辨明实部、虚部的特征是解含模方程的捷径

在复数方程中，常遇一类含有复数模的方程，众所周知因此，在解复数方程时，应力求避免两端取模，非两边取模不可时，便应在解完之后，对所求之根—一检验，以除去因取模而生的增根．由于复数模是一非负实数，因此，对含模的方程细加分析，就会发现：含模方程中的复数，其实部或虚部有某种特征，依此特征用待定系数法便可将它转化为实数方程，从而轻易地解之．既不需要验根，又直接简便，请看如下数例．例1设a＞0，在复数集C中解方程z2＋2｜z｜=a．分析将原方程化为z2=a=-2｜z｜，即知z2为实数，故z只能为实数或纯虚数，依此解之．解分两种…     

二阶常系数线性微分方程的虚数解

本文证明了二阶常系数线性社分方程当其特征根为虚数时，方程的解一定是虚数解，并说明了虚数解的物理意义。     

数学概念教学的情境设置

情境教学法在语文教学中应用较多,数学教学也可以从语文教学的经验中得到借鉴,针对数学学科的特点,汲取其有益的成份。一、通过提出问题创设情境如为了引入复数的概念,可以先提出问题:方程x~2=-1在实数范围内无解,能否通过引入新数使它有解呢?针对提出的问题,启发学生回忆在初中阶段学习时是否遇到过类似的问题,那时曾说x~2=2在有理数范围内无解,但当引入无理数的概念后,x~2=2就有解x=±2~(1/2)。因而为了使x~2=-1这类方程有解,引入新数是必要的,所要引入的新数称为虚数,实数和虚数统称复数。以上     

数学奥林匹克高中训练题(16)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.一元二次复系数方程x~2 ax b=0恰有两个纯虚根,则( )。 (A)a是零,b是负实数 (B)a是零,b是纯虚数 (C)a是纯虚数,b是实数 (D)a是纯虚数,b是纯虚数     

复平面上圆方程的若干等价命题

我们知道 ,解有关复数的命题大体有三大策略 :(1)化归思想 ;(2 )整体思想 ;(3)数形结合 .本文以数形结合的解题思想为中心 ,探讨复平面上圆方程的若干等价命题 ,供同行参考和指正 .定理 1　下列六个命题彼此等价 :1.虚数 z满足 |z|=r(r是正实数 ) .2 .虚数 z满足 |z2 |+(1- r) |z|- r=0(r是正实数 ) .3.虚数 z满足 zz=r2 (r是正实数 ) .4 .虚数 z满足 - 2 r相似文献   

关于“一系两态”的物理问题

在物理学习中,常常遇到这样的问题:一个系统,经历某一过程,当满足一定条件时,存在一个守恒量。我们可以选择两个适当的状态,建立对称式方程来解题。我们简称这类问题为“一系两态”问题。如一个质点满足的机械能守恒定律,两个质点满足的动量守恒定律,一个理想气体系统满足的克拉珀龙方程……。     

实数与虚数的比较

引入复数后,必须考虑在实数集中有哪些性质在复数集中仍成立,有哪些性质在实数集中成立而在复数集中不成立。为此,将实数与虚数作一比较。一、实数有正负数之分,也有有理数、无理数之别;虚数没有正负虚数之分,也没有有理虚数、无理虚数之别,但虚数有互反数。二、两实数有相等与不等的说法,亦有大小的区别;两虚数只有相等与不等的说法,而没有大小的区别。这是因为实数集是有序集,复数集是无序集。三、在笛卡儿平面上,坐标原点是横轴与纵轴的公共交点;在高斯平面(复平面)上,坐标原点只在实轴上,而不在虚轴上。四、1.在实数集R中,有|a|≥a;在虚数集R中,|Z|≥Z显然是错误的。     

由一道题的错解牵出对质点组动能的理解

质点组在不同参考系中的动能将会有不同的数值.而在高中物理中,利用系统动能定理或系统机械能守恒列方程时都要表示出质点组的动能.如果没有把质心动能和质点组动能分清楚,学生在以质心为研究对象列方程可能会     

前进一步天地宽

熟知,实系数二次方程20,axbxc++=(a 0)的根全为实数,当且仅当判别式 240bacD=-? 这个的结果是很有用的.特别是在证明不等式或确定函数的值域等问题中,利用上述结果,常能化难为易,化繁为简. 对实系数三次方程,情况怎样呢？因为实系数三次方程的虚数根必共轭成对出现,故实系数三次方程必至少有一个实数根.在什么情况下,它的三个根全为实数呢？ 定理 实系数三次方程32xuxvx+++w 0=的根全为实数,当且仅当 22332184427uvuvwuwvw+++, 或323(922(3))/27uvuuv--- 323(922(3))/27wuvuuv-+- (1)证明 设给定方程的三个根分别是,,rst,由韦达定理,得 …     

漫谈由概念、公式内涵引起的分类讨论

分类讨论是中学数学中一种重要的思想方法和解题策略.它是逻辑划分思想在解数学题中的具体应用,这种数学思想方法几乎涉及了中学数学的各个部分,如复数分为实数和虚数两类;实数又分为有理数和无理数两类.在高考中,由概念、公式引     

一道国际竞赛题的别解

第十五届国际数学奥林匹克竞赛题中有这样一道题: 设 a、b都是实数,并且方程x~4 ax~3 bx~2 ax 1=0至少有一个实数解,试确定a~2 b~2的最小可能值。     

一道高考题的别解及其改进

1996年高考上海试题第A_2-22题: 设z是虚数,w=z 1/z是实数,且—1相似文献   

有心力场中质点轨道方程求解问题的讨论

该文介绍了用正则方程求解受平方反比引力作用的质点轨道方程的方法,推导了质点的角动量守恒定律(mh=恒量)和机械能守恒定律(E=恒量)及其轨道方程。以往用比耐公式求解质点的轨道方程,通常没有给出积分常数的具体形式。该文用E和h确定了用比耐公式法求解的积分常数。这样用比耐公式方法与用机械能守恒方法求解的轨道方程形成了统一的形式,有利于学生更深入地理解受平方反比引力作用质点运动的物理内涵。     

对一道解析几何题的教学探讨

题 设k是实数,已知方程kx~2 y~2 x 2ky=0,判定方程的类型.解 ∵在二元二次方程中,A=k,B=0,C=1,D=1,E=2k,F=0,     

从一道中考数学试题谈隐含条件

天津市1998年中考数学第27题: 若方程m~2x~2-(2m-3) 1=0的两个实数根的倒数和是S,求S的取值范围. 错解:设方程的两个实数根为x_1、x_2 由韦达定理可得     

复数集中解不等式允许存在虚数角吗

学生在学习复数知识前，对含未知数的等式与不等式都只在实数集中求解，因而都知道x^2＋1=0与x^2〈0的解集同是空集．然而．当学生在学习复数知识后．认识到虚数的存在，知道x^2＋1=0在复数集中是有虚数解的，对x^2〈0的解呢？一个学生大胆向笔者提出问题：不等式x^2〈0在复数集中的解集是所有纯虚数构成集合．对吗？     

用“方程法”求函数的值域

1．引理及“方程法”引理设函数y=f(x)的定义域为A,值域为B,又设“关于x的方程y=f(x)在A中有解的y的取值集合”为C,则C=B．证明:一方面,设6∈C,则由集合C的定义可知,关于x的方程6=f(x)在A中一定有实数     

应用"伯努利方程"分析希罗喷泉的喷射高度

在新教材《全日制普通高级中学教科书 (物理 ) (实验修订本·必修 )》的第八章《机械能》中新增加了《伯努利方程》作为选学内容。本节“伯努利方程”拓宽了机械能守恒定律的应用 ,把机械能守恒定律的应用从固体推广到理想流体中 ,从由可数的两三个质点组成的力学研究系统拓宽到大量的质点组成的力学研究系统。为使学生深入理解和进一步的灵活应用已有的物理知识开辟了一个有益的小天地。本文就相传古代的力学家希罗设计的喷泉为例 ,用“伯努利方程”来分析和估算喷泉的喷射高度。     

动量守恒定律和机械能守恒定律及其应用

牛顿定律提供了解决质点动力学问题的基本原理。用牛顿定律解决力学问题,原则上是解微分方程为质点受的合外力,是质点的位置矢量,m 是质点的质量。但在质点受力情况(力和时间、位置的关系)比较复杂时,解这样的微分方程是很困难的。因此我们还必须寻找解决质点动力学问题的其它途径,即从牛顿定律推出一些守恒定律,如动量守恒定律、机械能守恒定律等。在某些力学问题中,从这些守恒定律出发求解比直接用牛顿定律求解方便得多。下面谈谈怎样应用这两条定律来解决质点动力学问题以及应用时应注意的问题。     

非惯性系下机械能守恒定律

从质点组相对运动动力学方程出发，考虑每个质点受到的惯性力，推导出非惯性系的动能定理，并在此基础上对机械能守恒进行研究，给出了惯性力为保守力的条件．