件的几何问题是中考命题的热点．     

与切线有关的圆

直线与圆相切是直线与圆三种位置关系中最为重要的一种．证明直线与圆相切或以直线与圆相切为条件的几何问题是中考中命题的热点,是圆的重要内容之一．与切线有关的问题主要有以下两种类型：     

直线与曲线位置关系判定的一种新方法

直线与曲线的位置关系的判定历来是解析几何中的一个热点问题，由此可引发出一系列的性质及不少的数学问题．在平面解析几何中，此类问题的解决主要依赖于建立直线与曲线的联立方程组，利用判别式△，当△〉0时，判定曲线与直线相交；△=0时，判定直线与曲线相切；当△〈0，判定直线与曲线相离．上述方法对于直线与圆、直线与椭圆（即直线与封闭曲线）的位置关系的判定是毫无疑义的；但对于直线与双曲线、直线与抛物线（即直线与非封闭曲线）的位置关系的判定中，还有一些特殊情况需要另外处理，而且上述方法。在求解过程中计算比较繁琐，学生易发生错误．     

有关切线的四类问题

导数是高考的热点,曲线的切线问题在高考试卷中经常出现。解决曲线切线问题,首先要搞清相切的充要条件。直线与曲线相切的充要条件为：①曲线在切点处的导数是切线的斜率;②切点为公共点。下面通过具体例子谈一谈四类曲线切线问题。     

例说直线与双曲线交点个数问题的解决视角

题目 经过点P（1，3）且与双曲线4x^2-y^2，2=1仅有一个公共点的直线有（ ） （A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条 分析当直线与双曲线只有一个公共点时，我们不仅要考虑相切的情形（即△=O），还要考虑直线平行于渐近线的情形．因此，对于该问题的解决，不妨考虑如下的解决视角．     

例谈从导数背景对函数的切线的再认识

学生们对函数的切线问题并不陌生,特别是判断直线与二次曲线的位置关系,往往会通过联立直线和二次曲线方程,利用判别式来判断直线是否与二次曲线相切。在微积分中,曲线的切线是割线的一个极限位置,     

求曲线上点到直线距离最值的两种方法

求曲线上任意一点到直线间距离的最值问题，常用两种方法——切线法和动点法．所谓切线法就是将已知直线平移，当直线与曲线相切时，距离达到最大或最小，然后利用平行线问的距离公式求得最值；所谓动点法就是将曲线上的任意点设为P（xf（x）），然后利用点到直线间的距离公式，讨论点P到直线间距离的最值问题，下面举例说明．     

等效判别式在研究有心曲线的外切矩形中的应用

在研究直线与有心曲线的相切问题时,可以运用等效判别式,比校容易得到其外切矩形面积的最值.