A LIMIT RESULT FOR SELF-NORMALIZED RANDOM SUMS

ＩＮＴＲＯＤＵＣＴＩＯＮＳｕｐｐｏｓｅ {Ｘ ,Ｘｎ;ｎ≥ 1 }ｉｓａｓｅｑｕｅｎｃｅｉ.ｉ.ｄ .ｒ.ｖ .ＬｅｔＳｎ=∑ｎｉ=1ＸｉａｎｄＶ2 ｎ=∑ｎｉ=1Ｘ2 ｉ.Ｒ啨ｖ啨ｓｚ( 1 990 )ｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｌｉｍｉｔｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｓｅ ｑｕｅｎｃｅＬｎ =ｍａｘ0≤ｊ<ｎ ｍａｘ1≤ｋ<ｎ-ｊｋ- 1 2 (Ｓｊ ｋ -Ｓｊ) ( 1 )ａｎｄｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｉｆＰ(Ｘ =± 1 ) =12 ｔｈｅｎ1 ≤ｌｉｍｉｎｆｎ→∞Ｌｎ( 2ｌｏｇｎ) 1 2 ≤ｌｉｍｓｕｐｎ→∞Ｌｎ( 2ｌｏｇｎ) 1 2 =Ｋ <∞　ａ.ｓ.,( 2 )ｗｈｅｒｅｔｈｅｅｘａｃｔｖ…     

关于擂题(45)的对偶命题

《中学数学教学》2 0 0 1年第 4期“擂题 ( 4 5 )的评注”的文后刊出了王扬先生提出的关于擂题 ( 4 5 )对偶命题的一个猜想 :在△ＡＢＣ中 ,设ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 3,则ｓｉｎｎＡ ｓｉｎｎＢ ｓｉｎｎＣ≤ｃｏｓｎ Ａ2 ｃｏｓｎ Ｂ2 ｃｏｓｎ Ｃ2①事实上 ,以Ａ =Ｂ =ε,Ｃ =π -2ε代入①式 ,得2 ｎｓｉｎｎ ε2 ( 1 2 ｎｃｏｓｎε)≤ 2 ,分别令ε→ 0、ε→π/ 2 ,得 0 <ｎ≤ 2。因此 ,猜想不成立。本文提出并证明如下命题 :命题　设λ∈Ｒ ,0 <λ≤ 2 ,则ｓｉｎλＡ ｓｉｎλＢ ｓｉｎλＣ≤ｃｏｓλ Ａ2 ｃｏｓλ Ｂ2 ｃｏｓλ Ｃ2…     

一个不等式的应用

定理　设ａｉ,ｂｉ 为正数 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ) ≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,( )等号当且仅当ａｉ=λｂｉ (λ为常数 ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ)时成立 .证　由算术———几何平均不等式 ,有ｎ ∏ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｎ ∏ｎｉ =1ｂｉａｉ ｂｉ≤ 1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ 1ｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ·ｎ =1,　　∴　ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ)≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,等号当且仅当ａ1 ａ1 ｂ1=ａ2ａ2 ｂ2=… =ａｎａｎ ｂｎ,ｂ1 ａ1 ｂ1=ｂ2…     

一个猜想不等式的肯定--兼擂台题(54)的证明

擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理　若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明　 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ…     

用直线两点式参数方程证比例式

本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及     

平分三角形面积的直线的方程

本文介绍一个求平分三角形面积的直线方程的方法.首先证明一个定理: 若点M在△ABC的边BA上,定比λ=BM/MA满足0≤λ≤1,那么过点M且平分△ABC面积的直线l分CA于定比1-λ/1+λ的点N处.如图1,连接MC,并设S△ABC=S,S△BMC=S1,S△AMN=S2,S△MCN=S3.由题意有:S2=S/2.因为BM/MA=λ,所以AB/BM=1+λ/λ图 1又因为△BMC与△BAC等高,     

一类Dirichlet问题正解的精确个数

研究Dirichlet问题-=λ（u~p＋u~q）,u（0）=u（1）=0,其中1〈p〈q〈＋∞,参数λ〉0,得到了在1〈p〈q〈p＋1条件下,存在λ＊〉0,当λ≤λ＊时,此方程无正解;当λ〉λ＊时,此方程恰好有一个正解.     

2003全国新课程卷理科22题别解

题目　设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {…     

组合数公式与数的整除

现行高中《代数》下册 (必修 )课本给出了组合数公式 :Ｃｍｎ =ｎ(ｎ - 1) (ｎ - 2 )… (ｎ -ｍ 1)ｍ !,其中 ,ｎ ,ｍ∈Ｎ ,并且ｍ≤ｎ .由于Ｃｍｎ 是整数 ,从公式便得到 ,ｎ(ｎ - 1) (ｎ -2 )… (ｎ -ｍ 1)能被ｍ !整除 ,即得下面的真命题 .命题 1　ｍ个连续正整数的积能被ｍ !整除 .命题 1中去掉“正整数”条件的限制 ,便得到 ,ｍ个连续整数的积能被ｍ !整除 ,即ｍ !|ｎ(ｎ - 1) (ｎ- 2 )… (ｎ -ｍ 1) ,其中ｎ∈Ｚ ,ｍ∈Ｚ .这一结论是否成立呢 ?回答是肯定的 .这是因为 :( 1)当ｎ ,(ｎ - 1) ,(ｎ - 2 ) ,… ,(ｎ -ｍ 1)都是正整数…     

Spectral Characterizations of Veronese Surface in S~4

1　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｌｅｔ (Ｍ ,ｇ)ｂｅａｃｏｍｐａｃｔｏｒｉｅｎｔｅｄａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｅｄＲｉｅｍａｎｉａｎｍａｎｉｆｏｌｄｏｆｃｌａｓｓＣ∞ ｗｉｔｈｏｕｔｂｏｕｎｄａｒｙ ;ΔｂｅｔｈｅＬａｐｌａｃｉａｎａｃｔｉｎｇｏｎ ｐ ｆｏｒｍｓｆｏｒｐ =0 ,1,… ,ｎ .Ｗｅｋｎｏｗｔｈａｔｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓｆｏｒｍａｎｏｎ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｓｅｑｕｅｎｃｅｄｅｎｏｔｅｄｂｙｓｐｅｃｐ(Ｍ ) ={ 0≤λ0 ,ｐ≤λ1,ｐ≤… }ｗｈｅｒｅｅａｃｈｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｉｓｒｅｐｅａｔｅｄｍａｎｙ…     

状态方程与过程方程

在理想气体热力学的教学中,经常出现状态方程ＰＶ=ＭμＲＴ与过程方程ＰＶｎ=常数(ｎ=1时为等温过程,ｎ=0时为等压过程,ｎ=γ时为绝热过程,ｎ=∞时为等容过程)的交叉使用,但由于学生对状态方程和过程方程理解的不够透彻,在做题时往往知道出现了错误,却不知错在何处。本文试图结合一习题的解法,明确一下状态方程与过程方程的区别。1、一道习题的三种解法[题]在一体积为Ｖ1的容器中,装有压强为ｐ1的理想气体,此容器通过一活门与一个体积为Ｖ2的真空容器相连,所有容器都装有绝热壁,使它们与外界不交换热量。试求打开活门至气体达到平衡态时,气…     

对一对姊妹无理不等式的探究

本文通过构建函数将文[1]中无理不等式"α,b0,n≥2,n∈N,λ≥2n-1,则a/a+λb n+b/b+λa n≥21+λn"与文[2]中无理不等式猜想"a,b0,n≥2,n∈N,0λ≤n,则a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn"这对姊妹不等式进行整体探究,得到如下结论:设a,b0,n≥2,n∈N,α是关于t的方程λt n-1-n-1i=0Σt2i=0的正根,那么当0λ≤n,则1a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn;当nλ2n-1,则1a/a+λb n+b b+λa n≤f(αn+1);当λ≥2n-1,则21+λn/≤a a+λb n+b/b+λa n≤f(αn+1).     

错在哪里?

题:已知a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距,且1/a 1/b为定值,那未这些直线必过一定点,并求其坐标。证明设1/a 1/b=λ(λ是常数),直线方程为x/a y/b=1, 则1/b=λa-1/a以之代入直线方程得 (x-y-a) λay=0。它表示此直线系通过二直线     

负数补码的表示方法

关于二进制数的补码表示方法是我们教学中的重点内容 ,补码的概念是由补数引出来的。我们将一个计量系统所能表示的最大量程称为模 ,若模用Ｋ表示 ,则满足Ｚ =ｎＫ +Ｙ时 ,称Ｚ和Ｙ互为补数(通常ｎ取 1)。一般地说 ,我们把某数Ｘ加上模数Ｍ定义为Ｘ的补码 [Ｘ]补 ,即 [Ｘ]补 =Ｘ +Ｍ。一个ｎ位二进制数Ｘ的模值为 2 ｎ,因此Ｘ的补码应为 :[Ｘ]补 =2 ｎ+Ｘ如果将ｎ位字长的存数单元的最高位留作符号位 ,则对于一个ｎ位二进制数Ｘ的补码可以这样来求 :当　Ｘ =+Ｘｎ- 2 Ｘｎ - 3 …Ｘ1Ｘ0 时　　 [Ｘ]补 =2 ｎ+Ｘ =0Ｘｎ- 2 Ｘｎ - 3 …Ｘ1Ｘ0…     

有奖解题擂台(75)

题设a,b∈R+,且a+b=1,λ0是方程(2x-1)(x-1)-2=0的一个解,且λ0∈(1,2),证明或否定,当λ≥λ0时,1aλ+1+1bλ+1≤2λ+12λ+1,等号当且仅当a=b=12时成立.(注命题人为第一位解答正确者提供奖金50元.)有奖解题擂台(75)@郭要红$安徽师范大学数学系!邮编:241000     

举一反三 触类旁通———由2005年全国高考(江苏卷)第19题引发的思考

考题:如图1,圆O1和圆O1的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2PN,试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.评析:本题是求由一动点出发的两条线段长之比为一定值的点的轨迹.通过这两条线段的形成和比值的变化可引发下列思考:思考一:若将题中的PM:PN=2改变为PM:PN=λ(λ>0),其他条件不变,则P点的轨迹又将是什么?分析:以O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设P点坐标为(x,y),易得P点的轨迹方程为:(1-λ2)x2+(4+4λ2)x+(1-λ2)y2+3-3λ2=0.当λ=1时,P点的…     

2000年高考数学（理）压轴题的解法

20 0 0年高考理科数学第 (2 2 )题 :图 1如图 1,已知梯形 ABCD中| AB| =2 | CD| ,点E分有向线段 AC所成的比为λ,双曲线过 C,D,E三点 ,且以 A,B为焦点 .当 23≤λ≤ 34时 ,求双曲线离心率 e的取值范围 .题目言简意赅 ,求的是离心率的取值范围 ,而建立坐标系求双曲线方程考生都敢下笔 ,但要综合运用数学知识解对也有一定难度 .此题有多种解法 ,下面提供不同于标准答案的几种解法 .解法 1　以 A为极点 ,射线 AB为极轴建立极坐标系 ,则双曲线的极坐标方程为 ρ= ep1 ecosθ(其中 p =c- a2c为焦准距 ) ,记p E = ep1 ecosθ>0 ,则 p C…     

直线系方程的应用——从一道课本习题说起

人教A必修2第三章直线与方程习题3、3A组第4题：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0相交,证明方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（λ∈R）表示过l1与l2交点的直线方程.这是一个有用的结论,表示过2条已知直线l1和l2的交点的直线系方程,其中λ是参数,当λ=0时,     

巧用圆锥曲线系解题

对于有些解析几何题,正面思考或按常规方法求解较难时,若能利用圆锥曲线系,巧设未知数,往往能起到事半功倍的效果,下举例说明.一、得用共交点的圆锥曲线系解题一般地过圆锥曲线C1:f(x,y)=0与圆锥曲线C2:g(x,y)=0的交点的圆锥曲线系方程都可以表示成:f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠-1)(不包括圆锥曲线C2),如过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).例1已知圆C1:x2+y2+3x+4y+3=0,圆C2:x2+y2+4x+5y-1=0,求过已知两圆的交点,且过原点的圆的方程.解由已知不妨设过已知两圆的交点圆的方程为:x2+y2+3x+4y+3+λ(x2+y2+4x+5y-1)=0(λ≠-1).又圆过原点,将(0,0)代入圆方程可解得λ=3,从而所求的方程为:4x2+4y2+15x+19y=0.     

宏微观经济学学习辅导2

第六章　生产要素投入利用的决策1　名词解释1 )边际销售收入 :是指每增加一个单位要素投入所引起的销售收入的增加量。在数值上等于要素的边际产量乘以产品的价格。2 )要素的边际成本 :是表示每增加一单位投入要素所引起的成本增加量。2　主要问题1 )多种要素投入的决策多种要素投入的决策就是多种生产要素使用情况下 ,最佳生产规模决定的原理的具体运用。就是将公式 (1 )ＭＰＸ1 ＰＸ1=ＭＰＸ2ＰＸ2=… =ＭＰＸｎＰＸｎ(1 )转变成公式 (2 )ＭＲＰＸ1 ＭＲＣＸ1=ＭＲＰＸ2ＭＲＣＸ2=… =ＭＲＰＸｎＭＲＣＸｎ(2 )公式 (2 )的分子就是生产要…