意料之外 情理之中——谈学习基本不等式的几个误区

<正>在一次基本不等式的复习课上,笔者准备了几道常规题.本想以此让学生回顾一下公式内容及其简单应用,没想到本应在情理之中的回答却出现意料之外的结果.按理说,基本不等式形式简约、逻辑简易、操作简单,本不应出现这么多错误,但事实却并非如此.这促使笔者对这一现象的成因进行分析研究,对教师的教与学生的学在认识和操作层     

一道课本习题的妙用

做题不一定能学好数学,但要学会应用数学解决问题,却要依托于做题．如何通过做题,夯实双基,提高理性思维能力,并学会创新和应用,对于学生来讲,最行之有效的办法就是解法开放．在平时的教学中,笔者倡导学生一题多解、一题多思、一题多变．在上完选修4．5的《证明不等式的基本方法》和《柯西不等式》后,笔者只给学生布置一个题目,这是一道看似简单,但却具有丰富内涵的题目,要求用高中所学的知识,用多种解法加以证明,然后笔者把不同解法整理并展示．因为有充裕的时间,加上学生好胜的心理,大家都很积极去思考,     

一类对称不等式的另证

文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题．笔者发现，此类问题若利用不等式等号成立的条件，配凑后使用均值不等式，则会更简单．本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例，对这一类对称不等式进行证明（例2使用数学归纳法会更简单）．     

“配”中求活——不等式a^2＋b^2≥2ab的活用

不等式a^2＋b^2≥2ab（或a＋b≥2√ab，a〉0,b〉0）是—个最基本的不等式，但它的应用却十分灵活广泛，在高考及竞赛中经常出现．应用这个不等式常常需要作适当的“配”才能见效，体现了这一基本不等式应用的灵活性，本从几个方面探究“配”的技巧．[第一段]     

“柯西不等式与排序不等式”单元教学建议

柯西不等式与排序不等式是新课程中的新增内容,是不等式内容的一个重要部分,是一种基本不等式形式,有其独特的外形和广泛的使用范围．柯西不等式是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一．在本单元,学生将通过不等式基本性质,基本不等定理来推导柯西不等式、排序不等式,并会初步运用这两个不等式定理进行计算、证明一些不等式的结论、     

由一组题组辨析基本不等式的应用条件

由于不等式问题相对比较灵活，能较好地开发学生的逻辑思维能力，因此成为高考的必考内容之一．在用基本不等式证明一些不等式问题时，有些貌似相同的题目用相同的方法来解决，却得出了截然相反的结果．这到底是怎么回事？在复习不等式时，本人将以下2道题作为一组题组呈现给学生，许多学生能解答第1题，却在解第2题出现困惑，通过及时引导辨析，达到了拨乱反正的目的．     

例谈对数平均不等式在高考中的应用

高中数学教材上的算术几何平均不等式是大家最熟悉的常用不等式,对这个不等式加强之后的对数平均不等式大家可能见得比较少,笔者在此借助近几年的高考题及自主招生题,谈谈这个不等式的简单应用．对数平均不等式的基本内容如下：     

从一个最基本问题谈起

1．最基本问题 我们这里所说的最基本问题是：若n∈R，则有a^2≥0．这是一个连初中生都明白的简单的数学事实．但正因为它简单明了，却没有引起足够重视，才导致了不等式学起来困难，也不清楚几乎所有的不等式问题，都是由此逻辑演绎推理而得到．     

数学教材的二次开发课例——二元一次不等式表示的平面区域

笔者所在教研组申请了省级课题“数学教材的二次开发”,课题研究过程中正好参加了市里的青年教师基本功大赛,在上课这一环节笔者与此课题有了一次亲密接触．以下为二元一次不等式组和简单的线性规划问题的第一节课——二元一次不等式表示的平面区域一课的课堂构思．     

“利用基本不等式求最值”教学实录与反思

基本不等式√ab≤a+b/2(a≥0,b≥0)是现行普通高中课程标准实验教科书(苏教版)数学必修5第三章“不等式”第4节的内容,在江苏省考试说明中一直是C级考查要求,即属于掌握层次.利用基本不等式求最值是基本不等式的一个重要应用,是历年高考必考的重点内容,其中有些问题看似简单实则易错、难解.为此笔者在高三一轮复习时特地安排了一节“利用基本不等式求最值”的探究课,现给出本节课的教学实录与反思,供大家参考.     

“变更命题法”在数学归纳法中的应用

数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,最常见的是用数学归纳法证明数列不等式,这虽然是一个行之有效的基本证题方法,但运用这种方法证明数列不等式时,有时候在证k到(k 1)的过程中,却卡了壳,断了思路…．而此时证明与原不等式等价的命题就可顺利解答．     

“含有绝对值不等式”的探讨

“含有绝对值的不等式”既是“不等式”这一章中重要内容之一，也是继续学习高等数学的基础，因而，本小节内容经常在高考试题中出现．本小节的具体要求：①会解含有绝对值的不等式；②理解绝对值不等式的性质，会运用性质解决问题．     

证明不等式的13种方法

不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的．因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料．笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙．     

以二次函数为“影子”的不等式问题

二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内函与外延．以它为素材可以研究函数的单调性、最值性,也可以建立起函数、方程、不等式三者间的联系．尤其以它为载体与不等式知识结合在一起,同时涉及到化归思相、方程思想、数形结合等数学思想方法．因此以二次函数为“影子”的不等式综合性问题频繁在高考中出现,本文通过个例题就二次函数在不等式上的体现作一些简单探究,仅供同学们参考．     

第七章“一元一次不等式”学习指导

【本章概述】本章是在研究了等式的基础上,研究不等式的有关知识及其应用．通过学习要能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,会探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集;能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题;了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系,并会应用这种关系解决问题．     

关子和的不等式

有限数列的和，是一种非常基本的量，由于求和往往是一个较为困难的问题，因此，对于某些和，我们常转而考虑其各种不等关系(例如上、下界的估计等)．关于和的不等式，在各类数学竞赛中也经常涉及，本将简单地谈谈这方面的问题．     

一类有关和的不等式的统一证明及推广

关于和的不等式在各类数学竞赛中频频出现，拜读了余红兵教授《关于和的不等式》一后受益匪浅．但对于中所说“在证明∑ai〈0时．可采用下面策略：对i=1,2,…，n．将每个单项ai放大至适当的bi，使得b1,…，bn的和b1＋…＋bn易于处理．且结果为0或不大于0，这一原则将“单项”与“整体”相结合，应用最为广泛．但怎样放大ai却并无简单的规则．得视具体问题而定．”对这一观点笔有不同的意见，经研究发现许多和的不等式按这种思路还是有统一的规则，能自然而简捷地解决，为此我们先证明如下定理．     

关于“积定和最小”与“和定积最大”

<正>"基本不等式"是我国高中数学中的重点和难点,《课标》要求学生会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,现行的各种版本教材很好地落实了这一要求.例如,在普通高中实验课程标准教科书《人教A版数学必修5》的"基本不等式"一节中,在讲述完基本不等式之后,紧接着转入基本不等式的应用,用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,主要有两大类:"积定和最小"与"和定积最大",教材结合实例对这两类典型应用做了讲解,这两类典     

一道高考压轴题求解的心路历程

2010年新课标全国卷（理科）第21题,是一个有着高等数学的背景,在函数、导数及不等式等知识交汇处命题的综合性问题,看似简单,却颇费思量．现将笔者求解的心路历程展示如下,希望得到大家的共鸣与讨论．     

利用基本不等式解题的常见误区

基本不等式是证明不等式、解决最值问题的重要工具．但是,使用基本不等式有一些限制条件,有些同学由于忽视这些限制条件而盲目使用基本不等式,导致解题过程中出现错误．现举例分析利用基本不等式解题的常见误区．