制作三阶幻方的通法

《中学数学教学参考》2004年第8期刊登了孙宏安老师《幻方》一文介绍了三阶幻方：……宋代数学家和数学教育家杨辉指出了三阶幻方(即九宫图)的制作方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”这是中国古代数学的成就之一．但是，这一制作三阶幻方的方法有很大的局限性．若所给的9个数不是某等差数列连续的9项则往往不会成功．例如：用3、8、10、13、15、17、20、22、27制作一个三阶幻方．运用“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的方法就不会成功。     

奇妙的“幻方”

世界上最早出现的幻方是我国古代的“洛书”。洛书给出的形式为:用空心圈表示奇数,用实心圈表示偶数,则得如图1所示图形: 用现代符号表示即为如下三阶幻方:     

趣谈“幻方”与“数阵”

“幻方”与“数阵”是中华古文化的象征.相传在我国原始社会氏族部落领袖伏羲时代有龙马出自黄河,背负“河图”;神龟出自济水,背负“洛书”的神话.这是我国最早的“幻方”(如图1、2)。     

巧破三阶幻方

-14-3-2023-41510346892781843101416212上期问题答案:我们所熟知的这个三阶幻方叫做“洛书”,它是最基本的三阶幻方。以“洛书”为基础,我们可以构造出很多很多“广义”三阶幻方,其中的数字不再是1到9九个自然数,但仍然可以做到每行、每列、以及两条对角线上每三个数的和都相等。例如,把基本三阶幻方的每个数都加上1就得一个新的三阶幻方(当然是广义的),把基本三阶幻方的每个数都减去5、或者都乘上2,也可以得新的三阶幻方,如下图所示,请同学们验证:现在看看我们所要填的三组数:(1)6,7,8,9,10,11,12,13,14;(2)3,6,9,12,15,18,21,24,27;(3)1,…     

奇素数阶规则完美幻方的个数

由于五阶完美幻方具有十分丰富的优美性质,最近研究它的学者很多.湖北郧阳师专部格于有39页的长文彻底论述了《五阶及六阶完美幻方》.其中五阶完美幻方的不同变式,他的结论也是144式,他的研究工具是齐次线性方程组,及其系数矩阵.系数矩阵的秩为16,解的空间维数为9,从而提出9个线性无关的基底,最后合并成矩阵K,此为广义五阶完美幻方的一切解. K_1 K_2 K_3 K_4 K_5 K_6 K_7 K_8 K_9 K_6 K_7 K_8 K_9 K_1 K_2 K_3 K_4 K_5K= K_3 K_2 K_5 K_4 K_7 K_6 K_9 K_1 K_8 K_i∈R(i= 1,2,…,9) K_4 K_9 K_1 K_6 K_3 K_8 K_5 K_2 K_7 K_5 K_8 K_7 K_2 K_9 K_1 K_4 K_3 K_6当K_1、K_3、K_5、K_7、K_9取1,6,11,16,21的一个排列,K_2,K_4,K_6,K_8取1,2,3,4的一个排列,可得所有的五阶完美幻方.此外,上海徐桂芳、兰州黄均迪合写一文《五阶纯幻方知几多》,用五进制法彻底研究了五阶完美幻方的变化结构,他们也获得了144式五阶完美幻方.对上述两文有兴趣的读者请参看原文.     

幻方探胜

幻方和数阵图是我国丰富的文化遗产之一,相传远古时代大禹治水时便发现了“河图与洛书”最早载于《周易》,如图1洛书图实质是代表方位的数阵图.     

“先天易”与纵横图

通过对朱熹《易学启蒙》的探讨与分析，文章认为，宋代“先天易”在对“河图”，“洛书”的研究中，已经认识到了幻方的一些性质，并对此作了确切的论述和记载，这些思想和认识对后来的纵横图可研究可能产生过重要的影响。     

填数游戏：三阶幻方及有关数阵

传说远在夏禹治水时(公元前23世纪)，在洛水里浮出一只神龟，背上有一个九种花纹的图，后人称之为“洛书”(如图1)．实际上，它就是从1到9的9个连续自然数排成3行9格的图(见图2)，即3阶幻方．细心的读者不难发现图2里任一行，任一列以及两条对角线上的3个数之和都是15，     

三阶幻方种种

相传4000多年前,大禹治水留下了“河图”、“洛书”的故事,到了南宋人们称此图为“纵横图”,又称“九宫图”：九宫者,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居其中（如图1所示）．这就是大家在中、小学数学课本中所熟知的三阶幻方．     

幻方不“幻”

将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入图1中9个小方格内，使各行、各列、各对角线3个数之和相等．这就是幻方问题，因构建困难而觉得其“智力”含量挺大．殊不知，有一个方法，可以很方便地填出这种三阶幻方．现分4步说明：     

当一回幻方魔术师

对于图1，同学们或许眼生，可是将图1（b）数据化为图2的数字方阵后，你会脱口说出：“幻方！”据我国古代著名典籍《易经》记载，图1是当时河南洛阳的洛水河里的神龟背甲上的“洛书”.它的出现，标志中华民族繁衍生息的土地上，也滋生了幻方这一古老的数学问题.幻方是每一行、每一列以及对角线上的数字和都相等的数字方阵.这个数字和叫幻方常数，也称为幻和或幻数.只要你手勤，你会发现，每个幻方都有自己的幻方常数，由幻方的定义去试试，你能完成图3与图4两个幻方吗？对于像图2以及你刚完成的图3、图4这类每个数字都是自然数的幻方，同学…     

填数——初一数学竞赛系列讲座(10)

我国古代很早就有关于填数的研究.《系辞上传》曰:“河出图,洛出书,圣人则之”.其中“河出图”是指伏羲氏统治天下时,黄河中出现一条龙马载着一张“河图”送给伏羲;“洛出书”则是指大禹治水时,洛水中跃出一头神龟,背上刻着一张“洛书”献给大禹,帮助他统治天下.其中,“洛书”如图1所示:把“洛书”转化为现代数字来表达则如图2所示,这其实就是把1,2,3,…,9这9个数字填入3×3的方格,使它的每行、每列和两条对角线的三个数的和都等于15,这也就是三阶幻方.有人认为“洛书”是中国古代的一个天文历法数图.图中的9个数是以北斗星的招摇与二十八宿…     

三阶幻方及其妙用

相传在夏禹治水时,洛水(今陕西洛河)里浮出一只大神龟,此龟背上有黑白圆圈45个,后来人们把此图(图1)称“洛书”,把图中的小圆圈依次用数字排列起来如图(图2) 洛书的传说始于北宋,又有民间歌诀“四海三山八洞仙,九龙五子一枝莲,二七六郎赏半月,周围十五月团圆”.洛书在数学方面的奇迹是神妙地排列了一至九这九个数,它的横三行,竖三列,两条对角线共八条直线上的三个数之和均为十五.如图2就是三阶幻方问题,“三阶幻方”有一个最明显的性质就是它的横、竖、对角线上的三个数之和都相等.我们可以迁移这一性质去解决一些数学问题.下面举几例说明.     

神龟背上的“幻方”

相传在我国古代,大禹治水时,在洛水里浮出一只神龟,神龟的背上有九种花纹(如图1),后人称之为“洛书”。“洛书”实际上是一个标准的三阶幻方。     

幻方与等幂和问题

一、引子首先 ,介绍一下幻方与等幂和问题 .幻方对于我们并不陌生 ,它源于古老而神奇的“洛书” .相传在大禹治水的时候 ,洛水里出现一只大龟 ,背负一幅图 ,上有黑白圈 45个 ,用直线连接成九数 (如图 1 ) ,后人称之为“洛书” .4 9235 7816图 2　　　　洛书实质就是我们现在所说的三阶幻方(如图 2 ) ,它一个明显的特征是每一行每一列以及对角线上的三数之和都是 1 5.由于它具有这种奇妙的性质 ,所以至今仍吸引着人们去探寻它的奥秘 .人们已经找到了构造奇数阶幻方的一般方法 (限于篇幅所限 ,本文略去构造步骤 .)等幂和问题是数论中的著名问…     

知识天地

右边正方形的十六个小方格内填有1、2、3、4、5、6、7、8八个数,请你在空下的小方格内分别填上9、10、11、12、13、14、15、16八个数,使图中在同一行、同一列、同一对角线以及每一相邻的四个小方格所组成的小正方形内四个数的和都是34。 如果变换这个数字幻方中数字的位置,还可以组成如下图所示的排列不同而结果相同的幻方。想想看,应怎样填?(俞关伯)     

用整体核算法剖析三阶幻方——从新编教材一例谈起

义务教育课程标准实验教科书《数学))(七年级上)多次引人了方阵图—幻方. 例如,将一8,一6,一4,一2,o,2,4,6,8这9个数填人图l一一一一11一︸一一夕白一一一一图一9一5一1一图的9个空格中,使得每行、每列、每条斜对角线上3个数相加均为0. 这类填数问题,内涵丰富,灵活多样,趣味性强,引人人胜一般,称它为三阶幻方.在我国远古时代,大禹治水时,便发现了“河图”,汉代的徐岳则称之为“九宫算”:九宫者,二、四为肩,六、八为足,左七右三,戴九履一(图2). 到现在,人们已将三阶幻方给出一般的定义:在3 X3的方阵图中,每行、每列、每条对角线上3个数的和…     

正方体中的组合数问题

本文初步归纳了正方体中比较典型的与组合数相关的问题 ,特介绍如下 .图 1(1 )正方体的1 2条棱中任取两条 ,有 C1 8· C23=2 4种相交的情形 ,有C1 3·C24 =1 8种平行的情形 ,有 C21 2 - C1 8C23- C1 3· C24 =2 4种异面的情形 .其中 C23是指有公共顶点的三条棱任取两条 ;C1 8对应 8个顶点 .C1 3· C24 是指左右水平、前后水平、上下垂直这三种情形的棱各有四条且从中任取两条 .图 2(2 )正方体的 8个顶点中任取 4个 ,能够形成三棱锥的有 C48- 6 - 4 - 2 =5 8种情形 .其中 6 ,4,2分别表示三类 4个点共面的情形 .上下左右前后是正方体的 …     

巧填奇数阶幻方

有人建议向火星发射如图1的图案,来了解火星上是否有和我们人类一样的智能生物. 其中9个格中的点数分别1、2、3、4、5、6、7、8、9,每一横行,每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等,这种点数阵叫做幻方,图1是三阶幻方.     

世界上最古老的幻方——洛书

对于幻方,同学们或多或少有所了解。我们知道:将从1开始的若干个连续的数放在方阵中,能够刚好形成每行、每列、两条对角线上的各数相加和都相等的方阵,就叫做幻方。其中,世界上最早出现的幻方是我国古代的“洛书”。