浅谈数形结合解复数题

由于复数内容综合性强,复数问题的解法一般具有可选择性．结合复数及其运算的几何意义,许多复数问题可从其几何意义入手分析,利用数形结合的方法加以解决．本文意在对通过以下几个方面数形结合解复数题的基本思路,作进一步阐述,一、利用复数的几何表示解题复数Z＝a＋bi（a,bR）与复平面内的点P（a,b）是—一对应的,这就为通过图形直观地求解有关复数问题提供了依据．例求下列复数的三角式：一般地,设Z＝a＋bi,其三角形式是：（Ⅰ）若a＞0,b＞O,则（Ⅱ）若a＞O,b＜0,则（Ⅲ）若a＜o,b＜o,则二、利用复数的向量表示及复数…     

用类比法解复数的三类问题

1．复数的运算,类比多项式的运算 复数代数形式的加法、减法运算法则（a＋bi）±（c＋di）=一（a±c）＋（b±d）i; 复数代数形式的乘法运算运算法则     

应用运算定律进行有理数混合运算

应用如下运算定律可简化有理数的混合运算过程．1．加法交换律a＋b＝b＋a．加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）3．乘法交换律ab＝ba．4．乘法结合律（ab）c＝a（bc）．5．分配律a（b＋c）＝ab＋ac现以九年制义务教材《代数》第一册（上）的部分习题为例说明如下．一、应用加法交换律、结合律解1．将正负数分别结合相加解原式＝（5＋3＋9）＋［（－6）＋（－4）＋（－7）］＝17＋（－17）＝0．2．将相加得零的数（尤其是互为相反数的两个数）结合起来相加3．将相加能得到整数的加数先行相加例3计算：4．将同分母先加减5．将带分数拆开相加6…     

一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

数学(三)期末复习自测题

一、复数 1.数_称为虚数单位。 2.i的幂有周期性,所以_=1、 =1、=i、=-i。 3.1 i i~2 … i~(50)_。 4.复数Z的代数形式是_、三角形 式是_。 5.复数Z=a bi(其中a、b都为实数)中a叫做_、bi叫做_、b叫做_;Z表示实数需满足_,Z表示0需满足_且_,Z表示虚数需满足_,Z表示纯虚数需满足_且_。 6.两个复数Z=a bi、Z_1=c di ,Z=Z_1的条件是_和_。 7.如果两个复数都是_,可以比较大小,如果_,就不能比较大小。 8.在复平面上x轴称为_,y轴称为_,原点O在_上,它表示_。 9.两个互为共轭复数Z与的实部 _,虚部_;Z =,Z-= ,Z·=,=。 10.复数Z=a bi可以用复平面以 _为起点,点_为终点的向量来表示,向量的_叫做这个向量的模。 11.复数Z=a bi(a≠0)的幅角θ可用公式_求得,模可用公式_求得。两个共轭复数的模_。 12.Z=a bi化成r(cosθ iSinθ)来表示,其中模r=_,幅角θ有公式cos=_,sinθ=_。 13.复数幅角θ的主值取_,在电     

复数

课时一　复数的概念及其向量表示 基础篇 诊断练习一、填空题1.正整数集 N*、自然数集 N、整数集 Z、有理数集Q、实数集 R、复数集 C之间有包含关系 .2 .复数 z =a +bi( a、b∈ R) ,当且仅当时 ,z为实数 ;当且仅当时 ,z为虚数 ;当且仅当时 ,z为纯虚数 .3.如果 a、b、c、d∈ R,那么 a +bi =c +di .两个复数不全为实数时 ,不能比较它们的大小 ,只能为 .4 .建立了复平面后 ,复数 z =a +bi( a,b∈ R)与复平面上的点 Z( a,b) ,与复平面内以原点 O为起点 ,点 Z( a,b)为终点的向量 OZ .向量 OZ的长度叫做 ,记为 |z|,故有 |z|=|OZ|=.二、选…     

利用向量与复数巧解旋转问题

复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应,而点Z(a,b)与向量OZ一一对应,可以将Z(a,b)和OZ都看成是复数z=a+bi的几何形式.从向量的发展历史来看,向量能够进入数学并得以发展,复数在其中出力不少.复数几何表示的提出,既使得"虚幻"的复数有了实际的模型,不再虚幻;又使得人们在逐步接受复数的同时,学会利用复数来表示和研究平面中的向量,向量从此得到发展.发展至今天的向量,如果与复数再度携手,又能在哪些方面有所作为呢?     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

巧变形 妙判根

一、变成完全平方式的形式例１已知关于x的一元二次方程（k２－k－２）x２－（５k－１）x＋６＝０（k≠２，k≠－１）．求证：这个方程一定有两个实数根．证明：∵k≠２，k≠－１，∴k２－k－２≠０．∵Δ＝〔－（５k－１）〕２－４·６（k２－k－２）＝k２＋１４k＋４９＝（k＋７）２≥０．∴该方程一定有两个实数根．二、变成完全平方式加一个非负数的形式例２已知：a、b、c是实数，且a＝b＋c＋１．试证：两个方程x２＋x＋b＝０和x２＋ax＋c＝０至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明：两个方程的判别式分别为Δ１＝１－４b，Δ２＝a…     

二次根式的运算与平方法

平方和开平方互为逆运算．当我们把一个非负数同时实施这两种运算时，其值不变．这一事实已由公式（a√）２＝a（a≥０）表述出来．它在二次根式的运算中有着相当重要的作用，不可小视．例１设a＝２００３√＋１９９７√，b＝２００２√１９９８√，c＝２２００１√．试比较a、b、c的大小．解：由已知可得：a２＝４０００＋２２０００２－９√，b２＝４０００＋２２０００２－４√，c２８００４．∴a＜b＜c．例２若x＝４－３√，则分式x４－６x３－２x２＋１８x＋２３x２－８x＋１５＝．分析：因x＝４－３√，故４－x＝３√．两边平方得：x…     

谈谈复数的复习

复数的复习,首先要求学生对于复数的概念及性质,四种表示方法及复数的运算法则要熟练掌握,并使他们明确任一复数Z=a bi与复平面内的一点Z(a,b)及它所表示的向量OZ,三者之间是一一对应的,并且复数的各种运算,都具有其特定的几何意义。这样才能灵活、准确地进行解题运算或     

整体思想在整式加减中的巧用

在整式运算中，若能善于把一个代数式看作一个整体，这样不仅能化繁为简，收到事半功倍之效，而且还能减少运算中因多次变号而出现的错误．下面举几例说明．例1计算：3（a＋b＋c）＋8（a－b－c）－7（a＋b－c）－4（a－b－c）．分析此题常规解法是先去括号，然后含并同类项，运算比较繁琐．若将a＋b－c，a－b－c各看作一个整体，可得如下简便解法：例2计算：分析此题若视小括号内的代数式为一个整体，先去中括号，再去小括号，这样不仅计算简便，而且还能减少运算中多次变号而出现的错误．例3已知a＋b＝5，求7（a＋b）－9a－9b＋11的值．分…     

Gerretsen不等式的加强

贵刊文［1］将一道课本练习题改造，加强为：设a、b、c为非负实数.则文［2］将（1）式进一步加强为：设a、b、c为非负数，m＝min(a，b，c），则现在可以利用（2）式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为：这里，a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长，半周长，外接圆半径和内切圆半径，m＝min{1/2（b＋c－a），1/2（c＋a－b），1/2（a＋b－c）｝．证对（2）式作置换a→1/2（b＋c－a)，b→1/2（c＋a－b),c→1/2（a＋b－c）．这里，后者中的a、b、c构成某一三角形三边长．这样，由（2）式经化简整理（具体过程从略）可得依据三角形中恒…     

完全平方式的应用

一、直接应用１．（a±b）２＝a２±２ab＋b２例１已知a＋１a＝－２，则a４＋１a４＝．（２００２年全国“希望杯”初一数学竞赛试题）解：∵a＋１a＝－２，所以a＋１a ２＝（－２）２，即a２＋１a２＝２．∴a２＋１a２ ２＝２２，即a４＋１a４＝２．２．（a±b）２＋（b±c）２＋（c±a）２＝２（a２＋b２＋c２±ab±bc±ac）例２已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ac的值为（）．A．０B．１C．２D．３（２００２年全国初中数学竞赛试题）解：由已知得a－b…     

向量问题一览

1．向量的平行与垂直 例1已知向量a=（1,2）,b=（2,-3）,向量c满足（c＋a）//b,c⊥（n＋b）,则c=____（09年浙江卷）分析此题主要考查平面向量平行和垂直的坐标关系．对于向量的平行垂直判定,需要熟知结论：     

复数的三种形式和解题的四种思路

在中学,复数 z 有三种表示形式:代数形式(z=α bi,其中,α,b∈R),三角形式(z=r(cosθ isinθ),其=中 r>0)与几何表示(复数 z=α bi 与复平面内的点Z(a,b)或向量■一一对应),因此,在解决复数问题时,就可以利用复数的代数表示、三角表示或几何表示中的一种加以解决.在某些问题中,把复数 z 看作一个整体加以处理,也是一种思路.总之,在解决复数问题时,有上述四种解题思路,其中前三种是常用的.问题的关键之一是恰当的选择复数 z 的某种表示,从而可以优化解题过程.下面举几个例子说明.     

从一个程序浅谈C语言运算符的灵活性

在讲述C语言的十十和—一运算符时,有同学提出这样一个程序：main（）｛inita＝3,b＝5,c;c＝a*b＋＋＋b;要得出c的值,首先要搞清＋＋＋的含义。＋＋运算符的结合方向是自右向左的,所以有同学将表达式理解为：c＝a*b＋（＋＋b）;实际上C编译器将表达式处理为：c=（a*b＋＋）＋b,因为C编译器总是从左至右尽可能多地将若干个字符组成一个运算符,如i＋＋＋j等价于（i＋＋）＋j。接下来是解决a*b＋＋的问题,因为＋＋运算符的运算对象只能是整形变量而不能是表达式或常数,所以a*b＋十显然是a*b＋＋）而非（a*b）＋＋,因此整个表达…     

二次函数学习指要

y＝ax２＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠０）是二次函数的一般形式，图象是抛物线．通过配方，可以把二次函数表示成y＝a（x－h）２＋k的形式，此时h＝－b２a，k＝４ac－b２４a．由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线x＝－b２a，顶点坐标是（－b２a，４ac－b２４a）．当a＞０时，抛物线开口向上；当a＜０时，抛物线开口向下．如果知道一条抛物线上三点的坐标，那么可用待定系数法求出相应的二次函数的解析式．关于二次函数的图象，教科书１３．７节用了很大篇幅讲述了用平移法作出y＝ax２＋bx＋c的图象（即由抛物线y＝ax２左右上下平移得到）…     

从基础到能力的跨越——记一道习题的讲评课

九年义务教育三年制初中《代数》第三册（人教版）P１４５有这样一道习题：一条抛物线y＝ax２＋bx＋c经过（０，０）与（１２，０），最高点的纵坐标是３，求这条抛物线的解析式．这道题并不难，基本解法大多数同学都可以想到：因为抛物线经过（０，０）与（１２，０），最高点的纵坐标是３，所以，得c＝０，１４４a＋１２b＋c＝０，４ac－b２４a＝３ 解之得，a＝－１１２，b＝１，c＝０．于是求得抛物线的解析式为y＝－１１２x２＋x．我们利用这道题开展丰富的联想，引导学生对题目进行多角度、全方位综合分析、变形，使学生对所学…     

中学生课外基本练习题

初中部分1.1如图，已知CO⊥AE，BO⊥DO，O为垂足，则分别与∠BOC互余和互补的角的个数是（）（A）l，0；（B）2，0；（C）1，l；（D）2，1．l.2已知：z＝ct，(x2＋y2＋z2）（a2＋b2＋c2)＝（ax＋by＋cz）2．求：a/x和b/y的值（用t表示）．2．2如图，已知正方形ABCD的边长为a，DF＝b，EB＝c，EF＝DF＋EB，设正方形面积为S，求证：S＝ab＋bc＋ca．3.1已知a、b、c分别是△ABC的三条边长，方程4x2－4a2x＋b4＋c4－b2c2＝0有相等的实数根，且sin2A（bcosB－ccosC）＝acosA（sin2B－Sin2C），试判断△ABC的形状．3.2如图，已知…