巧借梯形面积公式 记忆数列求和公式

同学们,你们都读过“数学王子”高斯小时候巧算1+2+3+…+100的故事吧?我们举个类似的例子,求从1到10的连续自然数的和。     

从“1+2+3+……+100”的速算谈起

据说著名的数学家高斯,9岁时就能用巧妙的方法速算1+2+3……+100。这种方法叫倒写相加法,现在我们用这种方法来计算1+2+3+……+n。令a=1+2+3+……+n=n+(n-1)+(n-2)+……+1两式相加,得2a=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+……+(n+1)=n(n+1)∴a=12n(n+1)你一定会为高斯这种妙算拍案叫绝!惊叹之余,你是否想过还能找出什么简便方法来计算1+2+3+……+n吗?方法一:a=1+2+3+……+n=[n-(n-1)]+[n-(n-2)]+[n-(n-3)]+……+(n-0)=n·n-[(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+0]=n2-(a-n)解方程a=n2-(a-n),得a=12n(n+1)方法二:注意到任一自然数k都能写成k=12[k(k+1)-(k-1)k]…     

一道数学竞赛题的解法

第六届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题中第二题的第1题是: 计算:1+(1/1+2)+(1/1+2+3)+(1/1+2+3+4)+…+(1/1+2+3+…+100) 这类题直接计算难以奏效,我们借助下面的公式可得简便     

“等差数列的前n项和”的教学设计和教学反思

一、教学过程实录1.创设情景,唤起学生知识经验的感悟和体验世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层,你知道这个图案一共花了多少宝石吗?(多媒体展示三角形图案)也就是计算1+2+3+…+100=?提问:有没有同学了解这个题的解题过程?简便方法?学生会联想到以前接触过的高斯求和法.介绍高斯算法:高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子”.二百多年前,高斯的算术     

棋子摆法探究

题目:000 00000 0000000OO个“T,,字应该需要【(2·10+1)+(10+1)1=32枚棋子;’··…;以此类推可知第。个“T”字应该需要【(2·。+1)+(n+1)!=3n+2枚棋子,000 (1)(2)(3) 图1 图1是用棋子摆成的“T”字. (l)摆成第1个“T”字需要多少枚棋子?第2个呢? (2)按这样的规律摆下去,摆成第10个“T’,字需要多少枚棋子?第。个呢?这个探究规律型问题,选自《数学》七年级下册(北京师范大学出版社). 这是一个激发学生学习数学兴趣、发展学生数学思维能力的好问题.为此,本文对此间题的各种不同的思维方法加以归纳整理,供读者们参考. 文中所指问题的第(l…     

有理数竞赛题归类解析

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,对于学有余力的同学开发智力极为有利.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛中的有理数赛题,介绍这些试题的题型特点和解题思路,供读者参考.一、求值计算题例1计算:199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901=摇摇摇摇.(2001年)分析这里有99个数相加,考察每个数的特点,应适当变形之后再结合相加.原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…(1000-9)+(1100-10)+…+(9900-98)+(10000-99)=(200+300+400+…+10000)-(1+2+3+…99)=(200+10000)×992-(1+99)×992=5100×99-50×99=(5100-50)×99=499950.例2计算:2÷3÷7+…     

有理数运算的技巧

一、巧用运算律例1计算-117×(132-0.125)÷(-1.2)×(-1313).解原式=-117×(132-18)×(-56)×(-1613)=-117×1613×(132-18)×56=-9×(12-2)×56=9×32×56=1114.二、合理分组例2计算1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1999年“希望杯”初一数学竞赛试题)解原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)(共有2500个)=-2500.三、反序相加例3计算12+(14+34)+(16+36+56)+…+(198+398+…+9798)=(1998年“五羊杯”初一数学竞赛试题)解设原式=S,将每个括号内的分数反序排列,可得S=12+(34+14)+(56+36+16)+…+(9798+…+39…     

“配偶”解题8例(初二、初三)

从计算1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5050受到启发:当求解一个数学命题时,可根据题目中式子的特点,配上一个与之相关的式子,可使命题简化并解决,这种方法称为配偶法,这个式子称为配偶式.下面举例说明巧用配偶式来解题.     

连续自然数之和

有一个流传甚广的美谈:数学大师高斯(Gauss,1777～1855)在10岁左右时,他的小学老师在黑板上写出如下问题: “1+2+3+…+99+100=?”全班学生还在做连续加法时,而小高斯却很快把计算结果写在小石板上呈到老师面前,老师惊讶地看到石板上写着正确的答案“5050”     

多姿多彩的有理数竞赛题

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,趣味无穷.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛题中有理数赛题,供大家学习参考. 一、计算求值题 例1 计算:199+298+397+… +991+1090+1189+…+9802十9901=__.(2001年初一赛题) 分析及解:这里有99个数相加,考察每个加数的特点,我们将每个加数适当变形之后再相加: 原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…+(1000-9)+(1100-10)+(1200-11)+…+     

含“省略号”问题的解法探讨

数学表达式中的省略号常用3个小圆点表示,含省略号“…”的数学问题可分三种类型: 1.省略部分是确定的.例如,和式10+20+30+…+100中共有10项,中间“…”表示确定的6项,即40+50+60+70+80+90. 2.省略部分虽不确定,但项数是有限的.例如,等式1+3+5+…+(2n-1)=n2中,n是非零自然数,省略部分随n的取值而定.     

高斯解题的启示

我们都知道德国数学家高斯小的时候算l+2+3+4+…+100的故事,他的做法是先l和100相加,2和99相加,…,50和5l相加都等     

求高阶等比数列通项公式的方法

让我们先来看两道例题:例1已知数列{a n}:6,9,14,23,40试求该数列的通项公式.解记an+1?an=bn,则{b n}:3,5,9,17记bn+1?bn=cn,则{c n}:2,4,8.∴cn=2n.bn=b1+(b2?b1)+(b3?b2)++(b n?bn?1)=b1+c1+c2++cn?1=3+2+22++2n?1=2n+1,an=a1+b1+b2++bn?1=6+(2+1)+(22+1)++(2n?1+1)=6+(2+22++2n?1)+(n?1)=2n+n+3,∴数列{a n}的通项公式为:an=2n+n+3.例2已知数列{a n}:1,7,16,30,53,93,166试求该数列的通项公式.类似于例1可得数列{a n}的通项公式为:an=2n+n2/2+5n/2?4.总结例1与例2,若将原数列{a n}算作“第1阶”,则例1中的数列{a n}是在“逐差”至“第3阶…     

有理数加减法的技巧

一、相邻差相等法 例1 计算1-2 +3-4 +5-6 +7-8+…+4999-5000的值. 解:(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000) =(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) =-2500 二、分数的性质法 例2 计算1/0.1-1/0.01-1/0.001-1/0.0001 解:1/0.1-1/0.01-1/0.001-1/0.0001 =1 × 10 1 × 100 1 × 1000 1 × 10000 =0.1×10 0.01×100 0.001 ×1000 0.0001 ×10000 =10-100-1000-10000 =-11090     

倒序相加(Ⅰ)

S=12+(13+23)+(14+24+34)+…+(199+299+…+9799+9899)+)S=12+(23+13)+(34+24+14)+…+(9899+9799+…+299+199)2S=1+(1+1)+(1+1+1)+…+(1+1+…+1+1) =1+2+3+……+98 =12×98×(98+1)=4851. ∴S=48512.本期问题:四千多年以前,古埃及人就有了比较发达的数学,他们把当时所遇到的数学问题及其解答记录在一种用木髓压紧切成的薄片———草片文书上,可惜这种草片文书很容易干裂后成为粉末,所以古埃及人的成果保留下来的不多。以下是记录在草片文书上的一个问题:把10斗大麦依次分给10个人,使每相邻两个人所分得的大麦都相差18斗,应该怎么分?…     

从1到10亿

同学们对德国大数学家高斯小时候的一个故事,可能已经很熟悉了。他10岁时,就能很快算出1+2+3+…+99+100的和是5050。小高斯是这样算的:依次把这一百个数的头和尾都加起来,即1+100,2+99,3+98,……,50+51,共50对,总和是101×50=5050。     

让学生做学习新知的探索者自主学习——第七册“加、减法的一些简便算法“教学片断实录与评析

1、数学例1 　　师:“113 59=“有几种算法?哪种算法比较简便?(学生独立思考,小组交流) 　　生1:我这样做:113 59=(110 50) (3 9)=172.先算110 50=160,再算3 9=12,最后算160 12=172,就是113 59=(110 50) (3 9)=172. 　　生2:我这样做:113 59=113 50 9=172.……     

让学生做学习新知的探索者自主学习——第七册“加、减法的一些简便算法“教学片断实录与评析

1、数学例1 　　师:“113 59=“有几种算法?哪种算法比较简便?(学生独立思考,小组交流) 　　生1:我这样做:113 59=(110 50) (3 9)=172.先算110 50=160,再算3 9=12,最后算160 12=172,就是113 59=(110 50) (3 9)=172. 　　生2:我这样做:113 59=113 50 9=172.……     

如何在"三算结合"教学中培养学生的创新精神

在小学数学“三算结合”教学中,如何培养学生的创新精神呢? 一、“三算结合”中创新的教学模式 新世纪的“三算结合”教学特点,还应是心算(口算)、珠算、笔算三种算法有机结合,发挥一学三会、一练三熟,即1+2>3的整体功能。这种教学模式是把创新教育和学科教学视为一体,把学生视为主体,强调     

别忽视非关键性词语

数学表达式中的省略号常用3个小圆点表示,含省略号“…”的数学问题可分三种类型: 1.省略部分是确定的。例如:和式10+20+30+…+100中共有10项,中间“…”表示确定的6项,即:40+50+60+70+80+90。2.省略部分虽不确定,但项数是有限的。例如:等式1+3+5+…+(2n—1)=n~2中,n是非零自然数,省略部分随n的取值而定。3.项数是无限的。例如:在0.7+0.07+0.007+0.0007+…中,最后加上“…”是表示项数是无限的。不少同学对含有“…”的问题感到棘手难解,而且还存在某种畏惧心理。为了帮助同学们今后学习数学知识打下良好的基础。本文归纳出几种主要方法供学习时参考。