椭圆外切矩形的性质

对于给定一个椭圆,其外切矩形有无数多个。本文讨论椭圆外切矩形面积、边长、周长的最值问题以及外切正方形的存在性问题。不失一般性,可设椭圆的方程为定理一椭圆的任一外切矩形内接于圆证明设椭圆外切矩形为ＡＢＣＤ,如果矩形的边平行于坐标轴,那么显然ＡＢＣＤ内接于圆如果矩形的边不平行于坐标轴,设ＡＢ的斜率为ｋ,那么ＡＤ的斜率为。１／ｋ,因此四条切线的方程即（１）２这说明矩形的四个顶点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均在ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上。证毕。定理一椭圆有唯一的外切正方形,其四个顶点为证明显然边平行于坐标轴的矩形不是正…     

椭圆和双曲线切线的又一个有趣性质

本刊[1]介绍了椭圆和双曲线切线的一个有趣性质与应用．在其启示下，笔作了进一步的研究，又得到一个更有趣的性质，现说明如下，供同行参考．     

高斯作椭圆的切线引起的思索

一、三位数学家作椭圆切线的三种方法怎样从椭圆外一点作椭圆的切线呢？有一次大数学家高斯的朋友舒马赫给他写信,说明了数学家勒姆柯尔关于过椭圆外一点,引椭圆切线的方法．勒姆柯尔首先过点Ｐ引四条割线ＰＡｉＢｉ（ｉ＝１,２,３,４）,且Ａ１Ｂ２∩Ａ２Ｂ１＝Ｃ,...     

椭圆平行切线的性质及应用

已知斜率为m的椭圆切线有两条。这两条平行切线除了具有一般椭圆切线的性质以外,还具有一些特殊的性质。运用这些性质可以很方便地解决有关实际问题。设椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1则有性质1:椭圆的斜率为m的两切线方程为:y=mx±(m~2a~2+b~2)~(1/2)其间距离为 d=(m~a~2+b~2)~(1/2)/m~2+1~(1/2) 性质2:椭圆两切线平行的充分必要条件是二切点关于椭圆中心对称。性质3:椭圆的任一焦点到两平行切线     

巧解直线与圆锥曲线的相切问题

我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 :　　　　ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2…     

椭圆的两个新性质及其证明

定理 1　如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明　当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 　 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2…     

双曲线两弦端点处切线的两个有趣性质

文[1]给出了椭圆两弦端点处切线的两个有趣性质,作为文[1]的补充,本文给出双曲线在两弦端点处切线的两个有趣性质．     

描绘圆锥曲线及其切线的联接器

本文介绍描绘椭圆、双曲线、抛物线及其切线的三种联接器。它们在教学上有一定的实用价值,也富有兴趣。一、画椭圆及其切线的联接器联六根棒,其中四根长度相同,设为Ｌ,棒五长略大于２Ｌ,棒六长可取等于Ｌ,设为２ａ,按图１装置。图１中Ｆ１、Ｆ２是两个定点（椭圆焦点）。线段Ｆ１Ｆ２小于２ａ。在以上条件下,让联接器自由运动。当图１中的点Ａ以Ｆ１为圆心,以Ｆ１Ａ（即２ａ）为半径描出圆弧时,菱形Ｆ２ＢＡＣ不断变形并绕Ｆ２动,其对角线ＢＣ与Ｆ１Ａ的交点Ｍ就画出一个椭圆。椭圆的焦点为Ｆ１Ｆ２、长轴等于２ａ。如图２,由图…     

有心圆锥曲线切线的一个性质

正笔者在利用几何画板研究有心圆锥曲线的切线时发现一个简洁有趣的性质,现介绍如下:命题1自圆C_1:x~2+y~2=a~2+b~2上任一点P向椭圆C_2:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a,b0)引两条切线,则这两条切线互相垂直.证明:设P点的坐标为(x_0,y_0),自这一点向椭圆C_2引的两切线分别为l_1和l_2.(1)当切线的斜率存在且不为0时,设过P的切线方程为y-y_0=k(x-x_0),由y-y_0=k(x-x_0),x~2/a~2+y~2/b~2=1得(b~2+k~2a~2)x~2+     

圆锥曲线与同系数直线之缘

笔者在用GeoGebra仿真直线与圆锥曲线相交问题时发现一个有趣的现象,当直线与圆锥曲线同系数时,相交弦中点始终在同一条直线上,然后用两种方法证明了该现象的正确性.受证明方法的启发,借助极限思想发现圆锥曲线在其任一点切线方程的斜率与同系数直线的斜率存在着关系,并推导出两个相关结论.最后用本文的结论推导验证了椭圆和双曲线关于切线的两个性质.     

对圆与椭圆相互关联的深入探究

本文从课本知识出发，以数形结合为主要思想方法，引领学生思考、探究圆与椭圆的关联，联系方程形式与几何性质，结合代数方法与几何方法，推导圆与椭圆的切线方程和弦长.     

圆锥曲线中一个有趣结论的探究

椭圆、双曲线和抛物线等三种圆锥曲线之间有着密切的关系，它们在定义、标准方程、简单几何性质等方面有相似或相同的结论．笔者在高三复习时遇到一个有关椭圆的问题，经过师生共同探究，发现了圆锥曲线一个有趣的结论．     

圆锥曲线过准线上一点的切线的两个性质

正笔者在研究过圆锥曲线的准线上一点作圆锥曲线的切线时,得到两个性质.性质1已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ的两条切线PA,PB,A、B为切点,则直线AB过焦点F.当曲线Γ为椭圆时,如图1,不妨设椭圆的标准方程为     

抛物线两弦端点处切线交点的两个有趣性质

文[1]给出了椭圆两弦端点处切线的两个有趣性质,作为文[1]的补充,文[2]给出了双曲线两弦端点处切线的两个有趣性质.作为文[1]和文[2]的又一补充,本文给出抛物线在两弦端点处切线的两个有趣性质.     

巧求圆、椭圆、双曲线方程又一法

当已知圆或椭圆或双曲线的切线时，求圆或椭圆或双曲线的方程，有时颇感不便．笔在教学实践中总结出这样一个结论：     

椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质

在对圆锥曲线的研究中,笔者得到了关于椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质,介绍如下,以飨读者.图1性质1给定椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),O为E的中心,F是E的一个焦点,l是过E上任意一点P所引的切线,F在l上的射影为Q,则OQ=a.     

圆的两个有趣性质

圆的两个有趣性质徽县一中李宗奇性质１过圆上任一点作圆的外切正方形两邻边的平行线，交较近两边得到一个矩形，交过切点的内接正方形所对边得到一个三角形。那么这个矩形与三角形的面积总相等。证明：如图（１），设的方程为，为上一点，ａ＞０，ｂ＞０，则∵直线ＡＢ的...     

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…     

专题4 直线与圆锥曲线初步（含圆内容）

【考点概揽】 圆锥曲线第一、第二定义,圆锥曲线的几何性质,圆锥曲线的离心率及相关结构参量,椭圆、圆参数方程及其应用,圆锥曲线（或圆）的切线方程（曲线上一点切线的几何意义）,     

椭圆两条垂直弦的一个有趣性质

本文介绍椭圆中的两条垂直弦的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 MN是经过椭圆b~2X~2 a~2y~2a~2b~2(a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN,则 证明 以椭圆左焦点F为极点,Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆方程为户=