非良基集合的外延公理

近年来,由于非良基集合在人工智能、认知科学及哲学等领域都有很重要的应用,它的研究越来越受到人们的关注.判断两个对象的同一性是集合论中最基本的问题,然而,与良基集合不同的是,非良基集合难以找到其最基本的组成成分,这样通常的外延公理就无法判断两个非良基集合(例如x={x}和y={y})相等.为了找到判断两个非良基集合相等的标准,我们必须强化通常的外延公理.利用Aczel四种非良基公理(AFA,SAFA,FAFA和BAFA),我们推出了四种判断两个非良基集合相等的标准,并且举例说明对于给定的两个非良基集合,如何判断它们相等,从而解决"循环集合"相等的问题.此外,笔者进一步论证判断这四种非良基集合相等的标准是通常外延公理的扩张,而不是替代.为此,本文首先给出了集合和图的一些基本定义和结果;其次讨论了由四种非良基公理AFA,SAFA,FAFA和BAFA分别确定的四种集合全域A,S,F和B;最后,讨论了外延公理的扩张.     

基于互模拟的模态逻辑与非良基集合论之间的关系

首先介绍模态逻辑的两种语义:克里普克模型和非良基集合模型,表明这两种语义的相互可推演性,证明非良基模型,描述互模拟等价的克里普克模型类;接着,从模型的视角讨论集合上的互模拟与模态等价的关系;最后,运用互模拟和集合翻译等概念讨论非良基集合与模态逻辑的关系,证明:"一个集合论公式在集合上的互模拟下是不变的当且仅当它等价于一个模态公式的标准集合论翻译"。     

基于互模拟和有界互模拟的模态逻辑模型之间的关系

为了探索Kripke模型、非良基集合和知识结构之间的联系,引入了有界互模拟的概念。首先,在Kripke模型上定义了互模拟与有界互模拟,并给出了模态逻辑的非良基模型定义和知识结构模型定义,证明后两类模型分别表达了Kripke模型的互模拟类和有界互模拟类;其次,证明了有界互模拟怎样被无穷模态逻辑的特定部分所刻画和通过Ehrenfeucht游戏来刻画;最后,给出了一些学者在不同的情景下证明的一些结果,使用互模拟和有界互模拟概念证明它们之间的关系。     

集合与图

集合论是研究集合的数学理论,也是整个现代数学的基础。集合是集合论中最基本的对象。从集合的概念出发,描述集合论悖论的产生及解决方法,继而将集合区分为良基集和非良基集,探讨了用图来刻画集合的方法。考察集合和图的关系是探究非良基现象的一种有力工具,具有重要的理论意义。     

集合与图

集合论是研究集合的数学理论,也是整个现代数学的基础。集合是集合论中最基本的对象。从集合的概念出发,描述集合论悖论的产生及解决方法,继而将集合区分为良基集和非良基集,探讨了用图来刻画集合的方法。考察集合和图的关系是探究非良基现象的一种有力工具,具有重要的理论意义。     

集合相等的另一证明法

在集合理论中,证明两个集合相等是一个重要的内容,也是实际应用中经常遇到的一个问题。它繁琐的叙述以及抽象的思维想象,往往让人感到头疼,但应用命题逻辑中的一种构造真值表的方法,来构造集合成员表,应用二进制下的逻辑运算,可有效地解决这个问题。     

任勇数学教育文集三部之三:“微观卷”探索数学解题的奥秘(8) 有限数集的一个性质及应用举例

如果两个有限数集相等或一个有限数集有两种表示方法,那么,由集合相等的定义容易证得:①两个集合元素个数相等;②两个集合所有元素之和相等;③两个集合所有元素之积等.下面举例说明这个性质的应用.     

MALC模型间互模拟的代数结构

文[1]中给出模态描述逻辑MALC的语法与语义,同时给出MALC两个模型之间的互模拟关系,讨论MALC的模型之间互模拟及互模拟所组成集合具有的代数性质。     

良好构成的图及其应用

结合集合论中的良基定理,建立了良好构成的图的概念,利用图的知识来得到良基定理的等价定理,是图论在集合中的一个应用。     

简易逻辑中的典型错题剖析

例1已知命题p：方程x~2-3x-4=0有两个相等的实根．写出非p形式的复合命题．错解：方程x~2-3x-4=0有两个不相等的实根．剖析：解决本题需准确理解“非”的含义,逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集．假若命题p与非p的结论所确立的集合分别为A和B,则A、B必须满足A∪B=U(全集),A∩B=(?),非p的结论应包含p的结论的所有对立面．由于实系数一元二次方程的解的情况有三种,任何一种的否定应包含另外的两种,所以p的对立面是“方程x~3-3x-4=0有两个不相等的实根或无实根”．在写非p形式的复合命题时,应该使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．     

良好构成的图及其应用

结合集合论中的良基定理,建立了良好构成的图的概念,利用图的知识来得到良基定理的等价定理,是图论在集合中的一个应用.     

注意元素性质 正确解集合题

在讲集合概念时,介绍了元素的性质,即元素的确定性、互异性、无序性,学生对这些性质记得住、背得过,就是不会用,为了帮助学生解决这些问题,本文通过例题加以说明,使学生“注意元素性质,正确解集合题”. 例1 已知集合{1,a,b}={a,a2,ab},求实数a、b的值. 解:∵{1,a,b}={a,a2,ab},由集合相等的定义,得     

例谈应用相等且有限的数集的性质

由集合相等的定义容易知道,两个相等且有限的数集具有如下性质:两个集合的元素之和相等,元素之积相等,元素个数相等.下面举例说明这个性质的应用     

巧用集合相等的性质解题

由集合相等的定义易知,相等的两个有限数集具有性质:两个集合的元素之和相等,元素之积相等.下面浅举几例说明它的应用.     

集合知识教学的几点体会

集合概念是数学最基本的概念,具有高度的统一性和概括性。学好集合知识要具备较强的抽象概括能力及严密的逻辑推理能力。高一学生往往会因为学习方法思维方式的不适应,对集合的概念缺乏深刻的理解,解题中考虑不周的现象屡见不鲜,或者对给出的集合表达式不能转化成相关的数学知识而使解题半途而废。针对学生的薄弱环节,本人在教学中注意解决好以下几个问题,收到了较为满意的效果。一、强调元素的互异性集合中的元素是互异的,集合中的元素没有重复现象,学生在接受知识的过程中承认这种理论的     

如何学好《实变函数》

《实变函数》是高师数学教育专业必考课程中抽象度较高,自学难度较大的一门课。为学好该学科,考生应在深透理解概念及定理方面下功夫,且学会解决难题的思考路径。一、集合、点集１、集合的概念及运算重点是证集合相等。常用的方法有：①定义（证互相包含）,此方法适用于一切集合恒等式的证明;②利用已知集合恒等式,特别是Ａ－Ｂ＝Ａ∩ＣＢ;③德·摩根定理。例１：设Ｓ、Ａｎ（ｎ＝１,２,…）均为集合,证明Ｃｓ（∩∞ｎ＝１Ａｎ）＝∪∞ｎ＝１ＣｓＡｎ分析：此题是德·摩根公式在可列个交运算上的推广,属较难的一种集合相等表达式…     

学集合，此三处易错

1．元素的互异性 集合中的元素有互异性,在具体问题中容易被忽略．解题时要注意集合中元素的三个特征（确定性、互异性、无序性）,清楚互异性的判断（即一个集合中的任意两个元素应该是不同的,相同的元素在构成集合时只能作为一个元素出现）．     

注意“隐含条件”，正确解答集合问题

有关集合的问题 ,是高考中考察学生能力的一个重点 ,也是高中阶段数学教学中的一个难点 ,在解决集合的问题时 ,往往容易忽略集合中元素所具有的特性 ,或忽略集合的运算中的相关规定 ,造成解题的错误 ,因此 ,在解决集合的有关问题时 ,要充分利用已知条件和题目中所隐含的条件 ,从而达到正确解答集合问题的目的 .下面将解决集合问题的过程中容易忽略的“隐含条件”点击如下 :一、集合中元素的“互异性”集合中元素的互异性是集合的重要属性 ,可是 ,在解题过程中 ,集合元素的互异性常被一些同学忽视 ,从而导致解题失败 .【例 1】　若A ={2 ,4,…     

对一道数学填空题的研究性学习

随着新课程标准的实施,高中数学教学不仅要注重基础知识、基本技能、基本思想方法,而且要注意高等数学的一些思想对高中数学的指导作用.本文以一道填空题为例,讨论了运用高等数学中的勒贝格集合理论解决高中数学中的一个无限集的真子集与无限集本身"相等"的映射问题.     

《集合》学习指导

一、知识要点和学习要求1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集、全集和属于、包含、相等关系的意义;掌握有关术语和符号,能正确地表示集合。2.掌握绝对值不等式和一元二次不等式的解法,并能就其解集的几何意义进行解释。二、学习指导1.集合的元素具有确定性、互异性、无序性等三性,即给定一个集合,可确定任一元素或者属于或者不属于这个集合;集合的元素两两互异并且无序。这些性质是解题的依据,应牢固掌握。