三角形的五心及其应用

三角形的五心指的是外心、内心、重心、垂心、旁心,它们都是关于三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特色,掌握了它们的定义、重要性质及隐含特征,对熟练应用五心来证明某些几何题是很有帮助的。一、外心 1.定义:三角形的三条边的垂直平分线的交点(即三角形外接圆的圆心),称为三角形的外心。 2.重要性质:外心与三角形三个顶点地距离相等。 3.隐含特征: (1)三角形的三条边就是外接圆的弦; (2)外心与各顶点连线将三角形分成三个等腰三角形; (3)由外心向各边作垂线,平分各边且平分各边所对的弧; (4)外心与各边中点连线必垂直于各边; (5)三角形任一边的垂直平分线必过其外心; (6)三角形的外心可能在三角形内部、外部或边上(如下图)。     

多解出新题

在平面几何教学中,注意对某些几何题的一题多解的讨论,进而推出相关的系列新题,对于拓宽解题思路、扩大学生知识面,对于教师把握教材,都很有必要。例设点O、H分别为锐角三角形ABC的外心和垂心,OM⊥BC于M,则 OM=1/2AH。这是一道著名几何题,只要正确引导,适当发挥认知,便可得到多种证法。分析一:因三角形外心是三边中垂线交点,垂心是三条高的     

三角形的欧拉线

(本讲适合初中)任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,并且GOHG=12.这就是三角形的欧拉线的定义及性质.欧拉线是一条直线.掌握欧拉线性质须注意两点:(1)外心、重心、垂心三点共线;(2)定比1∶2.欧拉线的常用表示法有三种:(1)外心、垂心法,即欧拉线OH;(2)外心、重心法,即欧拉     

巧用三角形的外心解题

（本讲适合初中）三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,亦称为三角形的外心．有些平面几何问题,若能将其与外心联系起来,运用外心的性质,往往可以简便求解． 1知识简介 1．1外心的性质 性质1 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．     

三角形的外心和内心

全国高中数学联赛加试赛仅有三道解答题,其中就有一道是平面几何题．从历届竞赛情况看,在参加加试赛的选手中,如果在平面几何题上翻了车,则夺魁的希望将变得非常渺茫．数学竞赛中出现的平面几何问题,从内容上看可分为三类：一是与初中平面几何教材结合比较紧密的综合几何问题;二是与高中不等式内容相结合的几何不等式问题;三是几何与组合数学的交叉———组合几何．其中综合几何是联赛命题的热点,重点是与圆有关的命题．本文从三角形的外心和内心这个侧面出发,谈谈如何指导参赛选手解答综合几何问题．一、基础知识本文约定,△ＡＢ…     

三角形外心到垂心、重心、内心之间的距离

费赖登塔尔教授关于数学教育有这样一段论述:“再创造是研究数学教育的一个教学法原则,它应该贯穿于数学教育整个体系之中”,基于这一思想,笔者讲完:“直角三角形两锐角互为____;垂心在____;外心在____若它的重心到垂心的距离为6,则这斜边的长为____。”这道填空题(《数学教学通讯》九二年第一期44页习题四的第一题填空的三小题)后,改变思维角度,提出创造性遐想:直角三角形的外心到垂心的距离刚好等于它的外接圆半径,任意三角形的外心到垂心、重心、内心之间的距离能否用一个公式来表示呢?于是引导学生一起去探究发现:外心到垂心、重心、内心之间的距离能用比较和谐、协调的公式表示,下面就简单给出证明过程。     

例说三角形外心的定义及其向量表示

<正>三角形的外心是指三角形外接圆的圆心,它在高中教材上出现的次数并不多,因此学生往往不熟悉.本文从三角形的外心的定义和向量表示两方面入手,探寻解决相关三角形外心问题的办法.一、利用外心的定义解题例1如图1,在ABC中,O点是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则→AO·→BC=_____.     

三角形外心的性质及其应用

1　基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 .外心有如下一系列优美性质 :性质 1　三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 ;三角形的外心到三顶点的距离相等 ,反之亦然 .性质 2　设Ｏ为△ＡＢＣ的外心 ,则∠ＢＯＣ =2∠Ａ ,或∠ＢＯＣ =3 60° -2∠Ａ(还有两式 )     

巧用三角形的外心解题

<正>三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.有一类题目,使用三角形的外心可以简便求解.本文先介绍外心的有关知识,再举例说明外心在解题中的用法.一、外心的性质与判定1.外心的性质性质1三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.性质2设O是△ABC的外心.(1)若点O、C在直线AB的同侧,则∠ACB     

赏析“四心”点辍的圆锥曲线题

<正>三角形的“四心”指的是常见的重心、外心、内心和垂心，前三者在初中平面几何中占有重要的地位，它们的出现增加了几何题的难度.同样，解析几何首先是“几何”,所以用在圆锥曲线题中难度就有所增加，能很好考查学生的思维能力和计算能力等综合素养，也侧面反应出学生初中几何的功底.笔者略举数例，作一剖析，以拓宽读者解题思路.一、重心三角形三边中线相交于一点G,G叫做三角形的重心.三角形重心有以下性质：     

在平面几何教学中启发学生思维活动的尝试

平面几何是研究在一个平面内的图形性质、大小、位置关系的一门学科。在平面几何教学中,启迪学生思维,开发学生智力是激发学生学习兴趣,提高学习成绩的关键。 (1)精心设问,启发学生的思维活动。如在教“三角形分类”时,可先提出“三角形由三条边和三个角组成”,接着提出:“三边是三条线段”,那么这三条线段之间有几种不     

三角形中的共线点和共圆点

在初中平面几何中,已学过有关三角形的共线点有,三角形的三条高交于一点(垂心)、三条中线交于一点(重心)、三边的垂直平分线交于一点(外心)、三内角的平分线交于一点(内心)、一内角的角平分线与另二内角的外角平分线交于一点(傍心、计三个)。本文将再列出并证明几个共线点和共圆点。     

学习三角形的行列式面积公式的体会

现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。     

构造三角形中位线的技巧

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。这是三角形的一条很重要的性质,平面几何中常用它解决直线平行和线段倍分等问题。应用这个定理证题时,常要添置必要的辅助线来创设条件,沟通已知和结论间的关系。现将几种常见的辅助线作法介绍如下,供大家参考。     

构造三角形中位线的技巧

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.这是三角形的一条很重要的性质,平面几何中常用它解决直线平行和线段倍分等问题.应用这个定理证题时,常要添置必要的辅助线来创造条件,沟通已知和结论间的关系.现将几种常见的辅助线作法,介绍如下,供大家参考.     

向量应用的拓展教学

文章就向量应用的拓展教学进行讨论.包括:可利用向量法证明一系列平面几何的距离问题、垂直问题;用向量法证明三角形特殊点(重心、垂心、内心、外心)的存在性;向量法在代数问题的应用;给出向量在一些著名数学问题与定理上的应用.     

利用30°角构造三角形外心解题

笔者通过对近几年平面几何中含30°角(或能构造出30°角)的试题研究,发现很多试题可以用统一的解法解答,即本文所介绍的构造内角为30°的三角形的外心,再利用三角形外心的性质解决问题.     

48届IMO第四题的多种解法

48届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中的第四题是一道平面几何题,一般证法都要利用高中的三角知识,下面我们利用初中的全等三角形、相似三角形和正弦定理等知识给出几种简单而巧妙的证法.题目如下:     

球面上有限点组的欧拉线

在平面几何中，有这样一个定理：“三角形ABC的外心O、重心G、垂心H三心共线，且OG=1/3OH”。     

令人“纠结”的三角形外心

在高考复习过程中,三角形外心这个概念经常结合向量出现在小题中,学生常常感觉会了这个,换了一个又有点手无举措,其实只要我们及时总结,善于找到变式的原因,问题就能迎刃而解.首先我们给出外心的已知信息:定义三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点.