关于素数幂的一条表示定理

设q为奇素数，p为素数组P≡3（mod4），本文用完全初等的方法证明了：如果l为使q∧l可表示成二次型x∧2 py∧2，（x，y）=1的最小正整数，m为自然数，则q∧m有这种表示的充分必要条件是：l|m。     

分布式计算梅森数和费马数

形如2’-1的数叫做梅森数，其中的素数就叫做梅森素数，之所以这样称呼是为了纪念最先深入研究这种素数的法国学者梅森（M．Mersenne，1588～1648）．后来梅森素数的研究成为重要的数论课题，本刊1998年第8～9期作过详细的介绍并列出到当时已经发现了的37个梅森素数，后来本刊又陆续介绍了几个新梅森素数的发现，本文再列出人们发现的第35～43个梅森素数．     

魅力无穷的梅森素数

2008年8月,第46个也是最大的梅森素数2~(43112609)-1被美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯发现,史密斯是通过参加一个名为因特网梅森素数大搜索(GIMPS)的国际合作项目发现的该素数。该素数是2自身相乘43 112 609次减1得来的,它有12 978189位数,如果用普通字号将这个数写下来,长度可超过50公里。     

梅森素数趣谈

素数也叫做质数,其特点是它只能被1和它本身整除．比如2009就不是素数,它可以被7整除． 要确定某数是不是素数并不是太容易,如果数字小一点还好办,数字大了就会很不容易．比如对于2013,总不能把所有比它小的数都拿来试除吧？因此有人猜想它是素数,可事实上它能够被11和181整除,因此它不是素数．     

关于梅森素数分布规律的猜想

本文在周海中教授关于梅森素数分布规律的研究基础上，作进一步的探讨．本文定义Ｒ序列为：由使２ｐ－１为素数的素数ｐ及形如２（ｋ＝０，１，２，３，…）的数按由小至六次序排列的序列，序列的第ｎ项记为Ｒ（ｎ）．通过对Ｒ（ｎ）已确定的前３５项的分析，提出了的猜想，并由此推论出每一个梅森素数的分布区域．     

关于素数幂的一条表示定理

设ｑ为奇素数，ｐ为素数且ｐ３（ｍｏｄ４）．本文用完全初等的方法证明了：如果ｌ为使ｑｌ可表示成二次型ｘ２＋ｐｙ２，（ｘ，ｙ）＝１的最小正整数，ｍ为自然数，则ｑｍ有这种表示的充分必要条件是：ｌ｜ｍ     

一类形式素数的无穷性

本文运用了欧几里德证明素数无穷性方法及数学分类思想 ,结合二次剩余、数关于模 m的阶和费马数的特征 ,系统地证明了形如 :4 n+k(n∈ N ,k=± 1) ,8n+k(n∈ N,k=1、3、5、7)形式素数的无穷性。并结合群论与数论研究的相辅关系 ,利用有限群特征标理论与性质证明了狄利克雷定理。     

对梅森素数分布规律的一种猜想

提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想：梅森素数的指数ｐ的二阶差分序列每１０项中都有６项非负值与４项负值     

一个整除定理及其应用

众所周知 ,著名的费马小定理是 :如果 ｐ是素数 ,那么对于任何整数ａ ,都有 ｐ｜(ａｐ-ａ) .如果改动这个著名定理条件 ,将 ｐ是素数放宽为ｐ是奇数 ,会出现什么结论呢 ?这个结论有何用呢 ?本文就此作些探讨 .定理　如果 ｐ是 (正 )奇数 ,那么对于任何整数ａ,都有 6 ｜ (ａｐ-ａ) .证明　当 ｐ =1时 ,结论显然成立 .当 ｐ >1,即 ｐ=2ｋ +1(ｋ∈Ｎ)时 ,ａｐ-ａ =ａ2ｋ- 1) ,记 ｆ(ａ) =ａ2ｋ- 1,则 ｆ(± 1) =0 .由因式定理知 ｆ(ａ)能被 (ａ - 1)、(ａ+1)整除 ,故 ｆ(ａ) =(ａ- 1) (ａ+1)ｍ(ｍ∈Ｚ) ,因而ａｐ-ａ =ａｆ(ａ) =ａ(ａ - 1) (ａ…     

第45个和第46个梅森素数

说明：据梅森素数网站（http：／／www．mersenne．org／[-2008—09—23]）报道,2008年8月23日和9月6日,人们分别发现了第45个和第46个梅森素数．我们摘录报道原文的主要部分,供感兴趣的读者欣赏．同时给出参考译文并加上适当的注释．     

N2+1形式素数个数的估计

本文发现Landau集合L={n2 1|n∈N }中的关键元素为4n 1形式的奇数。由于(2k)2=4k2,因此,一个偶数的平方加上1可能是一个4n 1形式的奇合数,也可能是一个4n 1形式的奇素数。这是一个随机事件。当把这些奇数当作来自奇数集G={1,3,5,…}中的随机样本时,可以证明集合L中素数有无穷多个。为了估计区间[1,x]内n2 1形式的素数个数,利用M=x2-1,P(L)=23,P(G)~ln2x而建立一个随机抽样的数学模型;πn(2 x1;=4P,1≤x)~32lnxx-1,x→∞。至此,Landau猜想已被证明是一个肯定的结果。本文同时用新的方法获得了4n 1形式的素数个数的估计式。     

关于素数的孪生素数的注记

利用Sundcaram筛法，给出素数的表示，在此基础上得到了关于素和的判别定理和相应筛法。     

全部的素数可以用集合表示出来

关于素数的研究历史久远,迄今为止人们只知道素数有无穷多个,素数在自然数中的分布会随着数越来越大出现的越来越稀少。用“埃拉托斯尼斯筛法”,可以得到小于自然数N的全部素数。用通项公式表示素数的问题,是一个世界性的难题,长期以来一直没有得到解决,人们试图以素数出现的本     

第45和46个梅森素数的预测

根据已发现的44个梅森素数,运用非线性拟合,给出了梅森素数分布的猜想,由此得到第45和46个梅森素数的范围和可能值,即％中声取自然对数的范围是[0．396283124964472n-0．251065835613184,0．396283124964472n＋1．3570453473079]．     

关于伪素数的几个结果

得到一类较广泛的伪素数，此外，还证明了费马合数、梅审合数均为伪素数。     

对梅森素数分布规律的一种猜想

提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想：梅森素数的指数ｐ的二阶差分序列每１０项中都有６项非负值与４项负值。     

因数和—完美数—梅森素数

有这样一道思考题：144的全部因数的和是多少？方法1：列举出144的全部因数：1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144并将之相加可以得到所有数的和是403。方法2：本题也可以利用江苏教育出版社出版的《奥数读本》中所提及的求一个数所有因数的和的方法进行计算。     

关于伪素数的几个结果

得到一类较广泛的伪素数。此外，还证明了费马合数、梅审合数均为伪素数。     

自然数数段中的素数

本文从一个新的角度研究素数间关系。