奇函数、偶函数图象定理的推广

由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明　 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ …     

2002年湖南省高中数学奥林匹克

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ　 (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ　 (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 (　　 )…     

数学奥林匹克高中训练题(59)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ　　　　 (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ　 (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 (　　 ) .(Ａ)奇函数　 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ…     

利用函数的奇偶性解题策略

函数的奇偶性是函数的重要性质之一 ,其应用十分广泛 .本文要介绍函数的奇偶性在求函数解析式、比较函数值大小等方面的应用 ,以及如何构造奇偶函数解决一些方程、不等式或参数值的问题 .供学习参考 .一、利用奇偶函数确定对称区间上的单调性规律 :奇函数在对称区间上单调性相同 ,偶函数在对称区间上单调性相反 .(证略 )例 1　已知函数ｆ(ｘ)在 ( 2 ,9)上递增 ,且ｆ(ｘ)是奇函数 ,则函数ｆ(ｘ)在 ( -9,-2 )及( -7,-5 )上单调性如何 ?解 :∵ｆ(ｘ)是奇函数 ,且ｆ(ｘ)在 ( 2 ,9)内递增 ,而 ( -9,-2 )与 ( 2 ,9)是关于原点对称的区间 ,故函数ｆ…     

巧用奇偶函数定义的变形讨论函数奇偶性

数学教科书上定义了奇函数和偶函数:对定义域内任意 x,若都有 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数:若都有 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数.并据此定义来判断函数的奇偶性,一般来说,凭此能判断得了.可是,有部分函数直接利用上述定义去判断奇偶性,却判断不了,甚至会得出错误的结论.但是对上述定义进行如下     

抽象函数题——说声爱你不容易

综观近年高考试题和中学数学期刊 ,抽象函数问题已经成为新的视点。然而 ,在这类问题的编制和求解中 ,若稍有疏忽也易致误。本文就几道流行题做一剖析 ,以期引起关注。例 1　 (2 0 0 1年天津市高考模拟题 )　已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,若 ｇ(ｘ)是奇函数 ,且 ｇ(ｘ)=ｆ(ｘ -1 ) ,ｇ(2 ) =2 0 0 1 ,则 ｆ(1 999)的值等于 (　　 )(Ａ) -2 0 0 0　　　 (Ｂ) -2 0 0 1(Ｃ) 2 0 0 0 (Ｄ) 2 0 0 1通常的求解思路是 :由题意 ,知 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ +1 ) =-ｇ(-ｘ -1 )=-ｆ(-ｘ -2 ) =-ｆ(ｘ +2 ) ,∴ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ +4) ,则 ｆ(ｘ)是周期函数 ,…     

从一道三角题谈函数的奇偶性教学

题目　判断函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 的奇偶性 .不少学生是这样解答的 :ｙ =1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ=2ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 2ｓｉｎ2 ｘ22ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 2ｃｏｓ2 ｘ2=2ｓｉｎ ｘ2 (ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 )2ｃｏｓ ｘ2 (ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 )=ｔｇ ｘ2 .∵ｆ(-ｘ) =ｔｇ(- ｘ2 ) =-ｔｇ ｘ2 =- ｆ(ｘ) ,所以函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 是奇函数 .初看 ,解答正确 ,其实结论是错误的 ,原函数既非奇函数也非偶函数 .之所以会产生这种情况 ,究其原因 ,一方面…     

判断函数奇偶性的七类陷阱题

一、忽视复合函数中变量的范围致错例1已知函数f(x2-1)=lg(xx2-22),试判断f(x)的奇偶性.错解令t=x2-1,则x2=t+1.∴f(t)=lgtt-+11,即f(x)=lgxx-+11.∵f(-x)=lg--xx+-11=-lgxx-+11=-f(x),∴f(x)为奇函数.解析函数奇偶性是建立在定义域关于原点对称的前提条件下的,因此应首先求出原函数的定义域.若定义域不关于原点对称,则原函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,则再用奇偶性的定义判断.此题由xx2-22>0,即x2>2,∴t=x2-1>1,故得函数f(x)的定义域为｛x｜x>1｝,关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶函数.二、忽视函数的定义域致错例2判断函数y=…     

高等数学练习题2

5　不定积分5 .1　填空题(1 )曲线在任意一点处的切线斜率为 2ｘ ,且曲线过点(2 ,5) ,则曲线方程为。(2 )已知函数 ｆ(ｘ)的一个原函数是ａｒｃｔａｎｘ2 ,则 ｆ′(ｘ) =。(3)已知Ｆ(ｘ)是 ｆ(ｘ)的一个原函数 ,那么∫ｆ(ａｘ+ｂ)ｄｘ =。(4)若∫ｆ(ｘ)ｄｘ =ｘ+1ｘ - 1 +ｃ,则 ｆ(ｘ) =。(5)若∫ｆ(ｘ)ｄｘ =Ｆ(ｘ) +ｃ,则∫ｅ-ｘｆ(ｅ-ｘ)ｄｘ =。答案(1 )ｙ =ｘ2 +1(2 ) 2 - 6ｘ4(1 +ｘ4 ) 2(3) 1ａＦ(ａｘ +ｂ) +ｃ(4) - 2(ｘ- 1 ) 2(5) -Ｆ(ｅ-ｘ) +ｃ5 .2　单选题(1 )设∫ｆ(ｘ)ｄｘ =ｘｌｎｘ+ｃ,则ｆ(ｘ) =(　　 )。　Ａ ｌｎｘ+1　…     

“分子”有理化在解题中的应用

分母有理化我们都比较熟悉,而分子有理化,也是一种常用的数学方法,应用范围颇广.下面举例说明.一、求函数的单调性例1　求函数ｙ=ｘ+1-ｘ-1的单调性.解:由于该函数的定义域是[1,+∞),并且有ｙ=ｘ+1-ｘ-1=2ｘ+1+ｘ-1,故它在定义域[1,+∞)上是减函数.二、判定函数的奇偶性例2　试判定ｆ(ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1-ｘ)的奇偶性.解:易知该函数的定义域为Ｒ.∵　ｆ(-ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1+ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1+ｘ)(ｘ2+1-ｘ)ｘ2+1-ｘ=ｌｇ1ｘ2+1-ｘ=-ｌｇ(ｘ2+1-ｘ)=-ｆ(ｘ),∴　ｆ(ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1-ｘ)是奇函数.三、解证不等式例3　解不等式ｘ+4-7-2ｘ>3(1-ｘ).解:∵　…     

函数单调性的几种特殊情形的证法

辩证唯物主义认为事物是普遍联系和变化发展的 ,不能用孤立和静止的观点看世界 ,而应该具体问题具体分析 ,察颜观色、随机应变 .同样在函数单调性的证明上也应坚持此原则 ,下面略举几例加以说明 .1　奇偶函数单调性的证明例 1　试判定函数ｆ(ｘ) =ｌｎ(1+ｘ2 +ｘ)的单调性并给出证明 .分析　对于奇函数或偶函数 ,只需证明此函数在ｘ>0 (或ｘ <0 )时的单调性 ,再借助于奇偶函数的对称性即可给出其对称区间的证明 .证明　 1+ｘ2 +ｘ>0 ,函数的定义域为Ｒ .设 0 ≤ｘ1 <ｘ2 ,则有1+ｘ21 - 1+ｘ22 =(1+ｘ21 ) - (1+ｘ22 )1+ｘ21 +1+ｘ22= ｘ21 -…     

周期函数的判定方法与应用

根据周期函数的定义 ,我们不难得到它的几个判定方法 .定理 1　设ａ、Ｔ是常数且Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ａ- ｆ(ｘ) ,则 ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明　ｆ(ｘ + 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ａ-Ｔ(ｘ+Ｔ) =ａ- [ａ-ｆ(ｘ) ]=ｆ(ｘ) ,即 ｆ(ｘ+ 2Ｔ)=ｆ(ｘ) .由周期函数的定义可知 ,ｆ(ｘ)是一个以 2Ｔ为周期的函数 .定理 2　设Ｔ是常数Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ｆ(ｘ-Ｔ) ,则ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明　ｆ(ｘ+ 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ｆ[(ｘ+Ｔ…     

例说函数奇偶性的几种判断方法

在函数奇偶性概念的学习中,应多方面、多角度地思考概念的内涵,要掌握函数奇偶性定义的等价形式,注重寻求简捷的解题方法．函数奇偶性的定义是:如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) (或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．函数奇偶性的定义反映在定义域上:若f(x)是奇函数或偶函数,则对于定义域D     

对称条件下函数的周期性

在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1　如果一个函数的图象有两条对称轴ｘ=ａ与ｘ =ｂ,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,对于定义域Ｒ上的任何ｘ ,都有 ｆ(ｘ) =ｆ( 2ａ-ｘ) ,ｆ(ｘ) =ｆ( 2ｂ -ｘ) (ａ≠ｂ) ,则函数 ｆ(ｘ)是周期函数 ,且 2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .证明　对于任一ｘ∈Ｒ ,都有ｆ[2 (ｂ-ａ) +ｘ]=ｆ( 2ｂ-2ａ +ｘ)=ｆ( 2ａ-ｘ) =ｆ(ｘ) ,∴ｙ=ｆ(ｘ)是一个周期函数 ,2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 ｆ(ｘ…     

函数奇偶性的探讨

函数是初等数学的主要内容之一,函数的奇偶性又是函数的一个重要性质,那么如何判断一个函数的奇偶性呢?判断函数的奇偶性,应紧扣它的定义。如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)),那么函数 f(x)就叫做奇函数(或偶函数)。定义揭示了奇函数与偶函数的定义域是对称于原点的实数,如果定义域不是关于原点对称的,则必不是奇函数也不是偶函数。因此,判断一个函数的奇偶性,首先判断它的定义域是否关于原点对称,然后再判断 f(x)与 x(-x)的关系。在解题的过程中发现,有好多题直接难以判     

孰断周期 孰断对称

由ｆ(ｍ+ｘ)=±ｆ(ｎ±ｘ)来判断抽象函数ｙ=ｆ(ｘ)的周期性或对称性的情况,这类问题可说是随处可见.那么,孰断周期,孰断对称?下面总结四种类型:类型一:由“ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)”可判断周期性定理1　定义在Ｒ上的函数ｙ=ｆ(ｘ),对于任给的ｘ∈Ｒ,若有ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)成立(其中ｍ、ｎ为常数,且ｍ≠ｎ),则函数ｙ=ｆ(ｘ)为周期函数,Ｔ=ｎ-ｍ为函数ｆ(ｘ)的一个周期(也可以说Ｔ=ｍ-ｎ).分析:此类情况属显性周期,即由周期函数定义可迅速获得上述结论.证明:由已知ｆ(ｍ+ｘ)=ｆ(ｎ+ｘ)对于ｘ∈Ｒ均成立,故ｆ[(ｎ-ｍ)+ｘ]=ｆ[ｎ+(ｘ-ｍ)]=ｆ[ｍ…     

“函数”错解例析

一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系…     

神奇的分子有理化

分母有理化是代数恒等变换的一种手段 ,其实 ,分子有理化在许多问题中也有着独特的作用 .例 1　设函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａ(ｘ2 +1+ｘ) ,判断ｆ(ｘ)在实数Ｒ上的奇偶性 .解　ｆ(ｘ)的定义域关于原点对称 .ｆ( -ｘ) =ｌｏｇａ(ｘ2 +1-ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ2 +1-ｘ) (ｘ2 +1+ｘ)ｘ2 +1+ｘ=ｌｏｇａ1ｘ2 +1+ｘ=-ｆ(ｘ) .∴ｆ(ｘ)为奇函数 .例 2　设ｐ=ａ+3 +ａ+7,Ｑ =2ａ +5 (ａ >-3 ) ,试比较Ｐ、Ｑ的大小 .解　∵ａ+7-ａ+5　　　 =2ａ +7+ａ +5 ,ａ +5 -ａ +3= 2ａ+5 +ａ+3 ,又∵ａ+7+ａ+5 >　　ａ +5 +ａ +3 ,∴ａ +7-ａ +5 <　ａ+5 -ａ+3 .∴Ｐ>Ｑ …     

巧解一道全国联赛试题

众所周知 ,若ａ≥ｂ且ａ≤ｂ ,则ａ=ｂ .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,ｆ( 1 ) =1 ,且对任意ｘ∈Ｒ都有ｆ(ｘ+ 5 )≥ ｆ(ｘ) + 5 ,ｆ(ｘ+ 1 )≤ ｆ(ｘ) + 1 .若 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,则ｇ( 2 0 0 2 ) =.解　由 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,得ｇ(ｘ+ 5 ) =ｆ(ｘ + 5 ) + 1 -ｘ-5=ｆ(ｘ + 5 ) -ｘ-4≥ ｆ(ｘ) + 5 -ｘ -4=ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ + 1 ) =ｆ(ｘ+ 1 ) + 1 -ｘ -1=ｆ(ｘ+ 1 ) -ｘ≤ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) .∴ｇ(ｘ) ≤ｇ(ｘ+ 5 )≤ ｇ(ｘ + 4)…     

奇偶性的判断及应用(高一、高二、高三)

1.判断函数的奇偶性例1 函数,f(x)=x/(1-2x)-x/2( )(A)是奇函数但不是偶函数.(B)是偶函数但不是奇函数.(C)既是偶函数又是奇函数.(D)既不是偶函数也不是奇函数.(02年高中联赛)