用反三角函数表示角的技巧

利用反三角函数表示角是反三角函数中的一个基本问题.这种问题有两种情形:一是当角x属于主值区间时,用反三角函数表示x容易求得.如sinx=1/2,x∈[0,π/2],则x=arcsin1/2;二是当x不属于主值区间,如sinx=1/2,x∈[(5π)/2,3π].如何用反三角函数表示x,就不那么容易了,有时,往往感到无所适从,处理这类问题,这里介绍一种简便有效的方法,下面举例说明.     

来自一道习题的思考

在学习反三角函数时,我们常会遇到这样一类问题,要用反三角函数表示非主值区间里的角。高中代数第二册第17页习题一,第2题就是这样一个问题。已知sinX=3~(1/3)/5,π/2相似文献   

反三角函数中两个问题的探讨

1.用反三角函表示角的方法与技巧利用反三角函数表示角是反三角函数中一个基本问题,它是考察学生能否掌握反三角函数定义、并能灵活运用反三角函数概念的关键.这种问题有两种可能性:一是当角x属于主值区间时,用反三角团数表示x容易求得,如:sinx=1/2,x属于[0,π/2],则x=arc sin 1/2;二是当x不在主值区间 sinx=1/2x属于[5/2π,3π]如何用反三角函数表示x,就不那么容易了,有时往往感到无所适从.处理这类问题,笔者介绍一种简便有效的方法,且求解过程及结果不易出错,下面以例说明.     

复数在反三角函数解题中的应用

众所周知,两个复数的积(或商)的辐角,等于这两个复数的辐角之和(或差)。这一性质虽然简单,但用它来解决反三角函数问题却新颖别致,具有独到之处。请看如下例题。一、计算反三角函数值例1 计算 arcsin1/10~(1/2) arcsin1/26~(1/2) arccos7/50~(1/2) arccos8/65~(1/2)。解:设arcsin1/10~(1/2)=α,arcsin1/26~(1/2)=β,arccos7/50~(1/2)=θ,arccos8/65~(1/2)=φ,易知α,β、θ、φ∈(0,π/4),故α β θ φ∈(0,π)。又α=arg(3 i),β=arg(5 i),θ=arg(7 i),φ=arg(8 i),故得     

反三角函数的两个难点解疑

高中代数中的反三角函数是一个难点,概念性较强,所以要真正掌握反三角函数,就必须透彻理解其定义及了解它的性质,才能准确、熟练在进行反三角函数的运算和证明。以下两个问题是学生较难掌握的内容: 一、求三角函数在任意单调区间上的反函数对这个问题课本上没有例题而有习题,对习题的解答教学参考书上只给出答案而无解答过程。个人认为,课本这样处理给学生增加了难度。为使学生能较好地掌握这部分知识,归纳出这类问题的解法是:对于三角函数在任意单调区间上的反函数,关键在于把其单调区间转化为反三角函数定义中所对应的单调区间(主值区间)上即可。例1 用反函数表示下列各式中的x。 (1)sinx=3~(1/2)/5 (0相似文献   

一类反三角函数的求值

在反三角函数的学习中,我们得到了以下结论:arcsin[sin(x)]=x。(x∈[-π/2、π/2])、本文试着探讨一下当x(?)[-π/2、π/2]时,此类三角函数的求值。我们先看两道反三角函数的求值题。 [例1.] 求值:arcsin[sin(-8)]: 解:∵-     

避免三角函数中“增根”一例

已知三角函数值求角时,如果选择的三角函数不适当,则会得出不合题意的角,即产生“增根”。现举例说明。 已知:cos2a=7/25,a∈(0,π/2),sinβ=-5/13,β∈(π,3π/2),求α β(用反三角函数表示)。 解:     

解反三角函数问题常见错误剖析

解反三角函数问题时,常常因对反三角函数的概念模糊,忽略反三角函数的取值范围,而导致错误。本文对一些常见错误举例剖析,供参考。一、对定义理解模糊致误。例1 求下列函数的反函数:(1)y＝cosx,x∈(π/4,3π/4);(2)y＝tgx,x∈(π/2,3π/2)。     

利用特殊值 巧解数学题

解数学题方法颇多,但根据题意,巧妙地借助特殊值解题不乏是一个事半功倍的好方法。只要在有关数学知识基础上,善于观察、思考,就不难掌握。下面列举数例说明之。一、解选择题例1 对于任何x∈(0,1/2π),都有(). (A)sin(sinx)相似文献   

1994年一道上海高考立几题的解法分析

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π/2,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin5~(1/2)/5,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求 (1) 二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示):     

一组反三角恒等式的应用

arc sinx+arc cosx=π/2(|x|≤1),arc tgx+arc ctgx=π/2是反三角函数里的一组重要恒等式。但这组公式的应用,课本上未予涉及。本文补充几个应用的例。 [例1] 比较cos(arcsinx)和arcsin(cosx)的大小(|x|≤1)。     

一类反三角等式的图解法

本刊今年第1期《一道反三角函数题的复数解法》一文运用复数方法证明了等式arcsin4/5 arxsin5/13 arcsin16/65=x/2,若注意到π-arcsin16/65=arccos16/65,则可以将这个反三角等式改写为arcsin4/5 arcsin5/13=arccos16/65①对于反三角等式①,可以用图解法证明如下:如图1所示,有∠CBD=arcsin64/80=arcsin4/5,     

一道反三角函数的复数解法

1997年海淀在高三数学测试理科的(9)小题:arcsin4/5 arcsin5/13 arcsin16/65的值等于:(A)5π/6 (B)4π/3 (C)2π/3 (D)π/2.答:(D)解:将 arcsin4/5看成复数3 4i 的辐角主值     

复数的幅角与反三角函数

一个反三角函数的主值,总有一个复数的幅角主值与之对应.例如,arcsin1/,arctg(-1/2),就是复数z_1=2+i和z_2=2-i的幅角主值.(如图1).所以,反三角函数中的有关问题,可以转化为复数问题来解决.两个复数的积(或商)的复数的幅角,等于这两个复数的幅角和(或差)。反之,幅角的和(或差),可     

通过构造辅助方程求某些三角函数式的值

构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而     

解三角函数问题要注意隐含条件

解三角函数题时,极易忽视隐含条件而致误,下面结合实例说明. 例1 已知tanα,tanβ是方程x2 3√3x 4=0的两根,且α,β∈(-π/2,π/2),则α β的值等于( ).     

解反三角函数题常见错误剖析

学生在解答有关反三角函数的习题时,常因忽略反三角函数的定义域、值域以及其它隐含条件而导致错误。现举例剖析于下: (一) 混淆主值区间致误 [例1] 已知|x|≤1,用反正弦函数表示     

反三角函数复习方法

已知三角函数值求角亦即反三角函数,其概念较抽象,初学者比较难以接受,学习过程中解题思路又不易理清,因此高考复习应弥补这一薄弱环节.同学们只要弄清五种基本问题的解题思路,就会很容易复习好这部分知识.一、求三角函数在给定区间上的反函数是利用反三角函数的定义,借助诱导公式来完成的例1求函数y=s inx在[-3π2,-π2]上的反函数.解:∵x∈[-3π2,-π2],∴(π+x)∈[-π2,π2].又-s inx=s in(π+x),即-y=s in(π+x),依反正弦函数的定义与奇偶性,得π+x=-arcs iny,即x=-π-arcs iny,故所求反函数y=-π-arcs inx,x∈[-1,1].二、求反三角函数…     

一类无理不等式的三角解法

三角代换在代数中有广泛应用,本文举例说明它在解一类无理不等式中的应用。 [例1] 解不等式(2x+5)/~(1/2)>x+1(85高考题) 解:由2x+5≥0得x≥-5/2,当-5/2≤x≤0时,设x=-5/2sin~2θ,θ∈(0,π/2),不等式化为5cos~2θ-2(5~(1/2)cosθ-3<0。此不等式对θ∈[0,π/2]恒成立,∴-5/2≤x≤0是不等式的解。当x>0时,设x=5/2tg~2θ,θ∈(0,π/2),则不等式化为5sec~2θ-2(5~(1/2))secθ-3<0,解得1相似文献   

学习集合应注意的几个问题

一、要注意集合的表示方法[例1] 求函数y=lgtanx/2的定义域. 错解:由tanx/2>0得:kπ相似文献