x+y=k型问题的几种解法

一、分式代换法由x、y∈R~+,x+y=1,可设x=(m/m+n),y=(n/m+n),m、n∈R~+,从而实现了分式法解题。例1 已知x,y均大于零,且x+y=1,求证(1+(1/x))(1+(1/y)≥9。证明设x=(m/m+n),y=(n/m+n),m,n∈R~+,则(1+(1/x))(1+(1/y))=(1+(m+n/m))(1+(m+n/n))=(2+(n/m))(2+(m/n))=5+2((n/m)+(m/n))≥9。当且仅当(n/m)=(m/n),即x=y=1/2时取等号     

应用理想气体状态方程的关键是要善于对比

众所周知，理想气体状态方程为pV=nRT．当气体1与气体2的T、p相同时，由pV=nRT可对比推出关系式V1/V2=n1/n2；T、V相同时可推出P1/P2=n1/n2．结合n=m/M、ρ=m/V还可推论出许多有用的关系式．     

判别式巧解一类最值问题例析

引例若正实数m,n满足m+2n=3mn,求m+n的最小值解析:(法一)从数的角度思考,多以不等式相关知识求解,由题易得1/n+2/m=3,∴ m+n=1/3(1/n+2/m)(m+n)=1/3(m/n+1+2+2n/m),由基本不等式得m+n≥1/3(3+2√m/n·2n/m)=1+2√2/3(当且仅当m/n=2n/m时取等号).     

分式拆项技巧归纳

学习了分式的加减运算,我们可以验证以下等式的正确性,即m+n/mn=1/n+1/m,1/n（n+1）=1/n-1/n+1,m/n（n+m）=1/n-1/n+m,2/n（n+1）（n+2）=1/n（n+1）-1/（n+1）（n+2）,n/2ⁿ=2（n+1）-（n+2）/2ⁿ=n+1/2^n-1-n+2/2ⁿ.熟练运用以上恒等式及平方差公     

调和级数中的数学竞赛问题

(本讲适合高中)1 引言 我们称级数H(1,n)=1 1/2 1/3 … 1/n为调和级数,或者更一般地,称级数H(m,n)=1/m (1/m 1) … 1/n为调和级数(以下如果未加特别声     

迭加法应用数例

迭加法又名错位相消法,它常用于解决数列中的某些问题。应用此法解题的优点,不仅简洁、明快,而且易于推广。举例如下: [例1] 求证:1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3n(n 1)(n 2)。(高中代数第二册P73练习.1.) 证:令b_m=m(m 1)(m 2),则b_m-b_(m-1)=3m(m 1), 令m=1、2,…、n得n个等式,并把这n个等式两边分别相加,得 b_n-b_0=3[1·2 2·3 3·4 … n(n 1)]。∴ 1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3(b_n-b_0)=1/3n(n 1)(n 2)。若令b_m=m(m 1)     

谈一类高考题的另一种解法

放缩法证明不等式是两考自命题看青睐的方法之一,放缩的方法很多,其中由真分数性质(即b/ab)可得n-1/nn+1/n(n≥2,n∈N*)就可以运用放缩法证明不等式.     

2008年浙江省高中数学竞赛第15题证法小议

2008年浙江省高中数学竞赛试题第15题有2个小题，其中第（1）小题是： 设非负等差数列{an}的公差d≠0，记Sn为数列{an}的前n项和．证明：若m，n，p∈N^＊，且m＋n=2p，则1/Sm＋1/Sn≥2/Sp.     

关于平方根整数部分的一个恒等式的推广

设a,b都是正整数.本文证明了:对不小于b+2/2的正整数m,n,若f(n)=[1/2((a+n2-b)～(1/2))]+[1/2(a-n)],g(m)=[1/2(a-((m2-b)～(1/2))]+[1/2(a+m)],则必有f(n)=g(m).     

有趣的老大哥分数

大家知道,形如m/n(n不等于零,n、m为自然数)的数叫分数, 而且当n>m时,m/n叫做真分数。如1/9、2/9、3/9、4/9、5/9、6/9、7/9、8/9,都是真分数。观察8个真分数,显然有百1/9<2/9<3/9<     

截距式直线方程的两个性质

性质1设点P（m,n）是第一象限内的定点,直线l:x/a+y/b=1过点P（m,n）,且截距a,b均大于零,则（1）当b/a=（n/m）^1/2时,a+b有最小值m+n+ 2（mn）^1/2;（2）当b/a=n/m时,ab有最小值4mn.     

等比性质的灵活应用

如果a/b=c/d=…=m/n(b d … n≠0),，那么(a c … m)/(b d … n)=1/b=…=m/n．这就是我们熟知的等比性质，它是比例的一条重要性质，在数学解题中有着广泛的应用．证明该性质所采用的等值设参法，也是一种重要的解题方法．在应用等比性质解题时，要注意性质成立的条件和性质的灵活运用．     

概率计算中常见错误的剖析

一、忽视审题 例1曲线C的方程为x2/m2+y2/n2=1,其中m、n∈{1,2,3,4,5,6}事件A={方程x2/m2+y2/n2=1表示焦点在x轴上有椭圆},那么P(A)=____.     

关于表真分数为三个单位分数之和

本文首先讨论了不定方程m/n=1/x 1/y的解法,然后利用其结果给出了不定方程m/n=1/x 1/y 1/z的解法,从而彻底解决了将一个已知的既约真分数m/n表为三个单位分数之和的问题(判定m/n能否表为三个单位分数之和,若能表,求出其所有表达式),举出了计算实例,最后证明了:当1相似文献   

一种场站设置问题的探讨

设n个点A1，A2，…，An∈R^m，记μm=(∑1≤i，j≤n|AiAj|）/mini≠j1≤i，j≤n|AiAj|，求inμn^m的值则是组合几何中的一个困难问题。本文给出infμm 1^、infμn^1的值等，提出几个猜想。     

由勾股定理想到的

由勾股定理可知,两个面积分别为m和n的正方形通过剪切后,可以拼接成一个新正方形（不重叠,无间隙.下同）,新正方形的边长为（m+n）^1/2;三个面积分别为m,n和p的正方形可以先把面积分别为m,n的两个正方形剪切、拼接为一个边长为m+n的正方形,再把面积分别为m+n和p的正方形剪切、拼接成一个新正方形,这个新正方形的边长为、（m+n+p）^1/2;进而,面     

妙趣横生的年号——1985

在1985年新年之际，特拟几道与“1985”这个数值有关的趣味数学题，供广大数学爱好者节日助兴之用。1．试证：(1 (1985)~(1/2))~(2000)-(1-(1985)~(1/2))~(2000)/(1985)~(1/2)是整数。2．不解方程，证明x~2-1985x 1985=0无整数解。3．已知m≠0，n≠0，解方程m~2x-[(m/n)~(1985) (n/m)~(1985)]m~xn~x     

巧用换元法 解题建奇功

一、代数增量换元例1 若a>b>c求证:(1/(a-b))+(1/(b-c))≥(4/(a-c)) 分析:若各字母间有明确的大小关系,可设它们的差为一个数,从而把实数问题转化为正实数问题. 证明:设a-b=m,b-c=n(m、n∈R),则a-c=m+n. 问题转化为证明:1/m+1/n≥4/(m+n).     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

简化解析几何运算的几种常用方法技巧

<正>1.巧设巧求例1求以坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和B(1/2,3(1/2))的椭圆的标准方程.解:设所求椭圆的方程为x2/m+y2/n=1(m>0,n>0).∵椭圆过A(0,2)、B(1/2,3(1/2)),∵{0/m+4/n=1,1/4m+3/n=1,解得{m=1