面积法证题

利用图形的面积公式,求解或证明一类几何问题,有它的独到之处.应用这种方法几乎可以解决和证明所有的几何问题,用途十分广泛.可见讨论用面积方法在几何学中的应用是极其意义的.三角形的面积公式是求多边形面积的基础,目前所用到的主要公式并不多,主要有以下几个公式:(1)已知一底及高S_△=(1/2)ah_a=(1/2)ah_b=(1/2)ch_c(2)已知两底及夹角S_△=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB(3)已知三边S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中p=(a b c)/2一、面积法证明成比例线段问题应用三角形面积公式,可以得到一系列结论:1.等底三角形面积比,等于对应高的比,当a=a＇,则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=h_a:h_(a＇)2.等高三角形面积比,等于底的比,当h_a=h_(a＇),则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=BC:B＇C＇     

三角形一个面积公式的应用

高中数学课本(必修5,北师大版)第48页的例3证明了三角形的如下面积公式: 公式在AABC中,→AB=(x1,y1),→AC=(x2,y2),则 △ABC的面积S=1/2|X1Y2-x2y|(*) 该公式不仅给求三角形面积开辟了一条新途径,而且还能使与三角形面积有关的解析几何问题的求解过程变得简捷.下面举出几例说明.     

活用一个面积公式 速解两道高考试题

<正>高中数学北师大版教材必修5中给出了一个坐标形式的三角形面积公式:在△ABC中,AB=(x,y),AC=(u,v),△ABC的面积S=12|xv-yu|.下面,我们利用这个公式来解两道高考试题.例1(2013年山东高考题)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为     

一道平几例题的探讨和应用

统编初中平面几何第二册第85页的例1是一道典型的基本例题。其思考方法十分典型。我们把它称为命题1: 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径。求证:AB·AC=AD·AE。教材上给出了△ABC为锐角三角形的图形,并用三角形相似的办法给出了证明。事实上,△ABC是直角三角形或钝角三角形的情形时,结论仍然成立。另外,用三角形的面积公式和正弦定理也可以证明: ∵BC=2R·sinA=AE·sinA。     

一道初中几何竞赛题之别证

《 中学数学月刊》1997年第2期上介绍了第十一届江苏省初中数学竞赛试题及解答.其中第三道试题为: 设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上,另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等.证明:△ABC为正三角形. 这里,笔者给出上述赛题的另一种证法. 证明 如图1,设一边在BC边上的内接正方形DEFG的边长为x.则由△AGF∽△ABC.可得上x/a=(h_a-x)/h~a,于是x=     

对一道竞赛题的再思考

课余小明解一道初中数学竞赛题:如图1,△ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别是1,1,2,求△ABC的面积.(2004,四川)他的解答过程如下:如图2,易知三个三角形与△ABC均相似.记△ABC的面积为S,则√S1√S √S2√S √√S S3     

应用中线性质解几何题

<正>一、三角形中线将原三角形面积分半.【例1】如图1,在三角形ABC中,BD是中线,AD=CD=12AC,BE⊥AC于E,即BE是△ABC的边AC上的高,同时BE也是△ABD高,也是钝角三角形BCD的高.解:根据三角形的面积公式,S△ABD、S△BCD的面积可     

问题的再思考

例题如图,四边形BMDF和四边形ADEN都是正方形。己知△CDE的面积为6cm2,则阴影部分△ABC的面积为_____．解析显然可利用三角形面积公式S△ABC=1/2AC·BF。图中两个正方形的边长为a、b所以AF=b-a,     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

共高三角形与相似三角形性质的综合应用

共高三角形的性质:共高三角形的面积比等于对应底边的比.题目:如图1,S△ABD=12BD·h,S△ADC=12DC·h,从而S△ABD S△ADC=12BD·h12DC·h=BD DC.特别地,当AD为△ABC中线时,S△ABD=S△ADC.在相似三角形的学习中,此性质常与相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质综合使用,现举两例说明.例1如图2,△ABC与△DEC重叠的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点,且AB//DE.若△ABC与△DEC的面积相等,     

一组三角不等式新证

△ABC中,若a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,△为△ABC的面积,则有 ctgA=cosA/sinA=(b~2 c~2-a~2)/2bcsinA=(b~2 c~2-a~2)/4△, tg(A)/2=(1-cosA)/sinA=(a~2-（b-c）~2)/4△等。由此以及海伦面积公式,不难得出以下一些性质: 1. ctg A ctg B ctg C=(a~2 b~2 c~2)/4△.     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

关于内涵多边形的一个面积不等式

李炯生、黄国勋教授在文[1]中指出,1980年,常庚哲教授介绍了一个关于内涵三角形的面积不等式,即:设△ABC的内切圆切各边于点A'、B'、C',则△A'B'C'的面积≤1/4△ABC的面积,其中当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.     

勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c,且有a2 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”这就是勾股定理的逆定理.它是初中几何中极其重要的一个定理,有着广泛的应用.下面举例说明.一、用于判断三角形的形状例1如图1,△ABC中,BC=a=2n 1,AC=b=2n2 2n,AB=c=2n2 2n 1.求证:△ABC是直角三角形.证明:由已知得:c>a,c>b,即c是最长边.∵a2 b2=(2n 1)2 (2n2 2n)2=(2n 1)2 4n4 8n3 4n2=(2n 1)2 2×2n2(2n 1) (2n2)2=(2n2 2n 1)2=c2,∴△ABC是直角三角形.二、用于求角度例2如图2,点P是等边△ABC内一点,且PA=3K,PB=4K,PC=5K,求∠APB的度数.…     

Janic不等式的推广及逆向不等式

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b、c,R、r,D,ar、br、cr,对△''ABC、△111ABC、△222ABC有类似表示. 1967年,RRJanic曾建立如下不等式[1]: 在△ABC中,有 2224bccbababcrrrrrr++? (1) GATsintsifas将(1)推广到两个三角形[2]: 在△ABC及△''ABC中,有 2224''''bccbababcrrrrrrD++矰. (2) 本文将其推广到三个三角形并得出推广结果的逆向不等式. 命题 在△111ABC、△222ABC及△''ABC中,有 121212121224''''bccbabaabbccRRrrrrrrrDD?+.(3) …     

一道课本练习题及其逆命题的应用

<正>本文现将人教版八年级(下)中的一道习题及其逆命题在中考中的应用介绍如下,供初中师生教与学时参考.题目如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?解因为l_1∥l_2,所以S_(△ABC)=S_(△DBC)(同底等高的三角形面积相等).还可以画出与△ABC面积相等的三角形若干个,只要同底BC,第三个顶点在     

用中线求三角形面积

三角形的中线可将原三角形分成面积相等的两个三角形．如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ABC=S△ADC=1/2S△ABC,利用这个性质,可以巧妙地求出一些三角形的面积．     

数理化园地(9)

数学在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于D,AD=BC,H为△ABC的垂心,P为线段BC的中点,求证:PH HD=(1/2)BC(王定邦供稿)     

一道三角形内接矩形问题的变式探究

<正>一、例题呈现及一般结论例1如图1,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高AD=40cm,四边形PQRS是正方形.(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?(2)求正方形PQRS的边长.解∵四边形PQRS是正方形,所以SR//BC,∴∠ASR=∠ABC,∠ARS=∠ACB. ∴△ASR∽△ABC.可得AE/AD=SR/BC.设正方形的边长为x cm,则AE=(40-