自然数与无限性思想的历史透视

无穷一直是诗人、艺术家、哲学家、神学家、科学家关注的焦点,它有着极为丰富的内涵,在不同的思想领域中有着不同的表现形式.自然数引出的无限多、无穷大等概念,打开了人类认识无限性的大门.对自然数序列"不可穷尽"的不同理解,产生了"实无限"与"潜无限"的数学哲学争论.     

释“可得”“可得而”

古文中,经常可以看到“可得”、“可得而”连用的现象,目前中学教材中,亦多次出现这类句子,如: ①自此以来,其姓名不可得闻。(黄宗羲《柳敬亭传》) ②上胡不法先王之法,非不贤也,为其不可得而法。(《吕氏春秋·察今》) ③人或益之,人或损之,胡可得而法。(同上) ④虽人弗损益,犹若不可得而法。(同上)     

学习数学关注哲学思想

人的活动总是受其自身的世界观和哲学思想所影响甚至所支配,在科学研究与教学活动中也不例外,这方面事例十分丰富.本文例举作者数学教学感受与反思中的三点:(1)哲学研究十分看重与依赖数学成果;(2)对数学许多问题的认识应有哲学作为指导;(3)数学对"无限"研究成果是对哲学的重要贡献.恭请大家指教.     

“错误”是极好的教学资源

数学教学要善于发现学生中的错误,善于设置错误,也要善待学生的错误,对学生的错误要表现出更为积极的态度;要让学生具备勇于犯错误的精神,并善于从错误中学习;要把错误看做是其数学学习历程中的一个阶段,并在此基础上获得数学理解的进一步发展;要善于恰当地处理错误,力求在对错误的反思中悟得深刻,悟得透彻,使错误成为宝贵的教学资源．     

小学数学中的“无限”

在小学数学教材里,经常遇到“无限”.比如:自然数有无限多,直线可以向两个方向无限延伸;分数化为小数时,有的会化为无限循环小数;有的会化为无限不循环小数;在同一平面内,两条直线无限延长,永不相交,这两条直线叫做平行线;圆有无数条对称轴;在推导圆面积公式时,也要用到无限的思想,将圆进行无限次分割.另外,一些数学问题的答案,也会出现无限多个的结果.比如,比0大且比1小的分数有多少个?答案是无限多;两个整数的公倍数是多少?答案也是无限多．还可以列举出更多的例子．     

“丰富的图形世界”解题错误调研

1 问题的提出对学生作业中的错误,国内外学者已经作了大量有益的工作,特别是随着建构主义数学观的兴起,对学生在解题中的错误又有了新的认识.Newman 认为学生在解题过程中,要想得到正确答案.必须扫清一系列障碍,其中的任何失误均会影响解题过程.导致解题的最后失败.在此意义下,Newman 从解题过程角度提出错误的层级(Hierarchy),将其分为5个水平:阅读(Reading)、理解(Comprehension)、转换(Transformation)、加工技能(ProcessSkill)、编码(Encoding).理解错误指的是没有掌握问题中所含信息的意义.操作技能的错误指的是与算法有关的错误.编码错误指的是书写错误,如笔误等.戴再平先生     

再谈对中学生数学"无限"观念的教育

数学"无限观"有两种,"实无限"和"潜无限",它涉及到数学基础和数学哲学.在中学数学教学中应当向中学生普及一些数学基础和数学哲学中的有关知识,破除数学确定性的神性观念,重建数学批判性的人文观点.这样也许会使中学生更能深刻理解"无限"一词的博大内涵.     

数学归纳法的思想精髓——“无限递推思想模式”及其微积分学中的教学实践

科学原理和科学方法必然蕴含着与之相适应的科学思想。通过"归纳思维方法"与"数学归纳法"的分析解读了数学归纳法的思想精髓——"无限递推思想",揭示了无限递推思想模式的教学演绎规律,用生活中的案例和生活化的语言加以直观描述,用图式化的语言加以提炼,再用数学化的符号语言准确表达,促使学生对这一数学思想模式的直观感受、理解、感悟、过程参与、事后升华,形成无限递推的数学思想模式,直到掌握并应用到微积分学的教学实践中。     

排列与组合、二项式定理、概率统计和导数中的常见错误剖析

归纳与梳理数学学习中的常见错误,剖析产生这些错误的原因,探索避免错误发生的应对策略,是高考数学复习过程中必不可少的重要环节,是提高数学解题能力与数学成绩的有效途径.今以排列与组合、概率与统计和导数的内容为例,谈谈对常见错误如何进行梳理、剖析与应对,但愿能为你的数学复习助一臂之力.1.排列与组合中的常见错误剖析与对策[错因梳理]排列与组合中的常见错误主要产生于以下几个方面:(1)对分类计数原理与分步计数原理的本质理解不深刻,在解决问题时错用计数原理;(2)对排列与组合的概念理解不透,分辨不清排列与组合的区别;(3)对排列数…     

基于核心概念的高中“数学欣赏”教学初探——以校本选修课《欣赏“无限”》的内容设计为例

作为校本选修课,"数学欣赏"的教学可以改变"学生只做数学题,不会欣赏数学的价值与美"的现状。数学概念是"数学欣赏"教学的重要内容。在高中教学中欣赏数学概念就是要选取高中数学的核心概念,并以它们为"纲",将相关概念统整为一个网络系统,从而达成"纲举目张"之效。欣赏"无限",需要统整高中数学中与之相关的知识内容,系统地思考蕴涵在其中的数学思想方法,在透视"无限"的人文意境的同时注重"无限"研究中理性精神的提炼和剖析。     

关于极限论对Berkeley悖论之解释方法的分析与研究

该文是文献[5]的续篇,由于文献[1]之2．5论证指出：当代极限论没有给Berkeley悖论留下任何有关0/0一类悖论生成余地或隙缝．（文献[1]P26）,文献[5]在确认潜无限（poi）与实无限（aci）在ZFC框架内是无中介矛盾对立面（p,]p）前提下,论证结论是当代极限论所留给Berkeleyn悖论有关0/0一类悖论的,远不止一个隙缝,而是一个大窟窿．但文献[1]之2．5与2．6还有诸多针U对文献[2]之6．7．3的质疑,本文旨在质疑文献[1]对文献[2]的每一条质疑,结论是文献[1]针对文献[2]之任何一条相关的质疑都是没有根据的．并在逻辑数学层面上对文献[1]中所谓“双相无限”概念略作评论．     

Young Peoples' Ideas of Infinity

This paper considers views of infinity of young people prior to instruction in the methods mathematicians use in dealing with infinity. To avoid overlap with other papers in this special issue on infinity, reference to limit notions and Cantorian views of infinity are kept to the minimum. A partially historical account of studies examining young peoples' ideas of infinity is presented. Methodological problems in accessing such ideas is a sub-theme of this paper. The four main sections deal with: potential pitfalls for research in this area and the work of Piaget; issues concerning the contradictory nature of infinity and infinity as a process and as a object; infinite numbers; contexts and tasks. This revised version was published online in July 2006 with corrections to the Cover Date.     

浅谈数学中的无限思想

无限是数学上最重要的研究对象，也是哲学上最重要的范畴之一。数学史上的三次危机都是由于对无限本身的矛盾认识而引起的：空间概念的发展也经历了从有限到无限的过程；现代数学基础的三大学派的无穷观也各不相同。总之，人们对“无限”的认识也是一个无限的过程。     

“无穷概念”的数学描写

本文对无穷概念的数学研究作历史性回顾与研讨,目的在于探讨数学科学研究中的思想性与方法性,从而开拓数学思维。     

文科学生学习微积分前对无限的认识层次分析

大学文科学生学习微积分前对无限的认识状况将对其今后学习微积分产生直接影响.根据APOS理论,结合个人认识无限的具体外部表现,可将学生对无限的认识分为4个层次,分别是:感觉层次;分析层次;演绎层次;严密系统层次.中学阶段的无限认识水平影响极限的学习,用无限的一般方法论武装学生可以让学生“登高望远”而“心知肚明”.     

无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限

无穷限反常积分收敛时,其被积函数在无穷远处的极限不一定为零。当对被积函数作某些限制时,其在无穷远处的极限可以为零。     

APOS理论视角下无穷概念认知分析

无穷概念一直是学生学习的一个困难.APOS理论是一种建构主义的数学学习理论,包含操作、过程、对象和图式4个阶段.内化和凝聚是APOS理论的两个重要的心理机制.教师对无理数的认识要从历史视角下关注数的发展,从发生教学法角度上进行无理数教学设计,让学生从概念发展的过程阶段转化到对象阶段.     

无穷大阶的比较及应用

本文对无穷大的阶进行了探讨,得到了关于无穷大阶的比较的几个结论.并把这些结论用于极限的计算、无穷大的排序等问题.     

无穷积分敛散性的一个判别法

研究了无穷积分敛散性的判别法问题,指出了<无穷积分敛散性的-个新的判别法>一文中所给出的判别法的极限性和不足之处,在此基础上推广出新的判别方法,以弥补原判别法的不足.