四点共圆及其应用初步

学生熟练掌握四点共图的知识,能开阔思路,提高解题技巧.     

应用“四点共圆”解题举例

“四点共圆”是平面几何中的重点内容，它在几何中的应用广泛．应用四点共圆解题，引辅助线是关键．因此，在教学中，引导学生通过引辅助线，应用四点共圆解题，对开阔学生解题思路，提高解题能力十分有益．     

四点共圆的判定及其应用

主要讨论了四点共圆的判定问题,给出了几个判定定理,并相应地得出了证明四点共圆的几种证法,最后给出了判定四点共圆的几个应用实例.     

四点共圆的应用

四点共圆的判定（如图,证明从略）：定理1对角互补的四边形内接于圆．即180°,则A、B、C、D共圆．定理2外角等于内对角的四边形内接于圆．即,则A、B、C、D共圆．定理3同底同侧张等角四点共圆．即,且都在△ABC和△ABD的公共边AB的同侧,则A、B、C、D共圆．定理4割线定理逆定理．即PA·PB=PD·PC,则A、B、C、D共圆．定理5相交弦定理逆定理．即MA·MC=MB·MD,则A、B、C、D共圆．四点共圆在几何证题中可以起到杠杆与桥梁的作用,它的应用可以扩展到各类题型．1．证两线段相等例1已知,在bABC中,／BAC一90”,AD上B…     

四点共圆的一个必要条件及其应用

本文介绍四点共圆的一个必要条件,并证明:如图3,设匕且O刀二a,j一公例1对其在平几证题中的应用作一初步的探讨.得: 定理若P,A,B,C为00上的顺次四点,乙ApB二a,乙BPC=刀,那么 尸Asin夕十PCsina二尸Bsin(a 夕). 证明:如图1,连结AB,BC,CA,;一杰之\厂了臂_/介丫“_、}厂\飞‘(了务杆     

四点共圆问题

(本讲适合初中) “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路。判定“四点共圆”的方法,用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种(即P89定理和P93例3),由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用。     

四点共圆问题

“四点共圆”是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有两种形式：     

“探究四点共圆的条件”课堂实录

<正>本文展示华中师大一附中初中部与其北京朝阳分校的一节交流公开课.本课由"线段的垂直平分线"的学习内容类比学习"圆",让学生感受几何学习中由定义到性质,最后研究判定的研究方法,注重培养学生自主学习几何的能力.现将这节课的几个教学环节介绍如下,与同行们分享交流.环节1 创设情境,发现问题师:同学们好,相信这是一节愉快又有收获的数学课.在前面的学习中,我们学习了经过一点A可以作无数个圆;经过两个点A、B可以作无数个圆;     

四点共圆的证明及应用

1．四点共圆的证明方法 (1)四个点到某一定点距离相等例1 如图1,K为△ABC内任一点,在△ABC 内作三条线段AL、BM、 CN,使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL= AK,BM=BK,CN=CK．求证K、L、M、N四点共圆．     

四点共圆的又一判定定理及其应用

<正>定理如图1,AZ是∠XAY的平分线,B,C,D分别是AX,AZ,AY上的点,且满足AB≠AD,CB=CD,则A,B,C,D四点共圆.证明因为AB≠AD,不妨设AB>AD,不失一般性.在AB上截取AE=AD,连结EC(如图1).因为AZ是∠XAY的平分线,所以△AEC≌△ADC(SAS),所以∠AEC=∠ADC,CE=CD.因为CB=CD,所以CE=CB所以∠CEB     

如何证四点共圆

四点共圆是《圆》一章的重要内容,在几何中应用较为广泛.如共圆呢?这里给同学们介绍五种方法.第一,利用圆的定义:即到一定点距离相等的各点共圆.例1如图1,试证明菱形ABCD各边中点E、F、G、H四圆.思路和证明:应用定义,去证OE=OF=OG=OH.这很容到,所以E、F、G、H共圆.第二,若两个(或多个)直角三角形共斜边,则各顶点.例2已知:如图2,AB和AC与⊙O相切于B、C,P是上一点,且PE⊥AB于E,PD⊥BC于D,PF⊥AC于F,求PD2=PE·PF.思路和证明:欲证PD2=PE·PF,即证PDPF=PEPD,只需证△PFDE.由于这里证边成比例比较困难,因而转证对应角…     

四点共圆的充要条件

定理1 设有二次曲线f_i:A_ix~2 B_ixy C_iy~2 D_ix E_iy F_i=0(i=1,2)。如果f_1与f_2有四个交点,则这四点共圆的充要条件是:     

四点共圆的充要条件

本文给出两条二次曲线,两条直线与一条二次曲线,四条直线的四个交点共圆的充要条件。 定理1 设二次曲线 f_i:A_ix~2 B_ixy C_iy~2 D_ix E_iy F_i=0(i=1,2)。若f_1,f_2有四个交点,则这四点共圆的充要条件     

四点共圆判定初探

四点共圆判断定理的证则,教材采用了反证法,虽然思路简单,但几何第二册P_(89)页判定定理、P_(92)页例3判定定理两者证明没有因果关系,若不考虑向学生传授反证法的概念,证明的三个步骤,则四点共圆的判定定理也可以用以下方法证明,且顺序可以改变。引理如果三角形任意一边的一个端点引射线,所成角度与这边所对的角相等,并且在这边的两侧,那么这边的中垂线与过该端点且垂直于射线的直线的交点是这个三角形的外心。已知:如图1,在△ABC中,MN是AB的中垂线,∠ABE=∠C,∠ABE、∠C是AB边的两侧,OB⊥BE交MN于点O.     

漫游四点共圆王国

解答平面几何问题的最为重要一步就是适当添加辅助线——直线或直线段,由此引发应有的几何联想,达到解决问题的目的,这是人所共知的事实,然而,仅有此还是不够的,有些复杂问题仅靠添加直线或直线段还不能解决问题,还需要构造一些非常规的几何图形——如圆内接四边形等。构造这种图形的优点是:可将看似毫不相关的信息联系起来构成定量关系,架起已知通向未知的金桥,形成思维的自然飞跃,促成问题的快速解决,这是近期笔者在做题时得到的一点儿体会,不妨称此法为“四点共圆模型”,现写出来与大家交流。     

四点共圆六法

四点共圆,不但可将与这四点相联系的条件集中或转移,而且可直接运用圆的性质解题．下面分六种情况举例说明． 1．若以某两点为端点的线段为直径,而其余两点对这条线段的视角均为直角,则这四点共圆．     

话说四点共圆问题

<正>四点共圆是解决平面几何问题的一种重要方法,四点共圆问题是数学竞赛中的常见试题.这类问题的出现,一般有两种形式:一是以四点共圆为证题的目的;二是以四点共圆为解题的手段.四点共圆的判定,有以下四种常用方法.1.若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形内接于圆.即对角互补,四点共圆.     

话说四点共圆问题

四点共圆是解决平面几何问题的一种重要方法,四点共圆问题是数学竞赛中的常见试题．这类问题的出现,一般有两种形式：一是以四点共圆为证题的目的;二是以四点共圆为解题的手段．     

“五点共圆”趣话

据《广州日报》报道,2001年元旦前夕,原国家主席江泽民给澳门濠江中学写了一封亲笔信.信中说“:12月20日在濠江中学参观时,曾即席提出‘五点共圆’几何题一道,本拟回京后寄去参考答案,由于事忙,未及函复正拟回信时,接到经由中央驻澳联络办转来的信件及杨万忍等四位老师的证题手稿.对他们从不同思路得出解答,不胜欣慰……随信附上原欲寄出的解答,请参阅.”江主席信中提到的“五点共圆”问题,是他读中学时解过的一道几何难题:在任意五角星的五个角上分别作三角形的外接圆,求证:这五个外接圆于五角星外的五个交点共圆.事实上,早在1993年,江主席…     

四点共圆在平几证明中的应用

在平面几何中，借助四点共圆的性质可以解决角相等、线段成比例、线段相等等方面的问题．现略举数例加以说明．