三类最小值问题的统一解法及推广

文[1]给出了三类函数y=x＋p/x,y=x^2＋p/x,y=x＋p/x^2（x〉0,p〉0）最小值的统一解法及一般结果，所给一般结果整齐统一。主要是通过待定系数法，得出两次缩小的不等式中等号同时成立的条件。文[2]则不设待定系数，利用二元均值不等式和单调性，给出上述三类问题的统一解法，比较自然。本文旨在彻底抛弃巧而难的变形技巧，还文[1]，[2]解法中所涉均值不等式的函数本质。从单调性的角度，诠释和简化上述三类问题，并作进一步概括和推广。     

三类函数最小值问题的统一推广

鉴于[1]、[2]所研讨的3类函数的最小值问题,将其所研讨的3类函数的最小值问题统一为一类函数的最小值问题,并分别用初等方法和导数的方法对其进行推广,得到相应的4个结论.     

一道最值问题的多种解法

已知5/a＋3/b=1（a〉0,b〉0）,求a＋b的最小值. 解法一 （1的代换与均值不等式） （5/a＋3/b）（a＋b）=5＋3＋3a/b＋5b/a=8＋3a/b＋5b/a≥8＋2√15, 当且仅当3a/b=5b/a即a=5＋√15,b=3＋√15时,等号成立.     

初等函数不等式的一种解法

我们把f（x）＜0（或）称为函数不等式。本文中出现的函数f（X）都是指初等函数。初等函数不等式的解法很多．下面我们介绍一种新的解法——零点法。由于初等函数的连续性．我们很容易得到：命题1函数f（x）在其定义域内的某区间（a．b）上,对任意x都有f（x）一0．那么,在区间（a．b）上二对任意x都有f（X）＜0或f（X）＞人函数f（X）在其定义域内有fi个零点．设为：XI．XZ,……Xu。把定义战用这些零点划分成X个连续的小区间．记为：UI．U…··Un。称为定义域的一个分划。那么,命题1就是说,在每个小区间上,对任意的X都有f（）…     

四类最值问题的初等解法

本文用初等方法较系统地讨论了以三个正数之和等于1为条件的最值问题,与大家共同探讨． 一、整式型最值例1已知a＞0,b＞0,c＞0且a＋b＋c=1,求a^2＋b^2＋c^2的最小值？     

函数f（x）=√a±bx±√c±dx的最值

函数f（x）=√a±bx±√c±dx（a，b，c，d〉0，定义域非空，下同）的最值可分为以下三类． 第一类型如f（x）=√a-bx＋√c-dx，f（x）=√a-bx-√c＋dx的函数在定义域内单调递减；型如f（x）=√a-bx＋√c-dx，，y=√a＋bx-√c-dx的函数在定义域内单调递增．故只要求出其定义域，根据单调性就可求出这类函数的最值．[第一段]     

一类分式函数最小值问题讨论

对函数f（x）=x-c/a＋d-x/b（a,b,c,d∈R^＋,c＜x＜d）,我们在求其最小值的时候,可借助均值不等式或三角函数变换来进行求解,但对等号成立的条件我们要慎重考虑,否则会出现形似完美实则错误的解题过程,下面先举例子加以说明．     

例谈函数单调性的应用

函数是高中数学的中心内容,它不仅是一条重要的数学概念,而且是一种重要的数学思想.而函数的单调性则是函数的一条重要性质,它是历年高考重点考查的重要内容,它的应用十分广泛.本文通过下面几例探讨函数单调性在解题中的应用.     

抽象函数问题的解法探究

抽象函数就是那些没有给出具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数.抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解,又能将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性和图像集于一身,而且还渗透着各种数学思想,是高中数学函数部分的难点.近年来,考查抽象函数的高考题屡见不鲜,学生在解决这类问题时,往往会感到束手无策.本文就抽象函数问题的解法作探讨.     

再谈条件极值的初等解法

阐述了利用几何平均值、栖西不等式排序原理及光学原理及是解决条件极值的初等解法的有效方法。     

2014北约数学压轴题的四种解法

正~~     

一类函数的最小值问题探索

扩一m 本文探索形如y=丫A二‘+Bx,+cx+D+ExZ(A、B、C、D、E均为实常数,且A=EZ>0)的函数的最小值的求法及一般结论.1引理 引理:对于函数之和,又设g(二) __2博丹”心J飞f、拓嘴刃岌欠穿、X尹=万二, ~刀乙,则动点尸的轨迹是抛N恰好是它的焦点.(‘)若y0,常,则M点在抛物线XOg(x) 一/‘一__、2,f扩、2.丈了“丫、汤一汤0/从m一y0,十m=宜的内部,设抛物线的准线为L,则L的方矶(x。、知、nz、n均为实常数,且m>o)有如下结论:尤0(‘)若y0,常,则当且仅当x=x。时,函=一宁,作MD土直线“于D点,则直与抛物线的交点尸的横坐标为x。,当X=数y取得最小…     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x最小值猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明．     

例谈简单的初等代数函数方程的解法

在各类考试中，经常遇到与函数方程有关的问题，或直接求解某一给定的函数方程，或根据所给的函数方程确定某些函数值或确定函数具有某种性质，这类问题通常没有通法，解法因题而异，思路灵活而奇趣横生．本以三个常见的初等代数函数方程为例，探讨其解法。     

求解两个正数和的最小值问题解析

本文再现近五年高考数学中“求两个正数和最小值”的有关问题,通过试题来演绎使用均值不等式解决此类问题关键．不等式在高考数学中占有重要的地位,而均值不等式又是不等式这一章中最基础、应用最广泛的灵活因子,对均值不等式内容考查的命题始终是高考热点问题之一．每年高考考试大纲里明确要求：理解和掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,可见它是考查素质、能力的一个窗口。     

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值是指函数在整个定义域范围内函数值的最大值与最小值．我们遇到的求最大值和最小值的问题．绝大部分可以归结为求函数的最大、最小值．这一部分内容是学习函数时需要掌握的重要知识点．本讲将分别讨论一次函数、二次函数、简单的分式函数和无理函数的最值问题．     

高三数学综合测试

<正>~~     

浅谈单调函数问题的解法

评析：函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考中，考查函数单调性的试题屡见不鲜．此题既考查用定义判断函数的单调性，又可考查用反例否定函数单调性问题．     

函数单调性问题的几种解法

函数单调性是高中数学教学的重要内容之一，为提高这方面的教学《质量，探索了几种解决函数单调性问题的方法。     

一类最小值问题的命制与求解

问题提出引例已知a、b、c>0,a+b+c=3,求证a 2+b 2+c 3≥541-3737108.这是宋庆先生从外网上转发给笔者的来自越南的一个不等式问题.我们解决了该问题,感到此题小巧新颖.我们查阅了一些数学专著、杂志和网页,鲜见类似问题及其解法研究.这就引起了笔者的兴趣,于是提出如下一般性的问题.