一道竞赛题的推广

本文对一道IMO的预选题进行了一些推广,得出了一些有用的结论．     

一道竞赛题的推广

从正方形ABCD的顶点A任引两条射线，使其夹角为45°，分别与BC、CD交于点E、F．与BD分别交于点P、Q．求证：S_△AEF=2S△apq.这是1990年四川省的一道高中数学竞赛题，现在我们进一步推广便有：定理如图正n（n=2p，P≥1）边形A_lA_2…A_(n-1)A_n中，A_1A_k为其外接圆直径，若A_(k-1)A_k,A_kA_(k 1)上各有一点E、F，且边形中心O而垂直于A_1A_k的直线交A_1E于P，A_1F于Q，则有．证作出正n边形的外接圆O，设其半径在Rt△A_1OP中，A_1_P=r·seca1，同理A_1Q＝r·seca_2在Rt△A_lA_(k 1)F中，A_1F＝（下转第32页）（上接第…     

一道竞赛题的推广

第七届“给云杯”数学邀请赛试题六:“在已知△ABC内求作一点O,使凡和茄凡别c:s△仰A二1:3:4.”该题参考答案为:作法:1.在△A刀C的BC边上取两点 我们不妨从工出发考虑: 从工的①可知,只要BD:DC=l::(D在BC上),则过A、D直线上的任一点0都满足条件①,为了求得满足②的点O,我们先看     

一道竞赛题的推广

在2000年全国奥林匹克数学竞赛预赛试题中有这样一道题：设a,b,c分别是△ABC的三边的长且a/b=a+b/a+b+c,则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）     

一道竞赛题的推广

题　 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 )　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 (　　 )。(Ａ) 56　 (Ｂ) 45 　 (Ｃ) 34　 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明　设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ…     

一道竞赛题的推广

2004年全国高中数学联赛试题第4题:设O点在△ABC内部,且有(OA→) 2(OB→) 3(OC→)=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).     

一道竞赛题的推广

现将竞赛题:“已知AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,求证S_(△DEF)≤(1/4)S_(△ABC)”作一推广。     

一道竞赛题的推广

第12届莫斯科数学奥林匹克有一道很有趣的题目：给定13只砝码,它们的重量都是整数克重,任取其中12只,都可以将其分成重量相等的两组,且每组都有6只砝码．求证：这13只砝码重量均相等．^[1]     

一道竞赛题的推广

第七届美国中学生数学竞赛试卷中有一道题是：已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ是满足ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝８,ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＋ｅ２＝１６的实数,试求ｅ的最大值．本文通过对题中的字母及系数进行推广,得到一个一般性的命题．定理设ｘｉ∈Ｒ,λｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,...     

一道竞赛题的推广

2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛有如下一道填空题: 已知:α,β是方程x2-x-1=0的两根,则α4 3β的值是____.     

一道竞赛题的推广

2004年全国初中数学联赛的一道试题为: 图1 如图1,在2×3矩形方格纸上,各小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( ).     

一道竞赛题的推广

第21届俄罗斯数学奥林匹克(九年级)决赛试题是: 将自然数称为相似的,如果它们可用同样的一组数字写出(例如112,121,211是相似的,因为它们都可由数字组1,1,2写出)。证明:存在三个相似的1995位数,它们的各位数字不含0,但是其中两数之和等于第三个数。     

一道竞赛题的推广

题目:设实数a、b∈[α,β],求证: b/a+a/b≤β/a+a/β,其中等号当且仅当a=α,b=β或a=β,b=α成立,α,β为正实数.(2008年湖南省高中数学竞赛试题第15题)     

一道竞赛题的推广

1预备知识定比分点公式在R2上,设点P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),λ=PABP,则x=x11 λλx2,y=121yλyλ ,即点为P(x11 λλx2,y11 λλy2).一般的,在R m上,设点P(x1,x2,L xm),'A(x1,x2'L xm'),B(x1",x2"L xm"),λ=PABP,则xi='"(1,2,)1xi λλxi i=L m,即点P坐标为'"'"'"(11,22     

一道竞赛题的推广

第三届小学《祖冲之杯》赛第二题：由自然数1到8填写的表一有以下特点：每一列两个数的和都相等；上一行填数的和等于下一行填数的和．现在你能否将（1）自然数1到10填写在表二中；（2）自然数l到12填在表三内．使得你填的表也具有表一的特点，本文将此题加以推广．考虑把1，2，…，mn个数填到一个m行n列的表内，使得各行数的和相等，各列数的和也相等，我们称这样的数表具有性质A．命题1若m、n奇偶性不同时，不能将自然数1，2…，mn填到一个m行n列共mn个格的表内，使其具有性质A.证明不失一般性，设m为偶数，n为奇数，则上面的和除以m，得…     

一道竞赛题的推广

第17届全苏数学竞赛的一道试题(以下简称赛题)为:     

一道竞赛题的推广

1996年中国数学奥林匹克(第11届全国中学生数学冬令营)第一天第一题是: 设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ,切点分别为P、Q.求证:P、H、Q三点共线.