换元积分中区间问题的研究

不定积分中三角代换区间的讨论;定积分中三角代换区间的选取。     

不定积分的一题多解

本文对三道不定积分的题目给出了多种不同的解法,其中综合应用了凑微分和第二类换元法(包括三角代换、根式代换和倒代换等)两类典型积分法,这对工科大学生学习综合运用多种积分技巧求解不定积分具有启发意义。     

双曲函数有理式的积分

在介绍双曲函数的概念及双曲函数的有关恒等式、微分和积分公式的基础上,探讨了双曲函数有理式的可积性问题.通过万能或指数代换,得到并证明了双曲函数有理式的原函数都是初等函数这一重要结论.进一步给出并证明了几个常用的递推公式,通过实例说明了如何求双曲函数有理式的不定积分.     

对有理三角函数积分法的探讨

本文对三角函数有理式y=f(sinx,cosx)的积分,补充一种新的代换,把三角函数有理式的积分化为有理函数式的积分。通过代换使有理三角函数的积分方法简便、实用。     

积分方法的探索与补充——辅助积分法

有些三角函数有理式的积分,用传统的万能代换法化为代数有理式积分仍然比较复杂,求积分过程相当困难,有时甚至无法积出.辅助积分法为解决这类三角函数有理式的积分提供了一种新方法和新思路,是传统积分方法的有益补充.     

对求解∫R(xn,(√a2-x2))dx,∫R(xn,(√a2+x2))dx型不定积分方法的思考

不定积分的计算是数学分析的一个重要方面,同时也是大学数学的一个重要方面.不定积分的计0算方法很多,常用的积分方法有分解法,换元法,分部积分法;对某些无理函数的积分的求解通常使用换元法.初学者对形如含(√a2-x2),(√a2+x2),(√x2-a2)因式的积分经常按教材的总结一律用三角代换来计算,其实针对不同的题型可采取不同的方法从而简化积分运算,针对如何求以下两类∫R(xn,(√a2-x2))dx,∫R(xn,(√a2+x2))dx积分总结归纳出一些规律.     

对求解∫R(xn,（a2-x2）1/2)dx,∫R(xn,（a2+x2）1/2)dx型不定积分方法的思考

不定积分的计算是数学分析的一个重要方面,同时也是大学数学的一个重要方面。不定积分的计算方法很多,常用的积分方法有分解法,换元法,分部积分法;对某些无理函数的积分的求解通常使用换元法。初学者对形如含a2-x2,a2+x2,x2-a2因式的积分经常按教材的总结一律用三角代换来计算,其实针对不同的题型可采取不同的方法从而简化积分运算,针对如何求以下两类∫R(xn,a2-x2)dx∫,R(xn,a2+x2)dx积分总结归纳出一些规律。     

一道不定积分题目的多种解法

本文对一个不定积分的例子给出了八种不同的解法,这些解法充分体现了了第一类换元法、第二类换元法(包括三角代换、根式代换)、分部积分等典型的形式积分法的综合应用,对工科大学生学习不定积分的形式积分法具有启发意义。     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

换元巧解方程

换元法解某些方程(组)时,通过变量代换,能实现降次、无理式转化为有理式、分式转化为整式,从而使较繁或较难的变为较简易的问题求解.     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

正余弦代换在解题中的应用

有许多代数问题，若仔细分析其结构特征，引入适当的三角代换，借助三角函数的性质或三角公式，往往可突破解题的难点，获得简捷解法．下面浅谈常用的三角代换-正余弦代换在解题中的应用．     

正切代换法解代数问题策略

在解决某些代数问题时,我们可以从考虑条件式与结论式的结构特征入手,充分挖掘隐含条件,将字母变量恰当地通过正切函数代换,化代数问题为三角问题求解,往往会起到化繁为简、化难为易之功效.本文将以一些典型实例归纳出用正切代换法解代数问题的若干思考途径,供大家参考.     

灵活换元 凸显隐含条件

换元法又称辅助元素法或变量代换法,是重要的数学方法之一,它涉及的题型较多,处理的方法灵活．其解题实质就是通过引入一些新的变量进行代换,并简化其结构,从而达到解决问题的目的．换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,因而在研究方程、不等式、函数、数列以及三角函数等问题中有着广泛的应用．换元的方法主要有局部换元、三角换元、均值换元等．下面笔者通过几个不同的例子介绍换元法的应用．     

从结构突破进行三角变换

三角公式结构的多样性 ,使得三角式的结构多种多样 :幂的高低、和与积、分式与整式、有理式与无理式、各项的合理组合等等 ,都是三角式常常表现出的差异 .分析、明确这些结构上的差异 ,进而设法消除这些差异的思路 ,为我们提供了三角变换的又一个有力途径 .1　升幂与降幂三角公     

分式运算中实用的数学方法

运算能力是代数的一个主要能力,运算离不开数学方法,下面就分式中常用的数学方法例举如下.一、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换.目的变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究.以达到高项为低项,分式为整式,无理式为有理式等.在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.     

三角代换法

三角代换是换元法的一种,某些代数问题在一定条件下完全可以转化为三角问题,从而简化运算过程,使解法耳目一新.它的基本思路是,依据代数式的结构特征,运用一些基本三角公式,把代数问题转化为三角问题进而灵活运用三角知识求解.这种方法可以称之为三角代换法,这种代换常有以下几种形式:     

三角函数最值的特征解法

三角问题是高考的一大热点,尤其是求三角函数的最值,更是高考经常出现的考点.求解三角函数的最值一般有三种方法:(1)三角方法:先通过三角恒等变换,化为只含一个角的一种三角函数的式子,再依|sinx|≤1或|cosx|≤1来确定函数的最值;(2)代数方法:先通过变量代换转化为代数函数,再选用配方法、不等式、判     

用三角代换解竞赛题

数学竞赛中的某些代数问题用代数方法求解较为复杂，若能根据题目条件与结论的结构及内在特征，恰当地进行三角代换，往往能化繁为简，化难为易．     

浅谈第一换元积分法——凑微分法

在高等数学中,第一换元积分法(凑微分法)是一种重要的积分方法.它的关键是通过适当的变量代换,将不易求出的不定积分化为基本积分公式表中某一可以利用的基本公式,最终求出不定积分的方法.