例说三角换元

三角换元是以三角公式为依托,利用三角函数的性质实现解题的方法;合理的三角换元,能化繁为简、化难为易、化曲为直．     

一道三角求值题的多种解法

题目 求sin^340°＋sin^380°-sin40°sin80°的值．[第一段]     

两个三角恒等式的新的统一证明

三角恒等式 :cosα cos(1 2 0°-α) cos(1 2 0° α) =0 ,sinα- sin(1 2 0°- α) sin(1 2 0° α) =0 .其中 α为任意角 .文 [1 ]、[2 ]先后给出了这两个恒等式的统一证法 .其实 ,笔者得以下证法更显朴素自然 ,简捷明快 !证明　记P=cosα cos(1 2 0°- α) cos(1 2 0° α) ,Q=sinα- sin(1 2 0°-α) sin(1 2 0° α) .则　 P2 Q2 =3 2 [cosαcos(1 2 0°-α)- sinαsin(1 2 0°- α) ] 2 [cosαcos(1 2 0° α) sinαsin(1 2 0° α) ] 2 [cos(1 2 0°- α)·cos(1 2 0° α) - sin(1 2 0°- α) sin(1 2 0° …     

构造等式利用三角代换证不等式

在不等式证明中 ,一些不等式表面上看并未显露出三角化的可能 ,如果我们深入挖掘其隐含条件 ,构造等式 ,引进三角代换 ,利用三角知识常能使问题简捷获解例 1　已知ａ >ｂ >0 ,求证 :3 ａ - 3 ｂ <3 ａ -ｂ .证明　∵ａ >ｂ >0 ,∴ (ａ -ｂ) ｂ =ａ ,于是可设 ａ -ｂ =ａｃｏｓ2 αｂ =ａｓｉｎ2 α 　 0 <α <π2 .因此原不等式等价于 1- 3 ｓｉｎ2 α <3 ｃｏｓ2 α ,即 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >1.∵　 0 <α <π2 ,∴ 0 <ｓｉｎ2 α ,ｃｏｓ2 α <1,于是有　 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1.故　原不等式…     

语法研究中“两个三角”的验证

研究汉语语法事实,既需要进行静态分析,更需要进行动态分析,“两个三角”的验证,是动态分析的最基本作法。本语以现代汉语共同语即普通话为基点,对有关问题进行讨论。全分三个部分展开：１,“小三角”及基做事实验证;２“大三角”及春事实验证;３．“两个三角”相结合的事实验证。     

话说三角变换中的目标意识

三角变换一直是三角函数中的难点,有的同学虽然已熟记了一大堆三角公式,但当涉及到稍复杂的三角变换问题时就显得无从下手了,究其原因往往是没有看清问题的本质,目标意识不强所致;若能通过对题目条件进行深入     

三角变换的基本规律

三角变换，简而言之就是利用三角公式把三角式从一种形式化为另一种形式的变化过程。它不仅是三角求值、化简和证明的必备技能，而且往往也是研究三角函数性质的必要手段。三角变换尽管灵活多变，但是基本规律还是存在的。如果掌握了三角变换的基本规律，那么解决问题时就会有的放矢，避免乱懵乱撞，使复杂问题简单化。以下对常用的基本规律作一总结。     

可逆三角模的一个性质

对可逆三角模进行了研究.证明了一个只有平凡幂等元的可逆三角模必定是阿基米德的这一结论     

用构造三角形法解非三角情形下的三角题

高考试题中的三角求值一类试题历年来得分率不算高。造成这种情况的主要原因:一是公式不熟;二是不能迅速对三角式的结构作正确的分析,找出合理的解题途径。为此本文介绍通过构造三角形来解决非三角形前提下的三角求值问题,或许对大家会有所启迪。     

一个三角不等式的证明与推广

<正> 在△ABC中有这样一个不等式sin A+sin B+sin C≤(3(3~(1/3))) ①对于这个不等式有各种各样的证明方法,笔者在此提供一种证法.这种证法有利于把这个不等式推广到更一般的情形.分析△ABC中,A+B+C=π,又sinπ/3=(3~(1/3))/2,故上述不等     

有奖解题擂台(59)

1　求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。　 (不要使用计算器等工具。)2　试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。　(不要使用一元四次方程求根公式。)3　试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有　　ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈…     

三角代换法可解的代数问题

对一些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换法，不仅使问题中各量之间的关系变得简洁明了，结构特征显现，而且可使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算，然后利用三角变换使问题轻松获解．本文将探讨适合用三角代换法解决的代数问题．[第一段]     

不用三角代换行吗？

文[1]巧用三角代换证不等式，笔者阅读后，一种感觉是，文章里的三角换元是比较巧妙的，有“简捷、爽快”之处，但其前提是解题者需要具备三角知识；一种思考是，在解答文中的例题时，不用三角代换行吗？能否找出更直接、简明的解答呢？答案是肯定的．     

用z=cosθ+isinθ巧证一类三角问题

<正> 根据复数的三角形式及其相关性质,对一类正、余弦同时对称出现的三角条件式,通过z=cosθ+isinθ代换并借助复数中的相关性质,可避开繁杂的三角公式,使问题由繁变简且解题过程清晰.现举例如下:     

例谈三角变换的途径

<正> 高一(下)新教材第4.7节习题中有这样一道题: 求证:tan(α+π/4)+tan(α-π/4)=2tan2α. 这道题有多种解法.本文拟通过其中的一些有代表性的证法谈谈三角变换中常见的变换途径. 途径1 切化弦.     

椭圆双曲线离心率的三角表达式及其应用

设椭圆、双曲线的方程分别是b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,b2 x2 -a2 y2 =a2 b2 (a >0 ,b>0 ) ,且P为其图像上的一点 ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β(0 <α <π ,0 <β<π ,F1、F2 为其焦点 ) ,则它们离心率的三角表达式分别为(1)　e椭圆 =sin(α+ β)sinα +sinβ;(2 )　e双曲线 =sin(α + β)｜sinα -sinβ｜.证明　如图 1,∵e椭圆 =ca =2c2a =｜F1F2 ｜｜PF1｜+｜PF2 ｜=2Rsin(α+ β)2R(sinα+sinβ) =sin(α+ β)sinα+sinβ,∴e椭圆 =sin(α + β)sinα+sinβ.(2 )如图 2 ,∵e双曲线 =ca =｜F1F2 ｜｜｜PF1｜-｜PF2 ｜｜=2R…     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

用非三角变换解三角题七例

运用三角变换固然是解三角题的基本方法,由于三角公式较多,因此形成了丰富多彩的变换技巧,不易掌握,本文尝试通过知识间的横向联系,针对题目的特点,实施非三角运算,这对于发展智力,活跃思维,提高创新能力大有裨益。     

两个新的三角不等式

本文提出了下述新的三角不等式 ∑csc~2A≥9/(∑cosA)~2≥∑sec~2(A/2)并给予了证明     

构造数学模型巧解三角题

三角问题包括三角公式、三角函数、解三角形等内容,是高考中重要考试内容之一．在解答三角问题中,运用的公式多,运算过程较繁琐,使用的方法多,但有些三角问题,如能从其所给条件中抓住其本质特征,构造数学模型,其解答过程就变得简单、快捷、准确．应用构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向,即为了什么目的而构造;二是弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合．下面举例说明构造数学模型巧解三角问题．