一个性质巧解两道高考题

等差数列│a_n│的前n项和S_n,有这样一条性质: 数列{a_n}为等差数列,S_n为它的前n项和,则点（n,S_n/n）在直线y=a_1 (x-1)     

一个不容忽视的结论

我们知道,首项为 a_1,公差为 d 的等差数列{a_n}前 n项和 S_n=na_1 ((n(n-1))/2)d,从本质上看,S_n 是关于 n 的函数,本文试图通过对 S_n 的研究,加深对等差数列的进一步的理解.对此有如下结论:定理:设 S_n 为数列{a_n}前 n 项之和,则{a_n}为等差数     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

2008年高考数列考题透视

一、最值问题例1 (宁夏卷)已知{a_n}是一个等差数列,且a_2=1,a_5=-5.(Ⅰ)求{a_n}的通项a_n;(Ⅱ)求{a_n}前n项和S_n的最大值.分析本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列前n项和的最值问题.     

等差、等比数列的充要条件

中学数学教材中,给出的等差、等比数列的通项公式和前n项和的公式,实际上都是等差、等比数列的充要条件。这四个充要条件,我们还可进一步简化如下(下面定理中,a_n表示数列通项,S_n表示前n项和,A、B、p、r、k均表示常数): 定理二数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=A_n B。定理二数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=An~2 B_n。     

例谈数形结合妙解等差数列题

众所周知,等差数列的通项a_n和前n项和S_n都可以看作为n的函数,从函数角度出发运用数形结合的思想求解等差数列问题,方法独特、简便易行,现举例加以说明：     

一道数列习题的多解

题目在数列{a_n}中,已知a_n=25-2n(n∈N*),求其前n项和S_n取最大值时n的值．解法1:∵数列{a_n}为等差数列,a_1=23,d=-2,     

1995年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题 1.设等差数列{a_n}满足3a_8=5a_13,且a_1>0,S_n为其前n项之和,则S_n(n∈N)中最大的是     

有关等差数列的三个公式

等差数列是最简形式的数列,中学数学教材里给出三个公式:a_n=a_1+(n-1)d,S_n=1/2n(a_1+a_n),S_n=na_1+1/2n(n-1)d。但有的题目用上述公式不大方便,例如已知任意两项求某一项或求和;已知前 k 项前 l 项的和求前 n 项和等等。上述问题按常规解法需解方程或方程组,运算较繁。贵刊1982年第一期倪承源同志的《等差数列的两个公式》一文,运用行列式知识给出两个定理,     

一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

运用函数的观点解等差数列问题

数列{a_n}是等差数列的充要条件是 a_n=a·n b(a,b 为常数).又数列{a_n}是等差数列的充要条件是 S_n 是 n 的不含常数项的一次或二次函数.这一结论使等差数列与函数相结合,则用函数的观点解决一些等差数列问题,会收到意想不到的效果。例1 已知等差数列 a、b、c 中的三个数都     

关于等差数列的一个重要定理

教材中对等差数列的概念、通项公式 a_n=a_1 (n-1)d,前 n 项和的公式 s_n=n(a_1 a_n)/2中的五个基本量 a_1,d,n,a_n,S_n,只要求“知三求二”.但在竞赛题中有一大类较特殊的数列求前 n 项之和用以上知识不易解决.本文先给出关于等差数列的一个重要定理,并给出完整的证     

一类数列求和的简便方法——兼谈使用公式 an=Sn—Sn-_1应注意的一个问题

通项 a_n 和前 n 项和 S_n是数列的两个基本特征量.如果给定通项公式 a_n=f(n)或给定前 n 项和公式 S_n=F(n),这个数列就完全确定了。两个公式是有密切联系的,我们可以根据 a_n求 S_n,也可以根据 S_n求 a_n.本文拟介绍用解方程组的方法解决一类数列的求和问题.     

探索规律 扩展思维 培养创新能力

一、探索不循环规律 等差数列：对于一列数a_1,a_2,a_3,…,如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数,那么这列数就叫做等差数列.此时后一项与前一项的差值称为公差,通常记作d.对于等差数列,其第n项为a_n=a_1＋（n-1）d,前n项的和为S_n=（n（a_1＋a_n））/2.特别地,奇数列：1,3,5,7,9,…是等差数列,公差为2,第n项为2n-1,前n项和为n-2;偶数列：2,4,6,8,10,…是等差数列,公差为2,     

数列题的改编过程

教材原题1（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n~2＋1/2·n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是,它的首项与公差分别是什么？改编过程原题是已知S_n求a_n的基本题型.我们知道,对于任何数列{a_n},Sn与a_n有如下关系：     

关于高阶等差数列的问题——从等差数列谈起

大家知道,如果数列a_1,a_2,a_3,…,a_n,…是一个r阶等差数列,那么,它的通项a_r是n的r次函数,而它的前n项的和S_n则是r+1次函数.目前一些书刊根据这种理论来讨论这个数列的通项和前n项的和时,大都是采用待定系数法,通过解线性方程组来决定其系数,最后,才能求得这个数列的通项公式和前n项和的公式.这种方法是比较复杂的.本文准备采取另外一种方法,即从最简单的等差数列(即一级等差数列)来讨论,逐步推导出二阶等差数列,三阶等差数列,直至r阶等差数列的通项公式和前n项和的公式.     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

1998年高考数学压轴题几种解法及比较

’98高考数学压轴题,即第25题(理):已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 …… b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1 1/b_n)(其中a>0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和。试比较S_n与1/3log_ab_(n 1)的大小,并证明你的结论。此题旨在考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力。解法一:利用数学归纳法求证     

高考数列问题精点

数列是初等数学与高等数学的衔接点之一,因此历来是高考的重点.纵观近10年的高考数学试题,对数列知识着重在如下两个方面作了考查:一是数列的概念及有关计算,二是等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和的公式的直用.数列的通项公式是数列{a_n}中的第 n 项 a_n 与项数 n 之间对应关系的一个解析表达式,它是研究数列的有力工具.通项 a_n 与前 n项和 S_n 之间有着如下关系:     

由一道高考题看等差数列的奇妙性质

1995年全国高考数学有这样一道选择题:等差数列{a_n}、{b_n}前n项和分别为S_n和t_n若S_n/T_n=2n/3n 1,则(?) (a_n/b_n)等于( )(A) 1; (B)6～(1/2)/ 8; (C)2/3; (D)4/9