祖暅模型的构造

高中教材利用祖暅原理,推导一些标准的几何体的体积。本文就用祖暅原理求某些“非标准”的几何体的体积作出了一些尝试。     

中西未合璧 异曲仍同工

正求复杂几何体的体积问题一直是数学中的一个难点.如果所求几何体是柱、锥、台、球中的一种或与之相关的组合在一起的几何体,我们可利用公式解决.如果公式解决不了时,就需要另辟蹊径,这里从理论上介绍两条途径:中国的祖暅原理、西方的微积分.一、什么是祖暅原理南北朝时代南朝的数学家祖暅求球体积时,使用一个原理:"幂势既同,则积不容异"."幂"是截面积,"势"是立体的高.意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体     

基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积

高中数学新课程标准提倡数学探究和数学文化,要求“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容,选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物”.[1]祖暅原理是我国传统数学的一个非常重要的成就,它与兆示着微积分萌芽的卡瓦列里原理(B.Cavalieri,1598—1647)相媲美,比卡瓦列里原理早1000多年,历史上祖原理是祖暅推导球体积公式时提出的.为了使学生受到优秀传统数学文化的熏陶、培养学生的探究能力,我们将对祖原理和球体积进行教学设计,把数学史知识恰当地融入数学教学.1教材关于祖日恒原理与球体积的安排为了培养学生的探究能力和创新能力,高中数学新教材安排了“探究与发现祖原理与柱体、锥体、球体的体积”[2]这样一个研究性专题.在这个专题中教材首先简单介绍了祖暅的生平便直接给出祖原理,然后由祖原理和长方体体积推导出棱柱、圆柱、棱锥以及圆锥的体积,最后取一个底面半径和高均为R的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体与半球放在同一水平面上,然后证明这两个几何体合乎祖原理的要求,断定他们的体积相等,从而求出半球的体积.教材中关于祖原理和球体积的安排无疑可以...     

融入数学史的高中数学教学研究——“祖暅原理与几何体体积”的重构设计

采用发生教学法对“祖暅原理与几何体的体积”进行设计，将祖暅原理的机理通过问题情境创设，借助数学逻辑推理，引导学生经历再发现的过程，创设“敏于观察——善于总结——勤于思考——勇于创新——乐于反思”的教学环节，激发学生的学习兴趣和动机，引发学生的数学思考，在探究过程中实现知识的自然生成，以及学生对知识的理解、内化和迁移.     

探究法在几何教学中的应用

在中师几何第一册关于“球的体积”教学中,笔者尝试用探究法,根据祖暅原理,从已知和未知的关系入手,引导学生剖析了与半球符合祖暅原理条件的几何体的大小及其内外部形状。从而顺利地找出了所需要的几何体,并求出了它的体积。这样,较好地调动了全体学生学习的积极性,提高了学生分析问题和解决问题的能力,收到了满意的效果。     

“球的体积公式及其应用”的教学设计、实践与反思

球的体积公式是上海教育出版社的数学高中三年级第十五章“简单几何体”的中的内容之一.教材中对于球的体积公式没有给出具体推导过程,本节课设计了运用祖暅原理推导半球的体积公式,加深了学生对祖暅原理的理解,培养学生将空间图形转化为平面图形解决问题的能力,在课堂中培养学生的核心素养,体会其中蕴含的类比、转化等数学思想方法.     

用祖原理求平面图形面积

为了求“非标准”的平面图形面积,本文借助祖暅原理,把“非标准”的平面图形进行空间平移转化为“非标准”的几何体,然后求出该几何体体积,再由体积公式求出该平面图形面积。通过推广该方法可以用于求由一次函数或二次函数所围成的几何图形的面积。     

祖暅原理与一类曲线旋转体体积

祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.     

由祖暅原理联想证明数列和的不等式

祖暅原理在高中“立几”中是以公理形式给出的,它指出:“夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何     

关于环体体积公式

高中立体几何教材(第97页)给出了环面和环体的概念:一个圆绕同一平面内与它不相交的一条直线旋转形成的旋转面叫做环面,环面所围成的几何体叫做环体。同时指出(第123页):“…环体的体积,还要在以后用积分法去解决。”事实上,并不一定要用积分法,应用祖暅原理和圆柱体体积公式,即可求出环体体积。     

祖暅原理的推广及应用

祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:"幂势既同,则积不容异."这里的"幂"指水平截面的面积,"势"指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.这个原理卡瓦列利于公元1635年在《连续不可分量几何》里独立提出,所以也叫卡瓦列利原理.下面是两个推论.     

历史为镜,渗透思想,问题为线,优化路径——以“球的体积与表面积”教学为例

<正>“球的体积和表面积”位于《普通高中数学课程标准(2017年版)》^[1](以下简称《课标》)几何与代数主线的立体几何初步部分.《课标》对立体几何初步的要求是了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法,运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,建立空间观念.球作为高中阶段重要的旋转体,其探究过程涉及到祖暅原理、极限分割等方法,蕴含着转化、极限的数学思想,为以后进一步学习空间几何体和导数做好铺垫,具有承上启下的作用.     

用祖暅原理求球体积的两种辅助体设计

利用祖暅原理求球体体积计算公式,先需设计一个满足条件且易求得体积的辅助体,高中课本《立体几何》(甲种本)及中师课本《几何》第一册同是设计一个底面半径和高相等的圆柱中间挖去一个最大的倒置圆锥的几何体为辅助体。本文给出另两种辅     

刘徽对体积理论的研究

刘徽的体积理论主要集中在他为《九章算术》所作的注文中(263)。由于他所处理的几何体的种类以及所使用的方法都有超出《几何原本》的地方,所以他的体积理论为越来越多的人所注意。本文的目的是介绍刘徽体积理论中的几个基本原理,即出入相补原理、刘徽原理、刘徽——祖暅原理以及一些应用。     

祖暅原理的形成及其现实教育意义

结合教材内容,通过对祖暅原理形成过程的分析,针对当前数学教学存在的一些问题,讨论其蕴涵的数学思想、方法以及人物的精神在现实教育中的意义,建议把祖暅原理形成的历史纳入教学内容.     

拆衣服的数学家

我们熟知的“祖暅原理”在西方被称为“卡瓦利里原理”，他们认为这一原理最先是由卡瓦利里发现的，关于卡瓦利里是如何发现的，还有这样一段故事．     

两个基本原理的推广及应用

原理1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度总相等,那么这两个平面图形的面积相等.推广1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的比总是一个常数.那么这两个平面图形的面积比等于这个常数.原理2(祖暅原理)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的两个截面的面积总相等.那么这两个几何体的体积相等.     

祖(日桓)原理的应用

立体几何中的“公理六”(即祖(日桓)原理),课本中很少涉及它的应用。除了柱、锥体积公式推导外,仅有球的体积公式用祖(日桓)原理推导。因此,到高三时,大多数学生对这一原理仅有模糊的印象,更谈不上掌握及应用了。为了使学生能更好掌握这个原理,我们通过将解析几何中椭圆、双曲线、抛物线绕对称轴旋转后,所得到几何体体积计算来加深对祖(日桓)原理的认识。祖(日桓)原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,     

祖暅原理及其应用

祖暅的开立园术是我国数学史上的一个重大发明。所謂“开立园”就是从球的体积求它的直徑,反之从球的直徑求它的体积,則叫做球积术。祖氏的运算是根据一条由他提出的命題获得成功的,这命題我們現在称之为祖暅原理。为了貫彻爱国主义教育,无論在中学里或师范院校里,讲授立体几何时总要提到祖暅原理。不过若仅敍述这原理而不把祖氏求球体积的步驟說明,不足以显示它的作用;就是这样,也还不够,若不扩大它的应用范圍,讲解一些例題和布置一些习題,則学生对于这原理的重要性,仍不能进一步地体会,因而对于祖氏的贡献就不能得到适当的評价。为此草此短文,除了介绍祖暅     

浅谈球的体积的教学

立体几何课本中球的体积公式的推导,若照本宣科地讲,学生会存在这样一些疑问:为什么不直接从球体入手而要从半球入手?怎么会想到设计一个圆柱体内挖去一个倒放的圆锥的剩余部分作球的辅助体?是否还有别的推导方法或别的辅助体? 一求新的几何体体积的方法和依据由“祖暅原理”和柱、锥、台体积公式的推