应用比例证明线段相等

在证明线段相等的问题中,有些问题靠几何图形的性质和等量代换等方法是不能奏效的,这时我们可以考虑利用线段比例的方法来证明两线段相等。这种方法的原理很好理解:在a/c=b/d中,如果c=d,那么a=b。根据这一原理,要想证明线段a=6,关键有两     

相似形与解直角三角形知识及应用

一、比例线段与平行线分线段成比例 (一)知识要点 1.比例线段 (1)在两条线段的比a:b中,＿＿叫做比的前项,＿＿叫做比的后项. (2)在四条线段中,如果其中两条线段的比＿＿另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. (3)若a:b=c:d,则a,d叫做＿＿项,b,c叫做＿＿项,d叫做a,b,c的第＿＿比例项.特别地,当比例的两个内项相等,即a:b=b:c时,则b叫做a和c的＿＿.     

浅谈“a±b=c”型题的证法

证明两条线段的和(差可以转化成和)等于另一条线段,是课本和许多资料中常常遇到的一种题型,这类题型也是同学们感觉特别头痛的.下面.谈谈“一分为二”和“合二为一”两种证法在解有关题目中的应用.一、一分为二法1.如果长线段是由两条线段组成,那么可以证明这两条线段与欲证结论所含的两条短线段分别相等(c=d e,d=a,e=b,则c=n b). 2.如果长线段不是由两条线段组成.那么把长线段分成两条线段,证明分成的两条线段分别和两条短线段相等.分长线段的方法是:①在     

如何证两条线段的和等于一条线段

在平面几何中,要证线段a与线段b的和等于线段c,一般用接、截法。接法就是设法把a、b接在一起变成一条线段d,使d=c,则a+b=c;截法就是设法把c-a变成一条线段d,使d=b,则a+b=c。这就是我们常说的:要证线段和与差,无非接法或截法。下面以课本中的习题为例加以说明:     

证明线段相等的新方法——比例式法

本文介绍证明线段相等的新方法——比例式法.用比例式法证明线段相等有以下几种类型:一、要证线段a=b,可先证a/b=b/a例1 已知:从△ABC的AB边上一点P作PQ//BC,交AC于Q;从Q作QR//AB,交BC于R;从R作CA的平行线,恰好过P点.求证:P是AB的中点.分析 如图1,要证AP=PB,可从关于AP、PB的比例式着手.由PQ//BC,PR//AC知道AP:PB=AQ:QC,PB:PA=BR:RC.而QR//AB,则AQ:QC=BR:RC,故得AP:PB=PB:AP.∴AP=PB.即P是AB的中点.     

几何比例问题的证明方法

1.a∶ b=c∶ d型这类比例式一般分两种情况 , .成比例线段的前项和后项在一条直线上。即在 a∶ b=c∶ d中 ,a、b在一条直线上 ,c、d在一条直线上。它的证题方法是用平行线分线段成比例定理及其推论证明。 .成比例的线段的前项和后项不在同一直线上。它的证题方法是找两个角相等的相似三角形。例 1.如图 :由△ ABC中 BC边的中点 D引直线交 AC及 BA的延长线交于 E、F。求证 :EA∶ EC=FA∶ FB。分析 :若过 A点作 AG∥ BC交 FD于 G点。则易知 FA∶ FB=AG∶ BD=AG∶ DC=AE∶ EC。2 .an∶ bn=c∶ d型欲证等式 an∶ bn=c∶ d形…     

一道几何题的多种证法

对于几何证明题,若能根据已知、求证、结合所给图形的特征(数字、关系、结构),通过分析、思考,适当的添置辅助线,则能形成证题思路,下面举例说明.例已知:AB∥CD,EB、EC分别为∠ABC和∠DCB的角平分线.求证:BC=AB DC思路分析:对于形如a=b c的结论,可运用截长补短法证,即在较长的线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩下的线段与另一条线段相等.或延长(补全)较短的一边使其与最长的线段相等,再证所延长的线段与另外一条相等.证法一:在线段BC上截取BK=BA,连接EK.∵EB、EC分别为∠ABC和∠DCB的角平分线,∴∠ABE=∠K…     

相似形与解直角三角形的应用

(一)复习要点 1.比例线段 (1)在两条线段的比a:b中,a叫做比的__项,b叫做比的__项. (2)在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做__线段. (3)如果a:b=c:d,那么__、__叫做比例外项,__、__叫做比例内项,d叫做a、b、c的第__比例项. (4)如果a:b=b:c那么线段b叫做线段a、c的__.     

数学奥林匹克初中训练题（126）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.设a、b、c、p是不全相等的实数,且a+1/b=b+1/c=c+1/a=p. 则a2b2c2=( ). (A)-p (B)p (C)p2     

复数相等的定义在证题中的应用

现行高中数学教材中已经规定,两个复数a+bi与c+di相等当且仅当它们的实部和虚部都相等,即a+bi=c+dia=c,b=d.a+bi=0a=b=0.(α、b、c、d∈R)但课本上利用复数相等定义证题的例题没有,有关练习题也比较少.下面几道题在证明过程中都运用了这一概念,作为补充,仅供参考.     

分类探析运用比例线段解题

<正>我们知道,如果四条线段a,b,c,d满足a/b=c/d(即ad=bc),那么这四条线段是成比例线段,简称比例线段,此时也称这四条线段成比例.在解题时,如能发现图形中的比例线段,或根据图形适时构造出比例线段,就会顿生思路,使问题迎刃而解,现举例如下:一、求一条线段的长     

用公比过渡证等积式一例

在利用相似三角形的性质,求证在同一直线上的四条线段a、b、c、d的两两积相等时,无论怎样写成比例式去找相似三角形都不可能获得成功,且题意给出的条件又无相等线段可替换时,可根据图形性质引进两线段x,y,使a:b=x:y,c:d=x:y,则可得:a:b=c:d,而证得ad=bc。我们称x:y是a:b与c:d的公比。请看下例。     

应用凑比法证明形如b/a=c~2/d~2的等式

形如b/a=c~2/b~2(a、b、c、d表示线段)的比例的证明,同学们常感到棘手,本文举例说明说它的一种证明方法—凑比法。其思路是将b/a凑成b/x·x/a,若待定线段x使得b/x=c/d且x/a=c/d,则b/a=b/x·x/a=c~2/d~2。例1 如图1,自⊙O外一点P作⊙O的切线PA,过P作割线PCB,求证:PB/PC=(AB)~2/(AC)~2 分析:设PB/PC=PB/x·x/PC(x为待定线段),先证明PB/x=AB/Ac,由此确定出x,再证明     

应用等比定理要注意条件

等比定理“b/a=c/d=…=m/n(?)(a c … m)/(b d … n)=a/b”是平几里成比例的线段一节的定理。其中字母 a、b、c、d、…m、n 都表示线段,属正实数,和式“a c … m”与“b d … n”也表示线段,亦为正实数。如果我们将定理中各元素所属范围加以扩充,不难证明:当 a、b、c、d、…m、n 及 a c … m,b d … n 均为非零实数时,定理依然成立。这样,定理便可广泛应     

解一类几何题的技巧

中学几何中,有一类关于证明1/a 1/b=t/c型线段关系式的题目,这类问题的解决,一般地归结为寻求c/a和c/b的具有公分母的“第三比例式”,这里再介绍两种方法。 一、将1/a 1/b=t/c型化为e/f=h/g型解决(其中a,b,c,t,e,f,h,g都是线段) 例1.BF是△ABC中∠ABC的平分线,过F作EF∥BC交AB于E,则1/AB 1/BC=1/BE。     

型如a/b±c/d=N的一种几何证法

关于a/b±c/d=N(a、b、c、d表示线段,N是常数)类型的几何命题,在现行教材中占有一定的份量。而教材并没有专门的章节对其证法进行阐述,致使学生对此类问题感到束手无策。其实,我们可将a/b±c/d=N类型的几何题转化为常见的诸如a′/b=c′/d一类的几何命题,然后用相似形等知识即可达到欲证的目的。为节省篇幅,本文仅给出命题的分析。例1 过(?)ABCD的顶点D作一直线,与边BC相交于M点,与边AB的延长线相交于N点,求证 BC/BM-AB/BN=1(图1)。课本p.233.14题) 分析:即证BC/BM=1 AB/BN=(BN AB)/BN=AN/BN 因BC=AD,所以只须证AD/BM=AN/BN这是显然     

一道联赛题的推广

题1 已知实数a、b、c、d互不相等，且n＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=x．     

用压缩变换解决某些椭圆问题

我们知道,图形经过变换 x=x′,y=(a/b)y′(a>b>0)后:①点与线的结合关系不变;②直线的平行关系不变;③多边形面积变为原来的 a/b;④共线相等的线段仍变为共线相等的线段.     

线段a+b=c的证明

在初中平面几何中经常遇到证明线段“a+b=c”的问题.对于这一类问题一般有两种思考方法:(1)加长法.将线段 a(或 b)延长,使延长的线段等于 b(或 a),再设法证明延长后的整体线段等于 c;(2)截短法.在线段 c 上截取一段等于 a,再设法证明剩余的     

一个代数问题的三角推广

贵刊2002年第4期<一个问题的简证和推广>一文给出了如下问题的证明及推广: 设a,b,c,d都是正数,且c+d=1,c2/a+d2/b=1/a+b、求证c4/a3+d4/b3=1/(a+b)3. 下面介绍一种引入辅助变量的证明方法,然后根据条件的实质作三角推广.