形如a~2/b~2=c/d的比例式证法探究

在平面几何中,形如a/b=c/d是我们常见的比例式,其证法也颇多,容易被学生所掌握、所应用,但在实际证题中,有时也会遇到其它形式的比例式,尤其在中考中也会出现,如a2/b2=c/d形的比例式,这种比例式左右两边的次数不一致,左边是二次式的比,而右边是一次式的比,学生在证明这种比例式时,往往感到困难,无从下手。本文特从这种比例式的特点出发,给出几种证明这种比例式的有效途径,供读者参考。     

探讨形如a~2/b~2=c/d的比例式的证明思路

老师:同学们!今天我们探讨形如a~2/b~2=c/d的比例式的证明问题.这类问题平时会遇到,也经常出现在近两年的中考试题中.由于a~2/b~2=c/d的左边是平方比的形式,加上有些问题本身较为复杂,不少同学感到难以下手.     

由探索等比性质得到的启示

北师大版(下册)第96页由探索得出了 等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b d … n≠0),那么 上式成立的理由是:令a/b=c/d=…=m/n =k,则有a=bk,c=dk,…,m=nk, 上述证明过程中"令a/b=c/d=…=m/n= k"是一种重要的解题方法,它启示我们:当题 目中出现比例式、连比式时,都可以直接设这     

应用凑比法证明形如b/a=c~2/d~2的等式

形如b/a=c~2/b~2(a、b、c、d表示线段)的比例的证明,同学们常感到棘手,本文举例说明说它的一种证明方法—凑比法。其思路是将b/a凑成b/x·x/a,若待定线段x使得b/x=c/d且x/a=c/d,则b/a=b/x·x/a=c~2/d~2。例1 如图1,自⊙O外一点P作⊙O的切线PA,过P作割线PCB,求证:PB/PC=(AB)~2/(AC)~2 分析:设PB/PC=PB/x·x/PC(x为待定线段),先证明PB/x=AB/Ac,由此确定出x,再证明     

“a/b=c~2/d~2”证法浅议

形如“a/b=c~2/d~2”的题目,是较复杂的线段成比例的问题,由于求证式两边不是同次幂的比,证明较困难.这里举例说明几种思考方法,以供参考. 一、用线段的积代换c~2或d~2,使问题转化为证明简单的线段比例式例1 已经⊙O的弦AB的延长线和切线EP交于点P,E为切点,C     

平面几何一类证明题的探讨

在平面几何里,有一类证明题(我们暂且把它叫做成比例线段的复合)的证明,学生往往感到困难。本文拟通过对这类问题的讨论,试图从这类问题的结构上找出解题的一般规律。平面几何中四个线段成比例,一般是由相似形得到的,它有两种形式:a/b=c/d或bc=ad。定义如果线段的两个比例式中含有一个公共线段(例如,a_1/b=c_1/d_1和a_2/b=c_2/d_2),则称这两个比例式是相关的。两个相关的比例式,通过加、乘运算可以得到如下形式:     

证比例式时添引平行线的思路

证明线段比例划a/b=c/d时往往需要添引平行线,然后推导出有关的比例式.但平行线怎样添?过哪一点作哪条线的平行线?初学者大多对此感到茫然.本文通过一道例题的多种证法来说明添引平行线的指导思想——有利于把a/b或c/d或a/c或b/d转化为其他有关线之比.做到了这一点,问题便迎刃而解.     

“比值法”在解题中的应用

“等比定理”的证明方法是:因为所给连等条件a/b=c/d=e/f=…实质就是a/b,c/d,e/f,…这些比的比值相等,所以可设这个比值为k,就可以将连等条件变成a=bk,c=dk,e=fk,…等多个等式加以运用,可使问题顺利解决.这种解题方法可称为“比值法”,其应用颇为广泛.     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

证明a~2/b~2=c/d型平面几何题的若干思考途径

a~2/b~2=c/d型的平面几何题,一般是较复杂的线段比例式,由于求证式两边非同次幂,常使学生感到棘手。本义举例说明此类题目的几种思考和分析途径,供参考。     

一个代数问题的三角推广

贵刊2002年第4期<一个问题的简证和推广>一文给出了如下问题的证明及推广: 设a,b,c,d都是正数,且c+d=1,c2/a+d2/b=1/a+b、求证c4/a3+d4/b3=1/(a+b)3. 下面介绍一种引入辅助变量的证明方法,然后根据条件的实质作三角推广.     

函数f(x)=(x~2 ax b)(1/2)±(x~2 cx d)(1/2)的最值

结论 1　若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点…     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

线段等式“(a/b)=(c~2/d~2)”证法浅议

形如“a/b=(c~2)/(d~2)”的题目,是较复杂的线段比例式,由于求证式两边不是同次幂,证明较困难。这里举例说明几种思考方法,以供参考。一用线段的积代替 c~2或 d~2,进而使问题转化为证明简单的线段比例式。     

比例法

在数学知识中,如果数与数之间满足a/b=c/d,那么ad=bc.如果ad=bc,那么a/bc/d,这是比例的基本性质;如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d,或a/(b±a)=c/(d±c)这就是合分比性质.在物理学中,有许多规律都是描述物理量之间的比例关系,因而上述     

三角问题的等差数列解法

我们知道,如果a、b、c成等差数列.那么就有2b=a c;反之,若a c=2b,则a、b、c成等差数列.这时可设公差为d,于是a=b-d,c=b d.采用这种对称代换,会使许多三角高考题的解法新颖独特.例1 已知sinθ cosθ=1/5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_____.(1994年全国高考题)     

“b/a+d/c=1”型几何题证明举例

在几何证明中,往往会涉及到线段的比值之和为常数1的题型,我们将它简称为“b/a++d/c=1”型几何证明题.此种类型题目的证法一般是将结论中所涉及到的线段比转化为同一直线上的某些线段的比.     

密度三趣(初二)

1.趣用分比定理若b≠d,则a/b=c/d=(a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d)=k其中a/b=c/d=(a+c)/(b+d)称为合比定理,a/b+c/d=(a-c)/(b-d)称为分比定理. 例1 在测定液体密度时,有一位同学测出了液体的体积,容器和液体的总质量,实验做了两次。记录如下:     

合、分比定理在物理解题中的应用

在数学中,a/b=c/d=(a+c)/(b+d),就是合比定理;a/b=c/d=(a-c)/(b-d),就是分比定理.合、分比定理在物理解题中有着广泛的应用.下面举例说明.