广义反演变换

本文提出了其不动点集为一个椭圆或双曲线的广义反演变换概念,证明了它们的一系列性质,对于椭圆反演变换,得出一些有用的结果.     

反演变换求解二维调和方程的Dirichlet外问题

在研究静电场的电位函数、平稳状态下的波动现象和扩散过程时都会遇到调和方程。反演变换又称逆矢径变换,是一种很有效的数学方法。文章首先给出反演变换的定义及性质,然后推导了平面区域上二维调和函数的积分公式,最后利用反演变换将调和方程的Dirichlet外问题化为内问题,得到了二维调和方程圆域外Dirichlet问题的解。     

利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

椭圆是到2个定点F1，F2的距离之和等于定值2a（2a〉｜F1F2｜）的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数e（0〈e〈1）的点的轨迹，是到2个定点的斜率之积为常数K（K〈0，K≠-1）的点的轨迹。而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷地解题并看到问题的本质。定义压缩变换τ：平面x′O′γ′上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的n/m倍（m〉0，n〉0，m≠，n），得到平面xOγ。显然在压缩变换τ下，平面x′O′γ′上的圆C′：x′^2＋γ′^2=m^2就压缩为平面xOγ上的椭圆x^2/m^2＋γ^2/n^2=1,于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究3类问题。     

应用反演变换确定齿轮传动中主动轮的位置及节圆大小

应用反演变换中直线和圆的反演特点，以及反演变换中图形相切性质保持不变这一特性，在图解法解决机构设计中构件的定位问题及确定构件尺寸，使作图大大简化。     

反演变换的一种推广

1995年高考压轴题提供了反演变换的一种推广,即将通常的反演变换中的基圆(半径为r)推广到椭圆(称为“反演椭圆”),且当P、Q为反演点时,反演幂由k=OP·PQ=r~2推广到|OP|·|OQ|=|OR|~2(R为P、Q联线与椭圆的交点),称这种变换为“椭圆反演”(简称“反演”)。下面介绍这种“反演”的一些规律,供大家参考。 设椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2中心O为“反演”中心,射线OP与椭圆交于点R,设P关于椭圆的“反演”点为Q,且P、Q、R的坐标分别为(x_P,y_P),(x,y),(x_R,y_R),∠POx=o,则|OP|·|OQ|=|OR|~2且     

实平面内的双曲反演法

几何变换对研究图形及其性质有重大意义,利用几何变换可以简化问题,可以在解决多种问题上有显著的功效,又可以发现解题的线索等等。为此,本文将较详细介绍其中之一种双曲反演法。利用双曲反演变换进行解题的方法,称为双曲反演法。为了让读者更好地理解双曲反演法的理论根据以及更广泛地应用此法,下面将首先较全面地概括双曲反演变换的性质,介绍点、线、圆的反演象及其性质,然后再详细阐述利用这些性质进行解题的方法和例子。一、反演变换的定义在实平面内没有中心为O,半径为K的圆周δ,若有一变换a,将此平面上任一点p变成该点与点O连线上的一点p′,使得op·op′=K~2,也即是:对应点到圆心的距离之积为     

哲学观下的数学反演思想及其发展

数学反演思想的哲学基础是辩证法的对立统一规律,不同的反演思想反映了对立统一规律中的两个对立面的不同变化形态。在讨论反演变换、级数反演、反问题理论、关系映射反演方法和反演集合理论的思想差异和相互关系的基础上指出：关系映射反演方法思想包含级数反演思想,级数反演思想包含反演变换思想,在有限集上关系映射反演方法和反问题理论可统一为反演集合理论。同时举例说明了反演集合理论在反问题理论（联合反演）中的应用。     

用圆解椭圆问题

新教材明确指出 :将圆按照某个方向均匀压缩 (拉长 )可以得到椭圆因此椭圆与圆之间 ,可以通过伸缩变换转化 .三角函数图象变换中的周期变换和振幅变换实际上就是图象沿x轴和y轴方向上的伸缩变换 .由于我们对圆的性质相对于椭圆来说要熟悉得多 ,因此解决椭圆问题时 ,有时可化为圆来解决 ,只要利用伸缩变换即可 .例 1　求椭圆 x2a2 +y2b2 =1的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹方程 .解　作变换 x′ =bax ,y′=y ,则椭圆化成圆x′2 +y′2 =b2 ,平行弦方程y=kx +m化成y′=abkx′ +m .易得在圆内平行弦中点的轨迹是垂直于弦且过圆心的直线y′=-bakx…     

椭圆的最大内接和最小外切多边形的几个性质

已知椭圆的方程为x~2/a~2 y~2/b~2=1,求它的内接三角形面积的最大值及它的外切平行四边形面积的最小值的问题在有些数学书刊上常引为例题或习题。这里再介绍关于内接于椭圆的最大面积的多边形和外切于椭圆的最小面积的多边形的一些性质和结论。首先,简单地重述一下压缩变换的概念以及压缩变换关于面积的性质。设P(x,y)是平面内一点,若变换f把点P变为平面内一点P'(x',y'),其中     

反演对称变换在解决平面几何问题中的应用

<正>1基本概念在第31届伊朗国家队选拔考试^[1]中,五道常规几何题中有三道都用到了“反演+轴对称”的复合变换.这个变换对解决平面几何问题有奇效,能够实现对复杂几何构型的轻松化简,十分常用.为了方便,称这个变换为反演对称变换.注:这里的对称轴过反演中心.定义1给定△ABC,考虑以A为反演中心、AB·AC为反演幂的反演变换f,考虑以∠A的内角平分线为对称轴的对称变换g,     

坐标轴的伸缩变换

坐标轴的伸缩变换赵多彪本文旨在介绍坐标轴伸缩变换的概念及有关性质，为简捷明快地解决与椭圆有关的数学问题提供一个重要工具。一、问题的提出众所周知，圆作为椭圆的一个特例，它在某些方面显示了其特殊性质，因此，解决与圆有关的数学问题较解决椭圆问题也就相对容易...     

巧用伸缩变换 妙解椭圆问题

通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.     

“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用

苏教版高中数学教材选修系列4-2中专题“矩阵与变换”向学生介绍了图形变换和数学表示之间的紧密联系,同时揭示了变换前后几何图形的相关性.利用伸缩变换解决一些几何题目,以较高的观点来研究初等几何,可以使问题变得更加简洁,透彻,尤其在解决椭圆的某些综合问题时,可以利用伸缩变换的办法,把椭圆变换为圆,再利用圆良好的几何性质来进行研究,会使得问题的解决过程变得简化.     

椭圆问题圆处理

我们知道,椭圆是由圆上每个点的横坐标(或纵坐标)压缩(或伸长)原来的若干倍得到的图形.如:椭圆x2/a2 y2/b2=1是由圆x2 y2=a2上每个点的纵坐标压缩为原来的b/a而得到的曲线.因此,圆可以看作是一个特殊的椭圆,它们有很多相似的性质,而圆的很多性质是椭圆没有的.若用圆的性质来解决椭圆问题,解题可以更快捷,更简便.下列的一些椭圆问题,就可以用圆的性质来解决.     

均匀伸缩变换的性质及其应用

给定椭圆c:(x~2/a~2) (y~2 b~2)=1,作线性变换:x′=x/a,y′=y/b,(*)则椭圆C变为单位圆C′:x′~2 y′~2=1.我们把变换(*)称为均匀伸缩变换,通过均匀伸缩变换可以把任意形状的椭圆变为单位圆,从而可利用单位圆的性质来解决椭圆的有关问题,为此,我们首先介绍均匀伸缩变换下的不变性,这些性质的证明可参看高等几何方面的书籍,也可利用解析几何知识给出初等证明,此处略去,有兴趣的读者不妨一试。     

关于三角形的内切椭圆

本文利用欧氏平面上的仿射变换研究三角形的内切椭圆的各种性质 .我们知道 ,仿射变换是欧氏变换的重要推广 ,它既包含了平移旋转反射等欧氏变换 ,也包含了相似、压缩等变换 .有关仿射变换的性质见 [1]或 [2 ].首先我们证明定理 1　如图1,△ ABC外切于一椭圆 ,切点分别是 D,E,F,则三线段 AE,CD,BF交于一点 .证明　利用仿射变换把图 1中椭圆变成图 2中圆 ,这时椭圆外切△ ABC变成圆的外切△ A′B′C′,切点分别变成 D′,E′,F′.从仿射变换的性质知道 ,AE,CD,BF交于一点的充要条件是 A′E′,C′D′,B′F′交于一点 .在△ A′B′…     

仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用

仿射变换是几何中一个重要变换,它是从运动变换到射影变换的桥梁.灵活地运用仿射变换,能使一些初等几何问题由繁到简.论文中,应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质的命题,使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中.     

用变换思想处理一类椭圆问题

新教材明确指出:将圆按照某一方向均匀压缩(拉长)可以得到椭圆.圆是椭圆的一个极端图形,而圆的性质已为我们大家所熟知,如何充分利用圆的性质来解决椭圆的问题呢?椭圆与圆之间的转化,可以通过新教材中     

双曲线化圆的两个视角及其应用

<正>我们知道,利用仿射变换可以将椭圆变换为圆,采用圆的性质解决椭圆问题,但是极少见到将双曲线仿射变换为圆的研究.一般来说,椭圆所具备的性质双曲线也具备.笔者经过思考,从两个视角谈一下将双曲线仿射变换为圆,利用圆的性质解决双曲线问题.想法不尽成熟,以期抛砖引玉,请同仁辅正.     

压缩变换

在平面几何上有些与椭圆有关的问题,用压缩变换来解决则显得比较简单。 所谓压缩变换,就是将每个点P(x,y)变为另一个点P′(x′,y′),使得P点的横坐