线段等式“(a/b)=(c~2/d~2)”证法浅议

形如“a/b=(c~2)/(d~2)”的题目,是较复杂的线段比例式,由于求证式两边不是同次幂,证明较困难。这里举例说明几种思考方法,以供参考。一用线段的积代替 c~2或 d~2,进而使问题转化为证明简单的线段比例式。     

应用凑比法证明形如b/a=c~2/d~2的等式

形如b/a=c~2/b~2(a、b、c、d表示线段)的比例的证明,同学们常感到棘手,本文举例说明说它的一种证明方法—凑比法。其思路是将b/a凑成b/x·x/a,若待定线段x使得b/x=c/d且x/a=c/d,则b/a=b/x·x/a=c~2/d~2。例1 如图1,自⊙O外一点P作⊙O的切线PA,过P作割线PCB,求证:PB/PC=(AB)~2/(AC)~2 分析:设PB/PC=PB/x·x/PC(x为待定线段),先证明PB/x=AB/Ac,由此确定出x,再证明     

第51届IMO预选题(一)

代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于     

一个不等式的几何证法

已知a、6、c、d均为正数,求证:(a~2 b~2 c~2 )~(1/2) (b~2 c~2 d~2)~(1/2) (c~2 d~2 a~2)~(1/2) (d~2 a~2 b~2)~(1/2)≥3~(1/2)(a b c d)。从要证明的结果中容易看出,左边四个根号内都是三个非负数的完全平方和,而长方体的对角线的长等于相邻的三边平方和的平方根,就想到了用立体几何知识来解这个问题。证:如图所示,作棱长为a、b、c的长方体OP,再作棱长为b、c、d的长方体PQ,且使长方体PQ的三方向的棱     

巧构有理化因式解题

大家知道,形如a c~(1/2)+b d~(1/2)和a c~(1/2)-b d~(1/2)这类互为有理化因式,它们的和、差均较原式简单,而积且为有理数。因而当题目中只出现a c~(1/2)±b d~(1/2)形的无理式时,可考虑构造出它的有理化因式,再施以加减乘除运算,将会简化计算过程,收到化繁为简的效果。现举例如下。     

第40届IMO预选题解答(上)

数论部分 1.本届IMO第4题. 2.证明:每个正有理数都能被表示成(a~3 b~3)/(c~3 d~3)的形式,其中a、b、c、d是正整数。 证明:对于区间(1,2)内的有理数m/n,其中m、n是自然数,我们选择正整数a、b、d,使b≠d,且a~2-ab b~2=a~2-ad d~2,即b d=a,则     

一类不等式的联想、证明及推广

解题离不开联想。当思维受阻时,必须另辟蹊径,还需联想。解题结束,看看有无解题的最佳策略?命题可否推广?怎样编造新题?更需联想。请看下题: 已知a、b、c、d∈R~+,且 a~2/1+a~2+b~2/1+b~2+c~2/1+c~2+d~2/1+d~2=1。求证:abcd≤1/9。这是一道有一定难度的不等式证明题。怎样证明呢? 第一次联想,自然会想到从条件出发,运用     

ab=c~2±ef型的解题规律探索

平面几何中,常常出现 ab=c~2±ef 型的证明题.这类问题学生深感难解,很有必要进行研讨.我认为用平方项转化法,容易解决这类问题.平方项的转化通常有两类:线段的内分和线段的外分.     

平凡的方法,非凡的功效——应用配方法破解数学竞赛试题

正配方法是中学数学一种最普通、最基本、最简单的方法,它看似平淡无奇,但一些较高难度的数学竞赛试题应用配方法破解,却会收到意想不到的效果,可使问题化难为易、化繁为简.兹举例说明。一、应用配方法破解求值问题例1(2008年庆阳市高中数学竞赛试题)已知实数设a、b、c、d满足a+b+c+d=4,a~2+b~2+c~2+d~2=4,求abcd(1/2)的值.简析对两个已知等式配方得a~2+b~2+c~2+d~2-     

"不等式的证明"(复习)课堂实录

[本课选自人教版《数学》(必修)第2册(上).]一、不等式证明的常用方法和基本不等式师:前面我们复习了不等式的性质,现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题:例1:求证:(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2如何证明这个不等式呢?我们回忆一下,不等式证明有哪些常用的方法?生:比较法、分析法和综合法.     

一道IMO备选题的雏形及推广

第31届IMO备选题中,有一道不等式证明的试题,我们把它表述为:命题2 设a、b、c、d为非负实数,且满足 ab bc cd da=1,则a~3/(b c d) b~3/(a c d) c~3/(a b d) d~3/(a b c)≥1/3综合条件与结论,就是:命题2 对于a、b、c、d∈R~ ,有a~3/(b c d) b~3/(a c c) c~3/(a b c) d~3(a b c)≥1/3(ab bc cd a).仔细研究,不难发现,命题2的雏形是常见的     

最值问题及其解法研究

最值问题是中学数学的重要组成部分,在各种数学竞赛里,每年高考题中常常出现。问题表现的形式灵活多样。本文从问题的给出形式上作归纳总结。并以实例介绍和探讨处理这类问题的一些常用方法。 1.判别式法 例 已知a、b、c、d、e均为实数,且a b c d e=8,a~2 b~2 c~2 d~2 e~2=16,求e的最大值。（第七届美国数学竞赛题） 解 设二次函数f（x）=4x~2 2（a b c d）x （a~2 b~2 c~2 d~2）,     

初中赛题 高中背景

正2013年全国初中数学联合竞赛试题第二试(A)的第1题和第二试(B)的第3题,用高中数学知识来解决优势明显.下面给出这两道题的解(证)法,供大家欣赏.试题呈现1(2013年全国初中数学联合竞赛第一试(A)第1题)已知实数a,b,c,d满足2a~2+3c~2=2b~2+3d~2=((ad-bc))~2=6,求(a~2+b~2)(c~2+d~2)的值.此题背景是高中数学常见的椭圆问题或三角函数问题或向量问题或柯西不等式,既有趣味性又不失思维的深刻性.     

几个常见数学问题的联接

日本《代数学辞典》上册(上海教育出版社1982年出版)第589页的问题2412为问题1 设 a、b、c 是正数,a~2 b~2=c~2,证明 a~3 b~3相似文献   

一道IMO予选题的解法新探及再推广

设a、b、c、d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证:a~2/(b c d) b~2/(a c d) c~2/(a b d) d~2/(a b c)≥1/3.此题为第31届I MO由泰国提供的予选题.文〔1〕~〔3〕已给出不同证明方法;文〔12〕予以推广.本文再给出新的证明方法及再推广.为行文方便,记A=b ac3 d b3a c d a cb3 d a     

等比数列的性质

性质1 如果a,b,c三个数成等比数列,则a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3)=a~3 b~3 c~3证明: ∵a,b,c成等比数列 ∴b/a=c/b 左端=a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3) =b~2c~21/a a~2c~21/b a~2b~21/c =a~3 b~3 c~3=右端性质2 如果a,b,c,d四个数成等比数列,则     

新证R≥2r及应用

三角形之外接圆半径与内切圆直径间的关系R≥2r的已有证明比较复杂,本文给出一个较简单的证法,进而解有关问题。为应用方便,有关结论以命题形式出现。命题1 三角形外接圆半径与内切圆半径之积的2倍,等于这个三角形的三边之积与三边之和的比。证明:∵S_△=1/2r(a b c),即2r=4S_△/(a b c)又∵S_△=(abc)/4R,即R=(abc)/4S_△。故2rR=(abc)/(a b c)。命题2 若三角形的三边为a、b、c,则abc≥(a b-c)(a c-b)(b c-a)。证明:∵abc-(a b-c)(a c-b)(b c-a)=abc-(a~2b a~2c b~2a b~2c c~2a c~2b-     

《数学通报》问题1570与一个和式不等式

《数学通报》2005年8月号数学问题的1570给出如下不等式链:设 a,b,c∈R~ ,求证:a~5/b~3 b~5/c~3 c~5/a~3≥a~/b~2 b~4/c~2 c~4/a~2≥a~3/b b~3/c c~3/a≥a~2 b~2 c~2.(1)(注:这里我们略去了原问题中的最后一个常见的不等式.)本文通过对这个问题不同证法的探究,得到一个和式不等式,并利用这个和式不等式对问题1570进行再证和拓广.     

Cauchy不等式的初等证法五种

六年制重点中学高中《代数》第二册94页上的练习题;证明ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)(c~2+d~2)~(1/2)是著名的Cauchy不等式的一个简单特例。该书在不等式一章的习题中,曾多次出现Cauchy不等式的影子,却始终没有公开“亮相”。这种隐而不现的安排当然是编者有意设计的,其用意主要是为了训练学生证明不等式的基本功。     

一个条件不等式的简证

题目 已知a~2 b~2-kab=1 ① c~2 d~2-kcd=1 ② (a、b、c、d、k都是实数。|k|<2) 求证|ac-bd|≤2/(4-k~2)~(1/2) 此不等式在一些刊物上已给出了十几种不同的证法。现再给出一种较简洁的证法。