构造不等式 巧解竞赛题

在数学竞赛中,有些问题乍看起来无从下手,但用构造不等式的方法可能巧妙获解.本文通过实例,介绍几种构造不等式的方法.一、利用正整数的意义例1(第三届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)求出所有这样的正整数a,使得关于x的二次方程ax2 2(2a-1)x 4(a-3)=0至少有一个整数根.分析本题根据正整数必大于等于1的基本概念构造不等式,即可确定x的可能取值,从而求出a.解将方程变形整理得a(x 2)2=2x 12,显然x≠-2,则a=2x 12(x 2)2.因为a为正整数,必有a≥1,所以2x 12(x 2)2≥1,于是解得-4≤x≤2,且x≠-2.这样x的可能值为-4,-3,-1,0,1,2.代入检验得a=1,3,6,…     

巧构造几何图形炒解竞赛题

有些数学竞赛题,如果从题设和结论的结构特征出发,合理构造已学的几何图形来解,往往会收到事半功倍之效．现举几例说明．     

构造法解竞赛题初探

大多数竞赛试题设计新颖 ,构思巧妙 ,综合性强 ,注重对学生的思维能力的考查 ,因此难度较大 ,不少学生无从下手 .本文在用构造法解竞赛题方面做一些粗浅探讨 ,希望对数学爱好者有所启迪 .1　构造特殊图形例 1　正数 a,b,c,A,B,C满足 a+A=b+B=c+C=k,求证 :a B+b C+c A相似文献   

构造法在证明不等式中的妙用

构造法是根据数学问题的条件或者结论的特征,以问题中的数学关系为框架,以问题的数学元素为“元件”,构造出新的数学对象或者数学模型,从而使问题转化并得到解决的方法．这里所说的“元件”可以是：方程、函数、代数式、不等式、几何图形、复数、二项式等．下面着重说明构造法在证明不等式中的应用．     

构造一元二次方程巧解竞赛题

构造一元二次方程解题是一种常用的解题方法,这种方法的关键是根据题目中的一些条件来构造一元二次方程,从而达到将问题化难为易、化繁为简的目的.下面举例说明:一、利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程当题目中含有x1 x2=p、x1x2=q时,则可以利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程来解决.例1已知a、b、c、d为实数,且满足2c-a=b,c2 14d2=ab,求证:a=b.证明:由已知a b=2c,ab=c2 14d2得a、b是方程x2-2cx c2 14d2=0的两根.∵a、b、c、d为实数,∴Δ=4c2-4(c2 14d2)=-d2≥0.∴d2≤0.又因为d2≥0,d2=0,即△=0.∴方程有两个相等实根,即a=b.二、利用…     

构造一元二次方程解竞赛题

一元二次方程是初中数学竞赛的一个重要内容 .巧妙地依据题目的特点构造一元二次方程 ,再利用一元二次方程的相关知识解题是一种重要的解题方法 ,在竞赛中有广泛的应用 ,常能化难为易 ,化繁为简 ,下面举例说明 .1　求值例 1　设实数 s,t分别满足 1 9s2 + 99s+1 =0 ,t2 + 99t+ 1 9=0 ,并且 st≠ 1 ,求st+ 4 s+ 1t 的值 .解　∵s≠ 0 ,∴ 1 9s2 + 99s+ 1 =0可变形为 ( 1s) 2 + 99( 1s) + 1 9=0 ,又∵ t2 + 99t+ 1 9=0 ,st≠ 1 ,∴ 1s,t是方程 x2 + 99x+ 1 9=0的两个不等的实数根 ,∴ 1s+ t=- 99,1s· t=1 9,即 st+ 1 =- 99s,t=1 9s.∴ st+ 4 s…     

构造一元二次方程巧解竞赛题

方程思想是中学阶段最基本、也是最重要的数学思想之一.本文以竞赛题为例,介绍几种构造一元二次方程的方法,意在增强同学们运用方程的意识,开拓思维空间,提高创造性思     

构造不等式 巧解竞赛题

当直接解决某一数学问题有困难时,我们可以构造另一种数学模型,本文主要讨论构造不等式的数学模型解决竞赛问题.     

构造方差巧解数学竞赛题

方差22212[()()(nSxxxxx=- - -L 2)]/xn-(其中x是n个数据12,,nxxxL的平均数)是用于描述数据波动的情况的一个量.方差的表达式可以写成222212[()nSxxx= L 2122()/]/xxxnn- L,显然有20S(当且仅当12nxxxx====L时等号成立).利用方差的这一变式,我们可以通过构造方差来解决一类有关n个实数的和与其平方和之间的关系问题.兹以国外数学竞赛题为例说明之. 1 构造方差证明不等式 例1 设3/25x#,证明2123xx - 153219x -<.(2003年全国高中联赛试题) 证明 设原不等式的左边为(0)uu>, ∵1x 、1x 、23x-、153x-的方差 2S=222[(1)(1)(23)xxx - …     

巧构数列妙解竞赛题

数列是高中数学的主要内容之一，有些数学问题，通过构造数列往往可以迅速沟通题设与结论之间的联系，使问题得到优解．下面以几道竞赛题为例．     

用构造法解竞赛题

不少数学竞赛题,若能利用构造法求解,不仅过程简洁,而且还能提高同学们的解题能力、创新能力．本文以一些中外数学竞赛题为例,根据不同的构造途径分类探讨,供同学们在学习时参考．     

巧联想妙构造速解竞赛题

在数学竞赛中,学生若能根据所提供的材料进行巧妙的联想与构造,往往可使一些赛题迅速获解,其过程能充分展示学生的创造能力与智慧.这里以近年竞赛题为例归纳几种联想、构造的方法与技巧,供大家参考.     

用特殊化法巧解两道竞赛题

[1]对2005年全国高中数学联赛试题给出了详尽的解答，颇受启发。现就其中两道试题采用特殊化方法求解，更为简捷。     

构造法在解数学竞赛题中的运用(二)

文[1]已从5个方面介绍了构造法在解数学赛题中的运用,本文再介绍4个方面.1构造解析几何模型例1已知a、b、c>0,且a2 ab b32=25,b23 c2=9,a2 aba2 ac c2=16.试求ab 2bc 3ac的值.分析:此题直接求解不易.观察方程组右边的数是一组勾股数,故可表示成一个直角三角形的三边,有两边互相垂直,于是,可建立平面直角坐标系,由直线的垂直关系和点到直线的距离来求解.图1解:建立如图1所示的直角坐标系.则A-33b,c,B23a,a 22c.有OA=3,OB=34a2 a2 4a4c 4c2=a2 ac c2=4,AB=5,OA2 OB2=AB2.故△ABC是直角三角形.又直线OA的方程为33by cx=0,且OA⊥OB,所…     

构造图形巧解竞赛题一例

《中学数学月刊》1999年第11期《构造法解一道竞赛题》一介绍了“构造对偶式”和“构造单位圆及其切线方程”两种解法，读后深受启发，得益非浅．本再给出一种构造图形的解法，供参考．     

构造分布列巧解分式不等式竞赛题

离散型随机变量的分布是现行新教材高三概率部分非常重要的内容,以分布列为基础的随机变量ξ的期望与ξ2的期望具有不等的关系Eξ2≥（Eξ）2,就是这个矩不等式,把随机数学的概率与确定性数学的不等式有机的结合起来,这充分显示出数学的统一性,体现了数学的和谐美.分式的最值求解以及分式不等式的证明是国内外各级数学竞赛的重点考查内容.灵活构造分布列,运用矩不等式Eξ2≥（Eξ）2,可巧妙求解一类分式不等式竞赛题.     

构造向量巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后,给中学数学带来无限生机,大大拓宽了解题的思路与方法.向量中有一个重要不等式(→m)·(→n)≤|(→m)|·|(→n)|,利用这个不等式可以解决一类竞赛题(例如文[1]、[2]、[3]、[4]中所举的各个例子,均可通过构造向量轻松获证),显示了向量在解竞赛题时的威力和独特之处,下面举例说明.