一道复习题的再证及推广

对于义教初中几何第二册的一道复习题“过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于F和E,求证AE:ED=2AF:FB”,文[1]通过挖掘探索得出:过点A、B、D分别作平行线可以证得结论,从而把点A、B、D称作“活端点”;过点E、F分别作平行线无法证得结论,从而把点E、F称作“死端点”,而文[2]通过事实说明点E、F是“活端点”而不是“死端点”,但其证明方法用到了方程的思想、相似三角形的有关性质及面积变换等知识,确实繁琐。本文给出证明点E、F是“活端点”的一种较简单的方法,并对该题目进行推广。     

一道平几联赛题的解析法证明

题目如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F.过点E作BA的平行线交CD的延长线于M,BM交AD于点N,证明:∠AFN=∠DME.(2007年全国初中数学联赛(A、B、C卷)二题).     

三角形的一个面积公式的应用

结论 如图1，△ABC中，B、C两点之间的水平距离是h，过点A作铅直直线交BC于D，则S△ABC=1/2AD·h. 证明 过点B、C分别作AD的垂线BE、CF，垂足分别是E、F，     

一道IMO预选题的探究

文[1]：在△ABC中,DE过A点且与BC平行,∠C、∠B的平分线分别交AB、AC于F、G;交DE分别于D、E,若DF=EG,求证：AB=AC．     

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第一天1.(50分)已知锐角△ABC,过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙O_1分别交于点D、E;过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙O_2分别交于点F、G.证明:E、F、D、G四点共圆,并确定圆心的位置.2.(50分)记d(n)为正整数n的正因子     

椭圆的一个性质的推广

文[1]给出了对椭圆的一个长轴端点张直角的弦所在直线过定点．即： 命题 在椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）中,自长轴的一个端点D,作互相垂直的两条直线交椭圆于A、B,连A、B交x轴于E,则E为定点．     

问题解答

2008年第9期问题解答187.如图,D为△ABC的边BC的中点,过AD的中点N作与BC不平行的直线l,分别交边AB、AC于点M、P.求证:ABAM AACP=4.证明:如图,过点B、C分别作AD的平行线交l于点E、F,则BMAM=ABEN,ACPP=ACNF.两式相加,得BMAM ACPP=BEA NC F.因为BE∥AD∥CF,D为BC的中点,所以BE CF=     

数学奥林匹克问题

本期问题高351如图1,不等边△ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于点D、E、F,A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB的中点,D′、E′、F′分别为点D、E、F在△DEF的边EF、FD、DE上的射影.证明:A′D′、B′E′、C′F′三线共点.     

再谈圆锥曲线中的相交弦和切割线定理

文[1]将圆的相交弦定理和切割线定理推广到了椭圆,文[2]进一步推广到双曲线,但未能推广到抛物线,文[3]给出了形式相似的三类圆锥曲线的相交弦与切割线定理,但形式繁杂.本文给出圆锥曲线的统一的形式简洁的相交弦和切割线定理.定理1过点P的直线l,m分别交圆锥曲线E于点A、B和C、D     

圆锥曲线中一组平行弦性质的简证

在文[1]中 定理对于给定的圆锥曲线C,点F是C的焦点,点A是相对该焦点的顶点,相对于焦点F的准线l与曲线C的对称轴交于点E,若分别过点F、A、E作曲线C的平行弦GH、     

平行线的一个性质及其应用

平面几何问题中经常出现平行线这一已知条件,它在证明中能发挥出许多作用,这里介绍一下与平行线有关的性质.如图1,若AB∥CD,过O点的直线交AB于A、E、B,交CD于C、F、D,则     

一个几何不等式的简证

文[1]给出了关于三角形中线的一个不等式,即“在△ABC中,成立不等式 ab/m_am_b+bc/m_bm_c+ca/m_cm_a≥4,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。”下面利用上述结论证明文[2]中的一个几何不等式。题目设△ABC的重心为G,AG,BG,CG的延长线分别交三边BC,CA,AB于D,E,F,交△ABC的外接圆于A′,B′,C′,求证: A′D/DA+B′E/EB+C′F/FC≥1, 证明:设BC=a,CA=b,AB=c,AD=m_a,BE=m_b,CF=m_c。     

一道中考试题的教学思路设计

题目：（2010广州）如图1,⊙0的半径为1,点P是⊙0上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是APB上的任一点（与端点A、B不重合）,DE⊥AB,垂足为E,以点D为端点、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C．     

巧用平移旋转证明几何题

全等三角形的性质定理与判定定理是平面几何知识的基础,有着广泛的应用.有些几何图形虽然不是明显的全等三角形,但是可根据图形条件或结论的特点,通过平移或旋转来构造全等三角形,进而利用全等三角形的性质证得结论.一、将一部分图形平移,构造全等三角形证题例1如图1,已知在△ABC中,A D是BC边上的中线,E是A D上一点,BE=AC,BE的延长线交A C于F,求证:A F=EF.分析本题可通过作△AD C关于点D的对称△GD B,从而把证AF=EF,即∠FAE=∠A EF转化为证明∠G=∠BEG.证明作BG∥AC交A D的延长线于G,则△AD C≌△GD B.因为AC=BG,…     

一道数学奥林匹克试题的拓广

2010年第六届北方数学奥林匹克第二题:如图1,已知PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,过P点的割线与⊙O交于C、D两点,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F,求证:CE=EF.笔者通过探究,发现将该题中的⊙O换成圆锥曲线,其他条件不变,结论仍然成立.     

数学问题与解答2002年第6期问题解答

571.P为△ABC内一点,分别连接AP、BP、CP,并延长交BC、CA、AB于D、E、F。若AD平分∠EDF,求证:AD⊥BC。 证:过A作BC的平行线,DF、DE的延长线交此平行线于M、N(如图1)。     

一道安徽省中学数学竞赛题的又一证法

1978年安徽省中学数学竞赛试题第二试第3题为：“过三角形的重心任作一直线，把这三角形分成两部分，证明这两部分面积之差不大于整个三角形面积的.如[1].在“三角形面积问题举例”一节中，介绍了这道试题的向量证法.如[2]，在证不等关系一节中，在斜坐标系中介绍了这个试题的解析几何证明.本文结合三角形面积公式再给出这道试题的一种简单证明.证如图所示，过△ABC重心G的直线l分别交AB及AC于M及N.现在我们先证明为此，连AG并延长交BC于D，又过B及C分别作AD之平行线与直线l各交于E及F点.则DG是梯形BCFE的中位线.故有BE＋CF＝2…     

一类几何证明题的研究

在学习平面几何时有这样一道证明题: 已知:两圆交于A,B两点,过A,B分别作直线与两圆分别交于C,D,E,F.     

我的相似三角形学习心得

一、充分利用平行线,或巧作平行线,把比例问题化归为平行线分线段成比例的基本图形平行线是相似三角形中最活跃的“元素”,而平行线分线段成比例定理及其推论是证明线段成比例的重要依据.例1如图1,过ABCD的对角线BD上任取一点P,过P点引一直线分别与BA、D C两边的延长线交于E、G     

一道中考题的九种证法

题目如图1，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE，连结EM并延长交BC的延长线于D．求证：BC=2CD．（1994年吉林省中考题）一、过C点作平行线证1如图1，过C点作CF／／AB交ED于F，则易知AMEF．所以证2如图2，过C点作CF斤DE交AB于F．故BC=2CD．二、过E点作平行经证3如图3，过E点作EF／／BD交AC证4如图4，过E点作EF／／AC交BD由（1）、（2），得BC—ZCD．三、过A点作平行线证5如图5，过A点作AF／／ED交BD＿，，。，、＿＿＿。BDBE延长线于F，则于子一三千一3．——””——““’”“DFEA””证6如图6，…