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题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ… 相似文献
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所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１ 证明线段相等例１ （１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明 连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知 ∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ… 相似文献
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初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５… 相似文献
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《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵ ∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴ ∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ ∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ… 相似文献
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三角形三边关系定理及其推论有多方面的应用,现举例分述如下：一、证明线段间的不等关系．常用于证明两线段的和（差）大于（小于）第三线段．一般是选择或构造三角形,使这个三角形以相关线段为边,然后用定理或推论证明．例１如图,已知Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ内的两点．求证：ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＣ．证明延长ＤＥ交ＡＣ于点Ｇ,延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｆ．在△ＡＦＧ中,ＡＦ＋ＡＧ＞ＦＧ．（１）在△ＦＢＤ中,ＦＢ＋ＦＤ＞ＢＤ．（２）在△ＧＣＥ中,ＧＣ十ＥＧ＞ＥＣ．（３）将（１）、（２）、（３）式相加,得ＡＦ＋ＡＧ＋ＦＢ＋ＦＤ… 相似文献
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ｗｈｃ１７５的限定《初等数学研究的问题与课题》中的ｗｈｃ１７５是叶中豪提出的如下问题：设ＰＱＲＳ是四边形ＡＢＣＤ的内接四边形,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别为ＳＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＳ的中点,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′、ＤＤ′共点的充要条件是什么？本文将其极特殊化（令Ｄ重合于Ｃ）,得到定理 设△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′分别是ＲＰ、ＰＱ、ＱＲ的中点．记ＡＰＰＢ＝λ１,ＢＱＱＣ＝λ２,ＣＲＲＡ＝λ３,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′共点的充要条件是λ１λ２λ３＝１．ＢＱＣＡＰｙ图１Ａ′′ＣＢ′ｘＲＯ证明… 相似文献
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垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等．求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果．例１如图１,Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点,ＡＢ＝ＡＣ,ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ．证明过Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ．∵ＡＢ＝ＡＣ,∴ＢＦ＝ＣＦ．∵ＢＤ＝ＣＥ,∴ＤＦ＝ＥＦ．∴ＡＦ是ＤＥ的垂直平分线．∴ＡＤ＝ＡＥ．例２如图２,Ｅ为△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线ＡＤ上一点,ＡＢ＞ＡＣ．求证：ＡＢ… 相似文献
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“三线合一”指的是《几何》第二册第６７页上的一个推论：“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．”这是等腰三角形的重要性质之一,运用时应作如下理解：如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,Ｄ为ＢＣ上一点,在下列三个条件中：（１）∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ;（２）ＡＤ⊥ＢＣ;（３）ＢＤ＝ＤＣ,满足其中任意一个条件时,都能立刻推出其余两个成立．下面举例说明它的应用．一、证明线段相等例１如图２,△ＡＢＣ中,Ｄ、Ｅ在ＢＣ边上,ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ,则由“三线合… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个图形．根据三角形全等的定义,可得如下性质：１．全等三角形的对应边相等;２．全等三角形的对应角相等．对于某些几何竞赛题,考虑构造全等三角形来利用上述性质,可使其解答巧妙、简捷．例１如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝５,ＡＣ＝３,则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长ｌ的取值范围是（）（Ａ）１＜ｌ＜４;（Ｂ）３＜ｌ＜５;（Ｃ）２＜ｌ＜３;（Ｄ）０＜ｌ＜５．（１９９７年希望杯全国数学邀请赛初二试题）解延长ＡＤ到Ｅ,使ＤＥ＝ＡＤ,连ＢＥ,那么ＡＥ＝２ｌ．ＢＤ＝ＣＤ,１＝２,ＥＤ＝ＡＤ,△ＢＤＥ△… 相似文献
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同学们都知道,应用全等三角形可以证明线段相等和角相等．这是全等三角形的基本功能．但具体证题时又感到难以下手,不知道怎样应用全等三角形证题．为了帮助同学们解决这个问题,下面谈两点意见．一、善于从复杂图形中识别全等三角形例１ 如图１,已知ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ,∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ,ＡＣ、ＣＥ分别交ＢＤ于Ｆ、Ｇ,ＡＤ交ＣＥ于Ｈ．求证：∠Ｂ＝∠Ｃ．分析 证明此题时,有部分同学只看到∠Ｂ、∠Ｃ分别是△ＡＢＦ和△ＦＣＧ的一个内角,而这两个三角形又不一定全等,从而便束手无策．我们还应该看到,∠Ｂ、∠Ｃ又分别是… 相似文献
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我们知道,三角形的外角有这样的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,大于任何一个与它不相邻的内角．这个性质是研究三角形的重要基础知识,应用也非常广泛．现分类举例说明．一、计算角度例１如图１,Ｄ是△ＡＢＣ中ＣＢ的延长线上一点,ＤＯＡＢ于０,Ｃ＝４０°,Ｄ＝３０°,求１和Ａ．解１＝９０°＋Ｄ＝９０°＋３０°＝１２０°,Ａ＝１８０°－１２０°－４０°＝２０°．例２如图２,△ＡＢＣ中,ＢＤ平分ＡＢＣ,１＝３,４＝５,求５的度数．解设１＝３＝ｘ,则２＝ｘ,５＝４＝１＋３＝２ｘ．在△ＢＣＤ中,… 相似文献
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相似三角形是本学期《几何》的重点内容．通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质进行计算或证明的题型，也是统考命题的热点．本文就此归纳一些常见的题型，供同学们学习和参考．一、证角相等例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ为梯形，ＣＤ／／ＡＢ，ＡＢＣ＝９０°，Ｅ为对角线交点，ＥＦ ＢＣ于Ｆ．求证：ＥＦ平分ＡＦＤ．分析 要证ＥＦ平分ＡＦＨ，即证１＝２，但△ＨＥＦ与△ＡＥＨ明显不相似，考虑到１＋３＝２＋４＝９０°，转而去证３＝４．由已知条件知ＥＦ／／ＤＣ／／ＡＢ，因。，ＣＦＤＥＣＤＤＥｒ。＿ＣＦＣＤ＿＿ｆ”Ｆ… 相似文献
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勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ… 相似文献
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直角三棱锥中的三角等式王小平（江苏省东台市四灶中学２２４２４８）图１如图１,在△ＢＣＤ中,ＢＣ⊥ＣＤ,ＡＢ⊥平面ＢＣＤ,则ＡＢ⊥ＢＣ,ＡＢ⊥ＢＤ．由三垂线定理证得ＡＣ⊥ＣＤ,即△ＢＣＤ、△ＡＢＣ、△ＡＢＤ、△ＡＣＤ都是直角三角形．故通常把这种四个面全... 相似文献
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根据等边三角形的定义和等腰三角形判定定理及其推论,可得证明等边三角形的４种思路．现分别举例说明如下．１．证三边都相等例１如图１,在等边ＡＢＣ中,分别延长ＡＢ到Ｄ,ＢＣ到Ｅ,ＣＡ到Ｆ,使ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ求证：ＤＥＦ是等边三角形．分析只须证ＤＥ＝ＥＦ＝ＤＦ即可．在ＢＤＥ和ＣＥＦ中,ＢＤ＝ＣＥ,ＢＣ＝ＡＣ,ＣＥ＝ＡＦ,ＢＥ＝ＣＦ．ＡＢＣ＝ＡＣＢ＝６０°,ＤＢＫ＝ＥＣＦ＝１２０°ＢＤＥＣＥＦＤＥ＝ＫＦ．同理可证ＤＥ＝ＤＦ,问题可证．２．证三个角都相等例２如图２,在等边ＡＢＣ的三边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上各取一… 相似文献