一道美国数学月刊征解题的新解与推广

题目设x,y,z∈(0,+∞)且2 2 2x+y+z=1,求函数f=x+y+z xyz的值域.这是一道《美国数学月刊》征解题,文[1]运用三角代换及导数给出了此题的一个解法,文[2]给出求f上界的抽屉原则的解法,文[3]给出了幂平均不等式的解法.此题运用初等数学的知识来解难度都比较大,下面以高等数学中的拉格朗日乘数法为突破口,给出此题的一个简单解法.解设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=x+y+z2 2 2xyzλ(x+y+z 1),对L求偏导数,并令它们都等于0,则有1 2 01 2 0L yz x x L xz yλλ====,,2 1(1)yz xλ+=,,     

能取等号吗?

函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实     

“经济数学基础”学习导引(二)

第四章多元函数微分学一、主要教学内容1.多元函数的基本概念主要是二元函数,其概念的要素还是对应关系与定义域,二元函数的定义域是平面上的某个区域,对应关系一般表示为:z=f(x,y) (x,y)∈D例如,设 z=f(x,y)=sin(x y)则 f(0,0)=sin(0 0)=sin0=0f(π/2,π/2)=sin(π/2 π/2)=sin=0f(t,s)=sin(t s)2.偏导数与全微分设 z=f(x,y),则     

抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

二元函数方向导数的几何意义

为探索二元甬数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα·(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量→/AB的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,Y0,f(x0,y0))点沿方向AB的方向导数就是tanθ.     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

函数奇偶性的多种理解

深入分析函数奇偶性的定义特点,可以得到以下多个方面的理解.分述如下: 1.从定义理解 设y=f(x),x∈A,如果对于任意x∈A,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数;如果对于任意x∈A,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.     

函数的零点问题探究

<正>对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.这样,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴(直线y=0)交点的     

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=     

对2010年高考(天津卷)第21题的另解及启示——数形结合思想在2010高考中的几方面考查

考题再现:(2010·天津卷21)已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);(3)如果x_1≠x_2,且f(x_1)=f(x_2)证明:x_1+x_2>2.     

高中数学中利用相关点法巧解对称问题

对称问题在高考试题中经常出现,常见的有中心和轴对称两种.尽管试题年年翻新,情境不断变化,甚至不落俗套,但经研究可以发现,其解法的普遍规律还是可以归纳总结的.下面通过一些实例加以说明.一、函数中的对称问题例1(2001年高考)设y=f(z)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线z=1对称.证明y=f(z)是周期函数.证明:设(x,y)为y=f(x)图象上任意一点,则其关于x=1的对称点可求得为(2-z,y),于是根据函数关系有:y=f(x)=f(2-x)又因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,     

用多元函数求值域方法解线性规划问题

文[1]指出:在中学阶段,求多元函数值域有两个方法,一是转化为一元函数求值域,如z(x,y)=x^2+2y^2/xy=x/y+2·y/x,令x/y=t(令y/y=t也一样),则z(x,y)=φ(t)=t+2/t,求φ(t)=t+2/t值域即可;二是将其中一个元作为自变量,其余元作常量,逐步求一元含参函数的值域,最后求一元函数值域,如z(x,y)=x^2-2xy+2y^2-2y+3,令z(x,y)=φ(x)=x^2-2xy+2y^2-2y+3=(x-y)2+y^2-2y+3,则φ(x)min=φ(y)=y^2-2y+3,又令φ(y)=y^2-2y+3,则φ(y)min=φ(1)=2,即z(x,y)min=z(1,1)=2.     

迭代函数问题归类解析

已知函数y=f(x),记f[1](x)=f(x),进行2次迭代得到f[2](x)=f(f(x)),进行3次迭代得到f[3](x)=f(f(f(x))),类似地进行n次迭代得到f[n](x).本文将对函数y=f[n](x)的问题进行归类解析.一、求定义域例1已知f(x)=lgx,求函数y=f[3](x)的定义域.解∵y=f[3](x)=lglglgx,∴x>0,lgx>0,lglgx     

容易混淆的两种“对称”

先看一个例子(97全国文科高考题)。设函数y=f(x)定义在实数集上,函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于………( ) (A)直线y=1对称;(B)直线x=0对称; (C)直线y=0对称;(D)直线x=1对称。 解:用(x 1)代替f(x-1)=f(1-x)式中的x,可得f(0 x)=f(0-x),由对称性定     

一个不等式的推广

文 [1 ]中有如下一个不等式 :设 0 相似文献   

充要条件在微分中的体现

充分条件、必要条件、充要条件是研究命题条件和结论的相互关系时常用的数学术语,下面在微分中说明这些条件的应用。一、充分条件假言判断“若A则B”为真,则称条件A是B的充分条件。简言之,“有此则必然,无此未必不然”。例1若函数y=f(x)在点x0有极值,且f(x0)存在,则函数y=f(x)在点x0的导数为零,即f’(x0)=0。分析很明显,当函数y=f(x)在点x0有极值且导数存在时,根据导数的几何意义,函数所表示的曲线在该点的切线平行于x轴,即有f’(x0)=0。但倒过来说,“若函数y=f(x)在点x0的导数为零,则函数y=f(x)在点x0有极值”就不一定成立了。因为使y=f(…     

例谈零点定义与零点定理的应用

零点定理是新教材中增加的一个重要定理,在解题中有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即方程f(x)=0有实数根图像y=f(x)与x轴有交点函数y=f(x)有零点.什么是零点定理呢?如     

条件极值的初等求法(续)

如果我们能够从约束方程或约束方程组中把其中一些未知数解出,那么将其代入函数式后,所求的条件极值便转化为另一变数较少的函数的普通极值了。定理 4.如果一元函数 z=f(x,φ(x))在 x=x_0处取得最大(小)值,那么二元函数z=f(x,y)在条件 y=φ(x)下在点(x_0 φ(x_0))处也取得最大(小)值。定理 4 可以推广到多元函数的情形。例7.若三个非负变数 x,y,z 满足条件3y 2z=3-x 和3y z=4-3x,求线性函数w=3x-2y 4z 的最大值与最小值。     

三次函数图象的对称中心的探究引申和应用

三次函数图象的对称性是高考的热点问题,任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”(-b/3a,f(-b/3a)),且“拐点”就是对称中心;对称中心在导函数y=f′(x)的对称轴上;若三次函数y=f(x)的两个极值点为x1,x2,设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则三次函数f(x)的对称中心是线段PQ的中点;通过引申更得出具有对称中心的单调函数的重要性质.这些性质在高考中广泛的应用.     

为何遗漏极值点?(高三)

用导数法求函数的极值,是求极值基本方法,在解决这类问题时,如果对法则、定理一知半解或理解不透,很容易造成极值点的遗漏.可导函数y=f(x)在某一点x_0处取得极值的必要条件是这一点x_0的导数f′(x_0)=0.因此求可导函数y=f(x)的极值可以按照下列步骤进行: ①先求函数y=f(x)的导数f′(x); ②令f′(x)=0求得根x_0; ③在x_0附近左右两侧判断f′(x_0)的符号,左正右负为极大值点,左负右正为极小值点.