数学奥林匹克问题

初159已知p为正整数且为常数．求满足下列条件的最大和最小正整数n，对于这个n，有唯一的正整数k，满足p＋1/2p＋1＜n/n＋k＜p/2p-1.     

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本期问题初271已知在分数112/19和112＋x/19＋x之间只有三个正整数．求整数x的一切可能值的和．初272从正方形的顶点及各边中点这八个点中选取三个点,可组成多少个等腰三角形？     

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初355如图1,已知正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD交于点0,E为边BC延长线上一点,联结AE,分别与BD、CD交于点P、F,联结BF并延长,与线段DE交于点G,联结OE与CD交于点S．若PS//AC,求BG的长．     

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本期问题 初335在黑板上从1开始写出一列连续的正整数,并从中擦去一个数后发现,余下的数的平均值为2013 4/503。问：擦去的是哪个数？     

数学奥林匹克问题

本期问题 初353数字9可以表示成两个连续正整数的和（9=4＋5）,同时,其恰可用两种不同的方法写成连续正整数的和（9=4＋5=2＋3＋4）．问：是否存在这样的正整数,它可以表示成2013个连续的正整数的和,并且恰有2013种不同的方法表示成连续的正整数的和？     

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初145是否存在一个正整数n，使得4个数n、n 1、n 2、n 3的最小公倍数是3900000？请说明理由。     

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本期问题 初219 设k是一个给定的正整数．试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程ax^2＋ax＋a＋2006=0的两个根均为整数,且两根之差的绝对值不小于2k-1．     

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本期问题 初255设2009可拆分为四个正整数的平方和,其中,两个数的比为5/14,另两个数的比为1/2写出这个拆分．     

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本期问题初149　已知二次函数f(x)=x2-2mx 1.是否存在实数x,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b、c,f(a)、f(b)、f(c)能构成一个三角形的三条边的边长?(王连笑　天津市实验中学,300074)初150　试求出所有的整数n,使得70n 200n2 1是整数.(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院,51     

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初281已知存在k（k∈N,k≥2）个连续正整数,它们的平方的均值为一个完全平方数．试求k的最小值．     

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初157 如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点G，△ABC的内切圆与AB切于点E，△ABD的内切圆与AB切于点F．如果     

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本期问题图1初167如图1,过⊙O外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD,分别交⊙O于点A、B、C、D,弦AD、BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交⊙O于点E、F,过点D作DM∥PF交⊙O于点M.求证:MB平分EF.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初168如图2,在等腰Rt△ABC中,D1为直角边AC上任意一点,D1G⊥B     

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本期问题初 1 2 5　如图 1 ,图 1△ABC的∠C =90°,延长AC到A′ ,延长BC到B′,使得AA′=BB′ =AB .证明 :从AB的中点O引直线OE ,必过△ABC的内心 .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 2 6　试求出所有的正整数对 (a ,b) ,使得ab -a2 +b + 1能整除ab + 1 .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,51 0 4 0 5)高 1 2 5　若正方形A1A2 A3 A4的中心为O ,⊙O在正方形A1A2 A3 A4内部 ,P为⊙O上任一点 ,P到A1A2 、A2 A3 、A3 A4、A4A1的距离分别为d1、d2 、d3 、d4,则d3 1+d3 2 +d3 3 +d3 4为定值 .(徐　道　江苏省如皋…     

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本期问题 初251 设四位数w1＝abcd是完全平方数,把它从中间划开,得到两个两位数x1＝ab与y1＝cd;w2＝3x1y1+1是完全平方数,把w2从中间划开,得到两个两位数x2、y2;w3＝2x2y2是完全平方数,把w3从中间划开,得到两个两位数x3、y3;w4＝x3y3+1是完全平方数,w4的9倍是四位数w5,w5也是完全平方数.求四位数wi(i＝1,2,3,4,5).     

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本期问题 初205 如图1,P是ABC 内一点,PD、PE、PF是过点P所作的边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F,过D、E、F三点的圆交BC、CA、AB于另外三点D'、E'、F',过D'、E'、F'分别作所在边的垂线l1、l2、l3.求证:l1、l2、l3三线共点.     

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本期问题 初245 如图1,在锐角ABC中,AC＞BC,CD为边AB上的中线,图1E、F、G分别为线段CA、CB、CD上异于线段端点的三点,且C、E、G、F四点共圆.设ADE外接圆的圆心为O1、半径为r1;BDF外接圆的圆心为O2、半径为r2,且∠O1DG与∠O2DG均为锐角.