介绍三组“双内切圆”的性质

已知小圆⊙O与两大圆⊙O₁、⊙O₂分别切于点N、M,且三圆圆心不共线.设⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点,MN与AB交于点K,O₁O₂的中点为P.性质1 K、O、P三点共线.证明:显然,点O₁、O、N,O₂、O、M分别三点共线.如图1,联结O₁N、O₂M,设直线MN与⊙O₁、⊙O₂的另一交点分别为C、D.联结CO₁、DO₂并延长交于点Q.     

数学奥林匹克问题

本期问题初341在Rt△ABC中,已知∠A=20°,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,点E在边AB上,联结CE、DE.若∠DCE=30°,求∠ADE的度数.初342如图1,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃分别与△ABC的边BC、CA、AB切于中点D、E、F,分别与⊙O切于点G、H、I,记⊙O、⊙O₁、     

过抛物线上两点的直线方程及其应用

<正>1经过抛物线上两点的直线方程及其证明经过抛物线y²=2px上两点G(x₁,y₁),H(x₂,y₂)的直线方程为2px-(y₁+y₂)y+y₁y₂=0.由此知，经过抛物线上两点的直线方程是用这两点的纵坐标的和与积来表示的，结构对称优美.下面给出两种证法.证法1：设点法当直线GH与x轴垂直时,     

欧拉线与两边所围成三角形的性质

揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB₁C₁的一种对称关系.既有文献已经证明△AB₁C₁外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB₁C₁欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出△AB₁C₁的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新△AB₁C₁、△BC₁A₁、△CA₁B₁与△ABC四者的一些关联性质.     

等半径圆相交的一个特点

两个半径相等的圆相交,有如下的一个特点:如图1,两个半径相等的圆相交于A、B两点.则圆O₁上过B点的切线与圆O₂上过A点的切线平行.     

圆滚动中蕴涵的“玄机”

例题图1至图5中,⊙均做无滑动滚动,⊙O₁,⊙O₂,⊙O₃,⊙O₄均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.阅读理解（1）如图1所示,⊙O从⊙O₁的位置出发,沿AB滚动到⊙O₂的位置,当AB=c时,⊙O恰好自转1周.（2）如图2所示,∠ABC相邻的补     

基于Dandelin双球模型对一道高三调研试题的溯源探究

1试题呈现试题(2023届广州高三年级调研测试B卷第16题)如图1,是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O₁,球O₂的半径分别为4和2,球心距离■,截面分别与球O₁,球O₂相切于点E,F (E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于___.     

对一道作图试题的错因分析

2012年安徽省一道数学中考题貌似平淡无奇,实则暗藏玄机,它是一道作图题,设计新颖,解题思路广阔;既出人意料,又耐人寻味,它起点低,入口宽,动手易,立意高,活而不难,解法多样,令人叫绝.题目:如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC（顶点是网格的交点）和点A₁.（1）画出一个格点△A₁B₁C₁,使它与△ABC全等,且A与A₁是对应点.（2）略.     

由一道错题谈起

一、题目呈现已知正比例函数y₁=2x和一次函数y₂=-x+b,一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、点B,正比例函数的图像与一次函数的图像相交于点P（1）若P点坐标为（3,n）,试求一次函数的表达式,并用图像法求y₁≥y₂的解;（2）若.S_△AOP=3,试求这个一次函数的表达式;（3）x轴上有一定点E（2,0）,若△POB≌△EPA,试求这个一次函数的表达式.二、题目解答这是一道运用文字语言和符号语言给出的题目,要弄清题意,必须先将题设转化为图形语言.其大致     

数学奥林匹克问题

本期问题高417平面上给定n个点A₁,A₂,…,A_n,满足对于任意的1≤i≠j≤n,均有max{i,j}≤A_iA_j≤i+j,其中,A_iA_j表示A_i、A_j两点间的距离.证明:n≤13.高418已知斐波那契数列{F_n}:F₁=F₂=1,F_n+2=F_n+1+F_n.证明:对一切x∈R,n≥2均有sun from（k=1）to n F_k|x-k|≥F_n+2+F_n-n-1.高419对任意的正整数n,函数f（n）为十进制下n²+3n+1的各位数字之和（即数码和）.问:是否存在整数n,使得f（n）=2 013或2 014或2 015?高420设△ABC的外心、内心分别为O、I,AI、BI、CI与△BIC、△CIA、△AIB的外接圆的不同于I的交点分别为D、E、F,过D、E、F分别作BC、CA、AB的垂线l_a、l_b、l_c.证明:（1）直线l_a、l_b、l_c交于一点K;（2）K、O、I三点共线.     

赏析与圆有关的操作变换题

与圆有关变换操作题是指与圆有关的实物、纸片或图形等,借助一定的变换（平移、旋转、翻折）与操作（剪、切、拼、滚）,导致相关图形的形状、位置与大小发生变化或者保持不变的几何探究题,是近年来中考数学的热点题型。现结合中考题举例说明。一、旋转中碰撞火花例1（2011年浙江省宁波市）如图l,⊙O₁的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O₂为正方形ABCD的中心,O₁O₂垂直AB于P点,O₁O₂=8。若将     

机械能守恒定律的三种表达方式

机械能守恒定律是力学中的一条重要定律.归纳一下,其表达方式主要有以下三种:（1）E₁=E₂.系统初状态的机械能E₁等于末状态的机械能E₂;（2）△E_p=△E_k.系统势能的减少量（或增加量）等于系统动能的增加量（或减少量）;（3）△E_A=△E_B.把系统分为A、B两部分,     

第64届IMO试题解答

<正>1.求所有满足下述条件的合数n>1:若n的所有正因子为d₁,d₂,…,d_k(1=d₁2<…k=n),则对每个1≤i≤k-2,均有d_i|(d_i+1+d_i+2).2.在锐角△ABC中,AB相似文献   

2011年全国高考安徽理综卷第16题的多种解法

题目一物体做匀加速直线运动,通过一段位移△x所用的时间为t₁,紧接着通过下一段位移△x所用时间为t₂.则物体运动的加速度为（）A.（2△x（t₁-t₂））/（t₁t₂（t₁+t₂）） B.（△x（t₁-t₂））/（t₁t₂（t₁+t₂））C.（2△x（t₁+t₂））/（t₁t₂（t₁-t₂）） D.（△x（t₁+t₂））/（t₁t₂（t₁-t₂））分析本题的已知量是两段相等的位移以及对应这两段位移所需的时间,待求量是加速度.不难想到运用x=v₀t+1/2at²和v=v₀+at等有关涉及位移、时间、加速度的公式,同时根据"物体做匀加速直线运动""通过一段位移△x所用的时间为t₁,紧接着通过下一段位移△x所用时间为t₂",可以列出相关方程,从而求解.下面是该题较典型的几种解法.     

化学反应与能量的变化易错点展示

易错点一忽视物质的性质、不能正确理解氧化还原反应的本质或不能正确判断氧化还原反应产物例1钢铁生锈过程发生如下反应:①2Fe+O₂+2H₂O=2Fe（OH）₂②4Fe（OH）₂+O₂+2H₂O=4Fe（OH）₃③2Fe（OH）₃=Fe₂O₃+3H₂O     

相交圆中的一个轨迹问题及其推广

<正>1从一道简单的轨迹题说起平面几何中有一道常见的轨迹题:命题1如图1,⊙O₁与⊙O₂相切.过切点P作动直线l,l与两圆的另一个交点分别是E、F,则线段EF的中点M的轨迹是以O₁O₂的中点O₃为圆心且过切点P的圆.注:直线l取两圆过切点的公切线时E、F与P重合.     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

一道教师解题比赛试题的解法及其拓展

最近参加了一次数学教师解题比赛,比赛试卷中有许多形式新颖、内涵丰富的试题,赛后笔者对一道填空题进行了深入研究,和各位同行分享如下:试题:如图1,直线l₁、l₂、l₃相互平行,且l₁、l₂间的距离为l,l₂、l₃间的距离为2,等腰△ABC的三个顶点分别在三条平行线上,AB=AC,∠BAC=120°,则等腰△ABC的腰长是_<sub><sub><sub>.1.试题解法研究历程.     

“母子三角形定理”在竞赛中的应用

本文介绍"母子三角形"定理及其在解竞赛题中的应用,供初中师生参考.1母子三角形定理如下图,已知P为AABC内的任意一点,EF//BC,KS//AC,GH//AB,记S_△PKE:S₁,S_△FHP=S₂,S_△PGS=S₃,S_△ABC=S.求证:S=(S₁^1/2+S₂^1/2+S₃^1/2)².