用“判别式”解题的几种方法

同学们都知道 ,一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的根与它的系数a、b、c有很大的关系。由于b2 - 4ac可以判定ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的根的情况 ,所以b2 - 4ac叫做上述一元二次方程的根的判别式 ,通常用符号“△”来表示。判别式的性质 :一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 ) ,当△ >0时 ,有两个不相等的实数根 ;当△ =0时 ,有两个相等的实数根 ;当△ <0时 ,没有实数根。反过来也成立。特别注意 ,根的判别式是在一元二次方程一般情形下得出的 ,因此必须把所给的方程化为一般形式 ,确定系数a、b、c后 ,再用此性质。下面就此内容给同学们介…     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

一元二次方程根的判别式的应用

对于实数系一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 ) ,如果 b2 - 4ac>0 ,那么方程有两个不相等的实数根 ;b2 - 4ac<0 ,那么方程没有实数根 .这就是一元二次方程根的判别式定理 ,我们把△ =b2 - 4ac叫做方程 ax2+bx+c=0 (a≠ 0 )的判别式 .这个定理的逆命题也是成立的 .判别式定理揭示了一元二次方程的系数与它的根之间的内在联系 ,它的应用主要有以下几个方面 .1 .判断方程根的性质 .在初中阶段我们研究的是实数系数的一元二次方程 ,有下列命题 :(1 )一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )中 ,如果 a、 b、 c是有理数且△ =b2 - 4ac是一个完全平方数…     

二次两兄弟 关系真亲密

一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）和二次函数y=ax2＋bx＋c=0（a≠0）就像一对孪生兄弟,不但外貌相似,而且关系非常亲密.从＂数＂的角度看,一元二次方程的根就是二次函数的函数值为0时自变量的值;     

一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的根的判别式△ =b2 - 4ac ,不仅可以判定方程实根情况 ,还可以用它判别二次三项式ax2 +bx +c因式分解的方法与范围 ,求抛物线y =ax2 +bx +c(a≠ 0 )与x轴交点的个数 ,以及证明某些几何不等式问题 ,现以有关中考试题为例 ,简述一元二次方程根的判别式的应用     

△的妙用

我们知道△=b2-4ac是一元二次方程ax2+bc+c=0（a≠0）的根的判别式,△>0时,方程有两个不相等的实数根,△=0时,方程有两个相等的实数根,△<0时,方程没有实数根。除此之外,△还另有妙用。 设抛物线y=ax2+bc+c（a≠0）与x轴交于A（x1、0）,B（x2、0）两点,则x1、x2是一元二次方程ax2+bc+c=0（a≠0）的两个不相等的实数根,此时△>0,并设A、B两点间的距离为d那么,     

巧用二次函数与一元二次方程关系解题

<正>我们知道,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.在求解相关问题时,它们之间的这种关系如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.下面举例说明.一、判断二次函数图象与x轴的交点情况     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

一个有趣性质的应用

<正> 性质在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则该方程必有一根为1. 证明∵a+b+C=0,且a≠0,∴a=-(b+C). ∴ax2+bx+c=-(b+c)x2+bx+C =-bx2-cx2+bx+c     

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )的图象及性质在初中代数教材中占有重要地位 ,这部分知识与前后内容联系紧密 ,灵活性、综合性较强。下面着重介绍二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )之间的关系。一、一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的根的情况决定着抛物线 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与x轴交点的情况。下面是二次函数 y=ax2 bx c(a>0 )的图象 ,观察图象 ,回答 :x取何值时 ,y=0。　 (甲 )　　 (乙 )　　 (丙 )由 (甲 )图可以看出 ,抛物线y=ax2 bx c与 x轴交于两点(- 1,0 )与 (3,0 ) ,也就是说 ,有…     

一元二次方程实根分布新探

设一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)(1),其实根为x1,x2.对应的二次函数为f(x)=ax2 bx c(a≠0),则f(0)=c.1一元二次方程根的基本分布———零分布所谓一元二次方程根的零分布,指的是     

点击“△”应用的思维盲点

<正> 关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,我们知道有三个方面的应用: 1.不解方程,判别一元二次方程根的情况; 2.证明一元二次方程有无实数根; 3. 根据方程根的条件,求方程中待定系数的值. 我们在解与实数根相关的问题时,也常常使用“△”,但又常常被     

利用数形结合的方法求方程中参数的取值范围

<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围.     

勿忘一元二次方程中的隐含条件

一元二次方程ax2+bx+c=0要求a≠0,有实数根时要求判别式△≥0.但同学们在解一元二次方程的有关问题时常忽视这些隐含条件,现举例如下:     

根的判别式的应用

一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的应用十分广泛,是中考命题的热点．从命题的内容看,     

含参数一元二次方程根的分布问题的思考

<正>一元二次方程ax²+bx+c=0的根是二次函数y=ax2+bx+c=0的根是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的零点,即抛物线与x轴交点的横坐标,关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的零点,即抛物线与x轴交点的横坐标,关于一元二次方程ax²+bx+c=0根的分布情况是同学们学习的难点,我结合二次函数图像,对一元二次方程根的分布问题进行了一些探讨和总结。设一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布情况是同学们学习的难点,我结合二次函数图像,对一元二次方程根的分布问题进行了一些探讨和总结。设一元二次方程ax²+bx+c=0的两个     

数学奥林匹克初中训练题(81)

1.已知实数abc≠0,且三个一元二次方程ax2＋bx＋c=0,bx2＋cx＋a=0,cx2＋ax＋b=0有公共根.则a2/bc＋b2/ca＋c2/ab=（ ）. 　　（A）3 （B）2 （C）1 （D）0     

试论一元二次方程和二次函数的关系

正一元二次方程以及二次函数是九年级的重要内容,它们之间联系紧密。我现对它们的关系加以总结、归纳,来帮助学生学习和复习。二次函数通用解析式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时,也就是说求解二次函数与x轴交点问题时,可转化为一元二次方程来解决。一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点1.△0时,方程有两个不相等的实数根x1、x2,二次函数与x轴有两个不同的交点,其     

判别式法

根据b~2-4ac的值的符号可以判别一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,我们把b~2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号"△"来表示.具体判别方法是:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当△<0时,方程没有实数根.这三     

根与系数关系的几种常见应用

一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根是x1、x2,有x1＋x2=-b/a、x1x2=c/a.