因式分解全程破解

我们先来看下面的等式:m(a b c)=ma mb mc……1此式表明:两个因式相乘,结果仍是一个多项式,把1式反过来写,就是:ma mb mc=m(a b c)……2此式表明:如果一个多项式都含有一个公共的因式m,那么这个多项式可以化为因式m与另一个因式的积。把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做这个多项式的因式分解。因此,1式是整式乘法;2式是进行因式分解,两者是互为相反的变形。因式分解是初二数学学习的一个重点,要想学好它,就要注意以下几个问题:一、不能把因式分解称为整式乘法的逆运算,因为整式乘法的逆运算是整式的除法。二、因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。如:3x2-6xy 9x=3x(x-2y 3)a2-b2=(a b)(a-b)都是正确的,但是像:a 1=a(a 1/a)x2-9 8x=(x 3)(x-3) 8x就不是因式分解(因为:(a a/1)不是整式;(x 3)(x-3) 8x不是积的形式。三、单项式不存在因式分解问题,因为单项已经是乘积的形式了。有两个顺口溜可以帮助你更好地掌握因式分解。顺口溜一:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。顺口溜二:...     

因式分解的十二种方法

因式分解的方法多种多样 ,现总结如下 :一、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来 ,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .例 1　分解因式 :x3-2x2 -2x .解　原式 =x(x2 -2x -1 ) .二、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系 ,如果把乘法公式逆用 ,那么就可以把某些多项式分解因式 .例 2　分解因式 :a2 + 4ab + 4b2 .解　原式 =(a + 2b) 2 .三、分组分解法要把多项式am+an+bm +bn分解因式 ,可以先把它前两项分成一组 ,并提出公因式a ;后两项分成一组 ,并提出公因式b ,从而得到a(m +n) +b(m+n)…     

《因式分解》导学

一、正确理解因式分解的意义因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式 .与整式乘法相比较 ,在变形上正好是互逆的过程 .基于上述认识 ,对于因式分解的结果应注意以下几点 :1 必须是几个因式的乘积形式如对于多项式ｘ2 + 6ｘ -16,若分解为ｘ2 + 6ｘ -16=(ｘ -4 ) (ｘ + 4) + 6ｘ则是错误的 ,因为此结果不是乘积的形式 .正确结果是ｘ2 + 6ｘ -16=(ｘ + 8) (ｘ -2 ) .2 每个因式都必须是整式如对于多项式ｘ3 -ｘ ,若分解为ｘ3 -ｘ =ｘ3 1-1ｘ2 =ｘ3 1-1ｘ 1+ 1ｘ 则是错误的 .这里虽然变形的结果是乘积的形式 ,但后面两个因式不是整式 ,…     

考查因式分解常见的三种题型

综观近两年全国各省 (市 )的中考题 ,围绕“因式分解”一章的内容 ,展示了如下三种常见的题型。1.概念型试题例 1.下列由左边到右边的变形 ,属于因式分解的是 (　　 )( A) ( x 1) ( x- 1) =x2 - 1;( B) x2 - 2 x 1=x( x- 2 ) - 1;( C) a2 - b2 =( a b) ( a- b) ;( D) mx my nx ny=m( x y) n( x y)。( 1999年浙江金华市中考题 )分析 :把一个多项式化为 n个整式的积的形式 ,叫做把这个多项式因式分解。根据这一定义 ,可判断只有 ( C)符合定义。A是属于整式的乘法 ,( B)和 ( D)只是部分项分解了因式 ,但多项式整体上未能化为积的形式。2 .…     

因式分解中的数学思想

数学思想是数学解题的灵魂.在因式分解过程中蕴含着许多数学思想,如果能灵活地运用这些数学思想,往往能更好地解决因式分解问题.一、整体思想用整体思想分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.例1把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式.分析:把(x2-1)看成一个整体,利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式分解.解:(x2-1)2+6(1-x2)+9=(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.例2把多项式(a+b)2-4(a+b-1)分解因式.分析:此多项式既无公因式可提,又无公式可套用,似乎无从入手.若视a+b为一个整体,局部…     

数学综合训练

因式分解【基础回顾】一、请你填1.把一个多项式化成的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.我们学过的分解因式的方法有和.3.计算(1)3x(x-1)=.(2)(m 4)(m-4)=.(3)m(a b c)=.(4)(y-3)2=.4.请利用上题结果直接分解因式(1)3x2-3x=()()(2)m2-16=()()(3)m a m b m c=()()(4)y2     

帮你学因式分解(初二、初三)

因式分解,就是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式.例如把a2-b2化为(a+b)(a-b)就是因式分解.学因式分解,首先要掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、求根公式法及待定系数法等因式分解的基本方法,此外,还要注意以下几点:     

怎样学习“因式分解”

初二同学学习“因式分解”这一章时，应注意下面几个问题：一、充分理解因式分解的意义因式分解是对多项式而言的．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或叫做把这个多项式分解因式．如把a2－b2写成（a＋b）（a－b），即a2－b2＝（a＋b）（a－b），就是把多项式因式分解．又如把a2－2ab＋b2写成（a－b）2，即a2－2ab＋b2＝（a－b）2，也是把多项式因式分解．但把ax＋ay＋bx－by写成a（x＋y）＋b（x－y），即ax＋ay＋bx－by＝a（x＋y）＋b（x－y），就不是把多项式因式分解．这是因为上式的右边不是几个整式的积…     

分解因式

在小学数学里 ,为了约分与通分的需要 ,必须学会把一个整数进行因数分解 .也就是把这个整数写成几个因数的积的形式 .同样地 ,为了今后学习分式、一元二次方程、二次函数等内容的需要 ,我们也必须学会分解因式 .分解因式是什么 ?分解因式是代数中一种重要的恒等变形 .先看看两个式子 ,乍一看 ( a b) ( a - b) =a2 - b2与 a2 - b2 =( a b) ( a - b) ,两个式子似乎没有多大区别 ,只是将它们倒过来写了 .然而这恰恰反映了两种不同的变形 ,互逆的变形 .前者是整式乘法运算 ,后者是多项式因式分解 ,这里反映了它们之间的区别和联系 .由此 ,引…     

正确理解因式分解

课本中明确指出:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,本文试从因式分解的对象、过程、结果以及与整式乘法的关系等几个方面认真解读,希望能对同学们有所帮助. 1.因式分解的对象是整式.并且是整式中的多项式,不是多项式就谈不上因式分解,如x2yz=x·x·y·z不是因式分解,因为x2yz是单项式.它本身就是整式的积的形式.又如m-(1/n)=1/n(mn-1)也不是因式分解,因为m-(1/n)不是多项式. 2.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.如x+1=x(1+(1/x))和x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x都不是因式分解.因为1-(1/x)不是整式,(x+2)(x-2)+3x是和的形式.而不是积的形式. 3.因式分解的结果中的每一个因式必须是不能再分解的因式,因式分解的结果与多项式所在的数集有关,我们现在的分解是在有理数范围内进行的.因此,要求必须分解到每一个因式在有理数范围内不能再分解为止.如:     

因式分解的方法与技巧

一、因式分解的基本方法1.提公因式法法则 :若多项式各项含有公因式 ,可把这个公因式提出来 ,作为多项式的一个因式 ;用这个公因式去除多项式 ,把所得商作为另一个因式。例如 :ax2 2 ax- a=a( x2 2 x- 1)。注 :( 1)提公因式的关键在于准确地确定公因式。即 :取各项系数的最大公约数和指数最低的相同字母或多项式 (包括指数 )的积作为公因式。( 2 )提公因式法可归纳为“一提取、二求商、三化积”。2 .运用公式法因式分解时所用到的公式 :a2 - b2 =( a b) ( a- b) ;a2 ± 2 ab b2 =( a± b) 2 ;a3± b3=( a± b) ( a2 ab b2 )。说明 :公式…     

注意细节,才能学好因式分解

因式分解是初中数学的重要内容,学生必须很好地掌握. 一、加深对"因式分解"概念的理解 所谓因式分解,就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,这是一个与整式乘法恰好相反的过程.要注意的是,仅仅把多项式的一部分化成积的形式不符合要求,比如,把x2-6x 9化成x(x-6) 9还不是分解因式.另外,分解因式还有一个要求(这从定义中看不出来,需要向学生补充说明),那就是分解要彻底.如把16x4-1化成(4x2 1)(4x2一1)还不够,应该进一步化成(4x 1)(2x 1)(2x-1).     

公式法分解因式三注意

公式法是分解因式的重要方法之一,运用公式法分解因式时除正确理解和准确记忆公式外,还需注意以下三点.一、注意直接运用公式.所给多项式符合某种公式模型时,直接运用公式分解因式.例1分解因式:(1)25a2-16b2;(2)4(a-2b)2-12(a-2b)+9.解析(1)中的多项式是两项差的形式,符合平方差公式特征,故想到用平方差公式.把25a2写成(5a)2,16b2写成(4b)2,原式便呈现出平方差公式模型来.原式=(5a)2-(4b)2=(5a+4b)(5a-4b).(2)式中把2(a-2b)看成一个整体,原式便符合完全平方公式的特征.原式=[2(a-2b)-3]2=(2a-4b-3)2.评注运用公式法分解因式,首先应将平方差…     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法 ,就是将代数式中的某一部分用一个新字母来替换。此法用于多项式的因式分解 ,可使隐含的因式比较明朗地显示出来 ,从而为合理分组、运用公式等提供条件 ,使问题化难为易。例 1.分解因式 x4 2 0 0 1x2 2 0 0 0 x 2 0 0 1。解 :设 2 0 0 1=a,则原式 =x4 ax2 (a- 1) x a=(x4 - x) (ax2 ax a)=x(x- 1) (x2 x 1) 　 a(x2 x 1)=(x2 x 1) (x2 - x a)=(x2 x 1) (x2 - x 　 2 0 0 1)。例 2 .把代数式 (x y- 2 xy) (x y- 2 ) (xy-1) 2分解成因式的乘积 ,应当是。解 :设 x y- 2 =…     

怎样进行因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解．它有如下几个特点：(1)结果一定是积的形式;(2)每个因式必须是整式;(3)各因式要分解到不能再分解为止．学习因式分解关键是理解因式分解与多项式乘法是互逆的关系,重点学习的四种因式分解方法会灵活运用．     

因式分解中的十字相乘法

十字相乘法是因式分解的一种较方便的方法,这里加以介绍.我们考察多项式:x~2-8x+15 (1)用配方法因式分解:原式=x~2-8x+16-1=(x-4)~2-1=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3)至此,我们已经把(1)式分解成两个因式了.现在我们来研究这两个因式(x-5)、(x-3)与多项式x~2-8x+15有怎样的关系?从等式中可以看出,多项式二次项的系数1刚好等于两个因式中x的系数的积1×1=1,常数项15刚好是两个因式的常数项的积(-3)(-5)=15,一次项的系数(-8)刚好是因式的x的系数1、1和常数项-3、-5交叉相乘积的和1×(-5)+1×(-3)=-8.即     

“因式分解”与“分式”教学浅谈

因式分解是一种很重要的恒等变形,在代数式化简、求值、分式的四则运算中经常用到因式分解,在解方程和解方程组中,因式分解法也是一种重要的方法。因此,熟练地掌握和灵活地运用因式分解的各种方法是进一步学好数学的前提。多项式因式分解的常用方法有:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等。分解步骤可归纳为:一提(提公因式)、二套(套用公式)、三叉(十字相乘)、四分组、五其他。例1.分解因式(1)3x2-6x-9;(2)(a2 1)2-4a2;(3)m-m3-mn2 2m2n;(4)x2 5xy 6y2 x 3y。说明:(1)因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,其分解过程…     

试谈数学命题中的常见病

做好数学命题工作,是数学教师的基本任务之一。命题工作的质量如何,直接影响着数学教学的质量,但由于这是一项十分严谨、细致、周密的工作,稍一疏忽,往往产生各种毛病,本文就一些数学命题出现的疏误,谈一点个人的粗浅认识。(题的出处略去——编者注) 例1 分解因式:①4x~2+1/(x~2)-4.②(a~2-b~2)/((a-b)~2)+1/(4(a-b)~2)+(a+b)~2。提供答案:①(2x-1/x)~2,②[1/(2(a-b))+(a+b)]~2。剖析:初中代数第二册对因式分解的定义是:“把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解”,所以,上述命题与因式分解定义相悖。例2 △ABC与以BC为直径的半圆相交于D、E,AD=2,AE=3,DE=4,BC=8。则AB     

活用公式 巧妙分解

运用公式法分解因式是因式分解的一种基本方法,这种方法就是利用平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)和完全平方公式a~2±2ab+b~2=(a±b)~2分解因式。但在许多情况下,对于给定的多项式,往往无法直接运用公式分解,必须根据多项式的特征,灵活运用公式才能分解。现就怎样活用公式分解因式举例进行说明。     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…