一道美国数奥题的六种解法

本文所研究的是一道美国第七届数学奥林匹克试题 ,它新颖、别致 ,是一道涉及五个变量的条件最值问题 .笔者研究后发现 ,它的解法相当多 ,不下于 1 6种 .现将其中 6种鲜为人知的新解法一一写出来 ,与大家交流 .问题 :已知a、b、c、d、e∈R ,a+b +c+d+e =8,a2 +b2 +c2 +d2 +e2 =1 6,试求e的最大值 (美国第七届数学奥林匹克试题 ) .解法 1 :(基本不等式法 )由基本不等式 2xy≤x2 +y2 (x、y∈R)得 (x+y) 2 ≤ 2 (x2 +y2 )　 ( 1 )令x =a+b ,y=c+d ,于是 ,由式( 1 )得[(a+b) +(c+d) ]2 ≤ 2 [(a+b) 2 +(c+d) 2 ]　 ( 2 )=2 (a2 +b2 +c2 +d2 +2ab…     

用构造法解代数题

本文介绍用构造法解代数题的几种方法 .一、构造方程 (组 )例 1　如果x3+ax2 +bx+ 8有两个因式x+ 1和x+ 2 ,则a +b的值是 (　　 )(A) 7　　 (B) 8　　 (C) 1 5　　 (D) 2 1( 2 0 0 2年湖北省武汉市初中数学竞赛 )解　设x3+ax2 +bx+ 8的另一个因式为x+c,则有x3+ax2 +bx+ 8=(x + 1 ) (x+ 2 ) (x+c)=x3+ (c+ 3 )x2 + ( 3c+ 2 )x+ 2c∴a=c+ 3 ,b=3c + 2 ,8=2c.∴a=7,b =1 4,c=4.从而有a+b =7+ 1 4=2 1 .二、构造函数例 2　设关于x的方程ax2 + (a + 2 )x+9a =0有两个不相等的实数根x1 、x2 ,且x1<1 相似文献   

《数学教学》第1136号问题的探究

<正>本刊2021年第12期的1136号问题:已知对任意正数a、b、c,当a+b+c=1时,都有3^a+3^b+3^c 0,且a+b+c=1,可知a、b、c∈(0,1).设f(x)=3^x-(2x+1),x∈(0,1),则f’(x)=3^xln3-2.     

数学写作——展现自我的舞台

这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法

2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+…     

2021年浙江卷第17题的解法探究

<正>一、试题呈现已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0,记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x²+y2+y²+z2+z²的最小值是___.二、解法探究解法1几何法     

恰当联想 巧解方程

<正>在学习数学知识的过程中,同学们常常会遇到一些看上去很难求解的问题,此时如果能够恰当地联想,到某个典型问题的解法,常常可以寻觅到解题的佳径.例1若a、b、c、a+b+c均不为零,且1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c),则a+b=0,或b+c=0,或c+a=0.     

一类最值问题的巧思与妙解

最近阅读了2014年《高中数学教与学》第6期叶红萍老师的文章《与不等式有关的最值问题解法探析》,文中的例7是一道以二次不等式恒成立为背景的最值问题,笔者经过解题研究发现这类问题均可通过赋值法求解,题目如下:例1已知对于任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c≥0恒成立,且a相似文献   

促进化学思维训练的好题

一、选择题 1.设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合M和N,那么"a1/a2=b1/b2=c1/c2"是"M=N"的( ). A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件