关于一个猜想命题的证明及推广

本刊1994年第3期《对一个平面几何问题的探讨》一文提出如下一个猜想命题,本文对这猜想作更一般的推广并证明其成立。 猜想 设圆锥曲线两平行弦T_1T_2、S_1S_2端点连线S_1T_1、S_2T_2相交于P(或延长线相交于P),过P的直线交圆锥曲线于Q、R,交T_1T_2、S_1S_2于T、S。则有 首先,上述猜想中题设“圆锥曲线两平行弦T_lT_2、S_1S_2”也可改为“相交弦T_1T_2、S_1S_2”,命题结论仍成立。即得推广命题1。     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

一个确界命题的推广及证明

在数学分析中,实数集的确界原理反映了实数的一个重要特性——完备性,它也是数学分析的理论基础．本文利用数学美的和谐性原理,把一个函数之和形式的确界命题加以推广,得到了函数之积形式的确界命题,使问题得到了深化、延伸,并且给出了证明．该结论对于数列也成立．     

一个向量命题的简捷证明及空间推广

众多杂志介绍了下面的向量命题,但给出的证明方法比较繁琐．笔者受正弦定理向量证明方法（引入直线法向量并做数量积）的启发,发现了它的简捷证法,并将之推广到空间,现整理成文与大家交流．     

关于一个定积分命题的推广及证明

在讨论一个定积分命题证明的基础上，给出了该问题的推广及其证明。     

一个整值多项式的命题推广及证明

有这样一道中学数学竞赛题:"当x=-1,0,1,2时,多项式p(x)=ax3+bx2+cx+d取整数值,求证:对任意整数x,p(x)均取整数值."     

一个命题的推广及应用

本文将柯西不等式:设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1aibi)2≤(n∑i=1a2i)(n∑i=1b2i).     

一个几何命题的证明及应用

命题如图1,点O、H分别是△ABC的外心和垂心,则 （1）＜HAB=＜OAC;     

一个几何命题的证明及应用

[命题]如图,E、G、F、H是空间四边形ABCD边上的点,AE:EB=DF:FC=k_1。 AH:HD=BG:GC=k_2. 求证:EF与GH相交于一点O_1且HO:OG=k_1,EO:OF=k_2.     

一个几何命题的证明及应用

本文介绍一个有用有趣的而又十分简捷的几何命题,利用它,我们可以将几个看似毫不相干的几何命题用统一的简洁的证明方法统一起来,证法之妙之巧体现了数学之美,数学之和谐.     

一个三角命题的证明及应用

命题:(新教材高一下册P42第15题的特例)若A、B、C为非直角三角形的三个内角,则tanA tanB tanC=tanA·tanB·tanC.证明:在△ABC中,A B C=π,A B=π-C.     

一个几何命题的证明及应用

本文介绍一个有用有趣的而支十分简捷的几何命题，利用它，我们可以将几个看似毫不相干的几何命题用统一的简洁的证明方法统一起来，证法之妙之巧体现了数学之美，数学之和谐、     

一个不等式命题及证明

命羽 设“、b>O,且口 b=l,r∈Q.(I)”j l}<,‘<1时,(“i 11}^^)“≤(口r下 l 6串)r.{2)当,一<0或r>l时,(∽‘i 1,"’r-,≥(n型r十6掣)r. '”…他“j“:b=去时①、②中的等号成立.啪明:…;ⅢIt要用到下面的不等式…:i“j I,,i)I c?: 6;)…(口: 6:)③的左边 ≥(口1n2…口。 bI b2…b。)“, (*)其中ar、bl>0.等号当且仅当寄。薏～一券时成 ,立. (1)因0相似文献   

一个命题的证明与应用

一、问题的提出当两条直线的斜率 k_1、k_2存在,且满足 k_1·k_2=-1时,两直线垂直,教材中已作了详细的研究,但当 k_1·k_2=1时,两直线的位置关系如何?有哪些性质?却尚未引起人们的关注.下面就此作些探讨,供大家参考。二、结论及证明命题已知:     

一个极值命题的推广及应用

对一极值命题进行推广,得到具有一般意义的结论,并举例说明它们的应用。     

一个三角命题的推广及应用

命题ｃｏｓ（６０°－Ａ）＋ｃｏｓ（６０°＋Ａ）－ｃｏｓＡ＝０．（１）这一命题的证明是众所周知的，假如我们运用诱导公式以及改变自变量的值，就可以推导出一些熟悉的、常见的结论．它不仅能给解题带来极大的方便，也给众多题目找到了“同一根源”．１　推广若将（１）式中的Ａ用１８０°＋Ａ来代替即可得：推论１　ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（１２０°＋Ａ）＋ｃｏｓ（２４０°＋Ａ）＝０．（２）　　将（２）式的左边用倍角公式展开得：２ｃｏｓ２Ａ２－１＋２ｃｏｓ２６０°＋Ａ２－１＋２ｃｏｓ２１２０°＋Ａ２－１＝０，即ｃｏｓ２Ａ２＋…     

一个命题的证明及其应用

命题:如图,设三面角S—ABC中,∠ASB=α,∠BSC=β,∠CSA=γ,二面角A—SC—B为θ,则 COSα=COSβcosγ SinβSinγcosθ(Ⅰ)。 证明:如图,不妨设∠ACB为二面角A—SC—B的平面角,SA=a,SB=b,SC=c.由余弦定理得:     

对称不等式的证明及命题推广

《数学通讯》2008年3月号问题1724： 已知a,b,c是满足条件a＋b＋c=1的整数．     

证明·推广·应用——对一个复数命题的探究

1 命题 设a为非零实数,z为非零复数,则|z-a|=|z a|(?)z为纯虚数。 证明简单,这里略去。 2 推广 推广1 设(z-a)/(z a)为纯虚数,且a>o,则|z|=a.(z≠±a) 证 因(z-a)/(z a)为纯虚数,故由命题知 |(z-a)/(z a) 1|=|(z-a_/(z a)-1|, ∴|2z|=|-2a|,即|z|=a。     

一个命题的推广及其应用

有这样一个命题:正三角形内任一条长为a的线段PQ,在三边上的射影为m、n、l,则:m~2 n~2 l~2=1/2·3a~2;很容易验证对正方形内任一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为m、n、l、r,则m~2十n~2十l~2 r~2=2a~2(即1/2·4a~2)也是正确的。(如下图)有了以上两例作基础,我们将其推广到一般情况,并证明其正确性:正n边形内任意一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为a_1、a_2、…、a_n,则 a_1~2 a_2~2 … a_n~z=1/2·na~2 引理:正n边形内任意一条长为a的线段PQ平移到任何位置不改变它在各边上射影的长。