例谈一般化思想在解题中的应用

<正>有时特殊问题的个别特性会掩盖问题的本质,给问题的解决带来困难,若将其置于一个一般的问题中,往往更容易识破问题的来龙去脉,把握问题的实质,为解决原问题创造一个自然流畅、清晰简明的思路和方法,这也就是所谓的一般化思想.一般化思想是一种重要的数学思维策略,它在数学中应用非常广泛,本文笔者通过典型例题谈谈一般化思想在数学解题中的应用.     

只剪一刀

一般化思想是一种重要的数学思维策略，它在数学中应用广泛．当有些数学问题在原问题中较难处理时，可以将它置于一个较一般的问题中以获得问题的解决，这种处理问题的思考方法就是一般化思想．以下笔者谈一谈一般化思想在数学解题中的几种应用．     

运用一般化的思想方法解题

所谓一般化的思想方法是指在解决问题时,把具体问题一般化,也就是说将给定问题看作某个一般问题的特殊情况,先解决一般问题,再解决具体问题．本文将通过一些具体的例题谈谈一般化的思想方法在解决数学问题中的运用。     

一般化策略的实施途径

当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事情本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略，这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。     

数学解题的一般化策略

在日常数学教学中我们经常会面临一个看似比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题，此时我们要设法把这个问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。这就是“进中求退”的一般化策略思想．运用“进中求退”的一般化思维策略，使我们能在更一般，更广阔的领域，在变化之中寻求化归的途径。这能提高学生思维的敏锐性与深刻性，培养学生的问题意识、勇于探索、敢于创新精神。     

特殊化策略在数学选择题中的应用

特殊化策略即视原问题为一般,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原同题解决的策略,是数学解题的重要策略之一[1]。为此,通过几个例题说明特殊化策略在解数学选择题中的具体运用。     

一般化——一种解题方法

“由特殊到一般”,“由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．我们可以通过特殊去探索一般结论,也可以从一般结论去研究特殊问题．用特殊化解决数学问题的方法已司空见惯,这是因为习惯上人们认为特殊问题较一般问题容易解决,特殊问题具备的条件多且有很多性质可以利用．事实上决非所有问题都是如此,正如G·波利亚在《怎样解题》中所说：“一般化也许有助于解题,越一般化的题目可能越容易解答．”这是     

均值不等式应用点滴——用一般化的方法处理特殊化的问题

在数学学习上人们喜欢把一般化问题特殊化,从而使问题获得解决,往往忽视把特殊问题一般化,有一些题目,它给出的条件是特殊的或者是具体的,我们在解这些题目时,把条件一般化,例如：添加一些参数或者变成一个字母,然后从宏观或整体变化中去处理这些条件,使问题在一般情况下得到解决．     

均值不等式应用点滴——用一般化的方法处理特殊化的问题

在数学学习上人们喜欢把一般化问题特殊化,从而使问题获得解决,往往忽视把特殊问题一般化,有一些题目,它给出的条件是特殊的或者是具体的,我们在解这些题目时,把条件一般化,例如：添加一些参数或者变成一个字母,然后从宏观或整体变化中去处理这些条件,使问题在一般情况下得到解决．     

由特殊化想到的解题方法

著名的德国数学家希尔伯特曾说过:"在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.把一般问题特殊化对解决有关数学题是一种行之有效的方法.相对事物的一般性而言,其特殊情形往往更加直观、具体、简单.因此,我们在解决某些复杂的数学问题时,往往只考察它的个别情形或极端情况.这种"以退为进"的策略,常常能帮助我     

一般化策略的实施途径

当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时,要设法把特殊问题一般化,找出一个能够揭示事情本质属性的一般性问题,以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果,顺利解出原题,这就是一般化策略.这种策略是通过找出特殊问题的一般原型,把特殊问题从原有范围扩展     

数学竞赛解题策略——特殊问题一般化

特殊问题一般化是指将一个特殊问题转化为一个一般问题来处理.一方面,由于特殊问题的结构过于简单,使得它不能反映有关问题的原貌,而将其一般化,可使问题顺利获解;另一方面,有些特殊问题经过一般化后须再进行特殊化才能使问题得以解决.一般化的实质是为特殊问题寻找赖以成立的大前提,而这个大前提就是一般性命题.由于前提蕴含条件,因此只要一般性命题得证或得解,那么所给的特殊条件也就得到了证明或求解.本文试通过几例竞赛试题阐述特殊问题一般化的解题策略.     

运用数学归纳法解决一般化问题

(本讲适合高中)与特殊化相反,一般化就是将具体的个性问题转化为一般的共性问题来研究.由于特殊情形往往涉及一些无关紧要的枝节而掩盖了问题的关键,而一般情况却更能明确地表明整体性质和本质属性,因此,一般化在数学解题中有着广泛的运用.本文结合实例,谈谈一般化在数学归纳法证明中的运用.     

论一般化思想在数学解题教学中的作用

“由特殊到一般,由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．在数学学习中,特殊化和一般化更是常常交替呈现、循环使用（如图1）．解选择题和填空题时,特殊化是学生常用的策略之一,而对于一般化,学生的体会并不是很深,但不可否认,在数学教学中,一般化思想有着其它任何思想方法都无法替代的作用．那么,什么是一般化？     

浅析小学数学教学中转化思想的应用

一、小学数学转化思想概述数学转化策略是数学教学中的重要方法,数学解题的本质就意味着转化.小学数学教学中的转化是指把一个数学问题变更为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而使原问题得以解决的一种策略.可以说,转化是从难到易,从抽象到具体,从未知到已知,从特殊到一般的过程.因此,学生学会数学转化,有利于实现学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力.     

一般化思维方法在数学教学中的应用（四）

2.4 用一般化方法解决特殊问题中的疑惑 有些特殊问题,在解决过程中会出现一些疑惑,我们难以讲清道理,但把这些问题一般化后,反而变得容易找出其中的奥妙,讲清其中的道理. 例1证明方程2243cosxxx =无实根. 证明 原方程可变形为 22(43cos)0xxx -=, ∵142(43cos)xD=-鬃- 24cos310x=-<. ∴原方程无实根. 质疑 用判别式法判定方程2axbxc 0=无实根,是以ab-、c是常数为前提,然而原方程中43coscx=-不是常数,因此提出疑问:这样的解法对吗? 解惑 我们干脆把问题一般化,研究变系数一元二次方程: 2()()()0(()0)axxbxxcxax =? (1) 无实根的条件(…     

“转化策略”在课标卷选考题中的应用途径探析

"转化"策略是"正难则反思想"、"化归与转化思想"在数学解题中的应用.它是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略."转化"策略是重要的数学解题策略之一,当我们解决数学问题时,它无处不在.世界著名数学家雅洁卡亚在《什么叫解题》中指出:"解题就是把要解的题转化为已经解过的题".所以可以毫不夸张地说,会"转     

均值不等式应用点滴——用一般化的方法处理特殊化的问题

在数学学习上人们喜欢把一般化问题特殊化,从而使问题获得解决,往往忽视把特殊问题一般化,有一些题目,它给出的条件是特殊的或者是具体的,我们在解这些题目时,把条件一般化,例如:添加一些参数或者变成一个字母,然后从宏观或整体变化中去处理这些条件,使问题在一般情况下得到解决.     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考

1 一般化、特殊化的基本认识 1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 郑毓信、梁贯成老师在《认知科学、建构主义与数学教育》一书第二章第二节“高层次数学思维的研究”第115页中指出，“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用。具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式。     

例谈“从特例入手”解决数学问题

"从特殊到一般,从具体到抽象"是人们认识复杂事物,探究其内在性质和规律的基本方法,特殊与一般是对立统一的,数学也被纳入到这一规律的模式之中;数学教育家波利亚说:"我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身,它们是获得发现的伟大源泉";德国数学家希尔伯特对于特殊化方法的作用,有过精辟论述,他指出:"在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用".因此,"一般化"和"特殊化"方法是数学发现和数学解题学习中经常使用的两种重要方法.