三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

化归思想应用举例

学习数学离不开数学公式，正确理解、灵活运用数学公式离不开化归的思想方法．下面以多边形内角和公式的应用为例，谈谈把非公式形式的数学问题化归为公式形式，从而解决有关的实际问题．例１在图１中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．分析这一图形是一个五角星形，其中五个角的和可化归为三角形的内角和．解设AB和CD相交于M，CD和AE相关于N，则∠AMN＝∠B＋∠C，∠ANM＝∠D＋∠E，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠AMN＋∠ANM＝１８０°．注这种化归为三角形内角和的方法也适用于图２．例２在图３中，求∠A＋∠B＋∠C…     

“一角”定“八角”

责任编辑王写之已知△ABC中，∠A＝７０°，如果要你画出图形，你一定会说可以画无数个，因为△ABC中仅知道∠A＝７０°，∠B或∠C的大小不固定，三角形的任何一条边长也不确定，因此三角形的大小形状都在改变．但这无数个变化的三角形中，有一些特定位置的角的值是固定不变的，它们的大小由∠A的度数决定，而与∠B、∠C的大小无关．举例说明如下：例１△ABC中，已知∠A＝７０°，H是角平分线BD、CE的交点．求∠BHC的度数．解：∠BHC＝１８０°－∠HBC－∠HCB＝１８０°－１２∠ABC－１２∠ACB＝９０°＋１８０°－∠ABC…     

借助辅助线求多边形内角和

一些较复杂的图形题，都是由简单图形演变而成的，只要能借助辅助线变形化简，解法就接踵（zhǒnɡ）而至了。例１设任意五边形ABCDE，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝？解：经过A点向C、D作对角线，把五边形ABCDE分成△ABC、△ACD、△ADE。因为每个三角形的内角和为１８００，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝１８００×３＝５４００。例２凸多边形ABCDE……N有n个边，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋……∠N＝（n－２）×１８００证明１：在多边形内任取一点O为顶点，向n边形各顶点引辅助线，把n边形分成n个三角形，其内角…     

数学问题与解答（2005年第6期问题解答）

如图1，在ΔABC中，∠C=4∠A,CD是角平分线，且AD=DC＋BC，求∠A、∠B、∠C的大小。     

巧用旋转解题

例１已知p是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是５∶６∶７，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个内角的大小之比是（从小到大）．下面给出这道题的一个解法：∵∠APB∶∠BPC∶∠CPA＝５∶６∶７，又∠APB＋∠BPC＋∠CPA＝３６０°，∴∠APB＝１００°，∠B     

(四)全等三角形测试卷(B)

一、填空题（每空5分，共40分）：1．若三角形三边长分别是4、9、2x＋1，则X的取值范围是_____．2．若三角形三内角的比是2。3：1，则这个三角形是_____三角形．3．如图1，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，BEAC，CDAB，垂足分别是E、D，BE、CD相交手F，则∠ABE=_____，∠BFC_____．4．如图2，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=＿．5．如图3，∠C=90，角平分线AD、BE相交手O，则ZAOE=___．6．在ABC中，若∠C=90°，∠A－∠B=30°，则∠A=____，∠B=___．二、单项选择题（每小题5分，共澳分）；1．在ABC中，a＝4k，b=3k，c=4，k为…     

正射影下角与其射影角的大小关系

一、提出问题有这样一道立体几何选择题：∠Ａ的顶点在平面Ｍ外，∠Ａ的两边与平面Ｍ相交于Ｂ、Ｃ两点，∠Ａ所在平面与平面Ｍ斜交，则∠Ａ与∠Ａ在平面Ｍ上的射影角∠Ａ１的大小关系是（）．Ａ．∠Ａ＞∠Ａ１Ｂ．∠Ａ＜∠Ａ１Ｃ．∠Ａ≤∠Ａ１Ｄ．∠ＡＡ１本题正确答案...     

用三角尺画特殊角

不少的课本上有这样一题：如图1和图2是一副三角尺拼成的两个图案．（1）试确定图1中的∠A，∠ABD，∠D的度数；（2）在图2中，求∠EFC，∠CED，∠AFC的度数。[第一段]     

30分钟智力冲浪

1．已知如图1，E是DC上的一点，DC／／AB，AE与BE分别是∠DAB与∠ABC的角平分线．如果∠D＋∠C=∠230&;#176;，那么∠AEB=     

《图形平移与旋转及四边形性质》检测题

一、想一想，填一填 1．如图1．在△ABC中．BC边不动，A点竖直向上运动，∠A越来越小．∠B、∠C越来越大，若∠A减少α．∠B增加β，∠C增加γ，则α、β、γ三之间的关系是_____。     

同位角·内错角·同旁内角

同位角、内错角、同分内角是几何中的基本概念．由于课本中给出的是描述性定义，而没有给出精确定义，因而对这几个概念的理解，同学们感到有不少困难．透过现象抓住其实质，是学好这几个概念的关键．同位角、内错角、同旁内角的定义，课本是这样给出的：“先看图1中∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的上方并且都在直线EF的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角．∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8也是同位角．再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角叫做内错角．同样，…     

"三角形内角和"(小学数学第八册)

∠1∠2∠3内角和直角三角形锐角三角形钝角三角形一、激趣引入多媒体出示一幅直角三角形的图。师：这是一个什么三角形？我们知道三角形有三个角，因为这三个角在三角形的内部，所以他们是三角形的内角。平时，∠1、∠2、∠3都非常团结。可是有一天，∠2突然不高兴，发起脾气来（屏幕出现∠1和∠2激烈的争论场面）。它指着∠1（直角）说：（多媒体演示）“你凭什么度数最大，我也要和你一样大。”“不行啊，老弟”，∠1说：“这是不可能的，否则我们这个家就再也围不起来了。”“为什么？”∠2很纳闷。同学们，你们想知道其中的道理吗？学了…     

《证明二》创新训练题

一、填空题。1、如图1，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是∠ACB的平分线，∠ADC＝150&;#176;，则∠ABC＝＿＿度。     

运用角度关系式 巧解几何应用题

三角形的内角和定理及其推论以及周角等于３６０°的结论，在求解几何应用问题中有着广泛的应用．下面举两例以增强同学们的数学应用意识．例1一个零件的形状如图１，按规定∠A应等于９０°，∠B、∠C应分别是２１°和３２°，检验工人量得∠BDC＝１４８°，就断定这个零件不合格，这是为什么？（１９９９年宁夏中考试题）解：延长BD交AC于M，或延长CD交AB于N，利用三角形内角和定理的推论可得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．若零件合格，则∠A＝９０°，∠B＝２１°，∠C＝３２°，∴∠BDC＝９０°＋２１°＋３２°＝１４３°．而检…     

15°角的应用

例1 已知△ABC中，∠BAC：120°，∠ABC=15°，∠A、∠B、∠C的对边分别为n、b、c，求a：b：c．(1996年淮阴市中考题)     

平行线的功能与作用

我们知道．平行线有如下性质：1．两直线平行，同位角相等；2．两直线平行，内错角相等；3．两直线平行，同旁内角互补．因此，利用平行线的性质，可以：1．证明两个角相等；2．求角的度数；3．把一个角大小不变地迁移到我们所需要的图形中．这就是平行线的基本功能与作用．例1已知：如图1，E是DF上的点，B是AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．分析由图形知，∠A与∠F是内错角．因此，要证∠A＝∠F，只须证DF∥AC．这只要根据已知证出∠D＝∠ABD即可．证明∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∠2＝∠3．BD∥…     

四边形性质探索

1．在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=5：4，则∠C的度数是__．     

证明三角形全等的基本思路

证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ…     

一道“燕尾”形几何题的多角度思考

本文以一道“燕尾”形几何题为例，展示如何从多角度思考问题，希望对同学们的学习有所帮助． 题目如图1，探索∠A、∠B、∠C、∠BPC四个角之间的数量关系．