一个关于三角形边长的不等式链

<正>近日,笔者发现了一个关于三角形边长的不等式链,现介绍如下.命题在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥(4-2r/R)abc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.     

关于三角形边长的一个不等式

设△ABC的三个边长与半周长分别为a,b,c和s．在文[1]中,作者对锐角三角形建立了不等式.     

一个三角形的不等式链的建立及证明

命题：设△ABC三边的长为a、b、c，对应的中线长分别为ma、mb、mc，对应的高的长分别为ha、hb、hc，R、r、l、S分别表示为△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积．则有     

关于锐角三角形边长的一个加权不等式

建立了有关锐角三角形边长的一个含有三个正参数的加权不等式,讨论了它的一些应用,提出了两个相关的猜想     

关于三角形边长与高的一个不等式

定理 设△ABC三边a、b、c上的高分别为h_a、h_b、h_c.则有     

三角形边长之间的一个不等式

本文约定:△ABC的三边长、半周长、面积,外接圆半径、内切圆半径分别为a,b,c,P,S,R,r,∑表示循环和.经过探讨,笔者现已得到:定理:3(52RR--rr)≤∑∑aab2≤(2RR2 r)r22.证明:由熟知的恒等式知:∑a2=2(P2-4Rr-r2)∑ab=P2 4Rr r2所以∑a2∑ab=2(P P22 -44RRrr -rr22)=2-P42(4 R4r     

三角形三边长的一个不等式

本文先给出关于三角形三边长的一个不等式，然后由此导出三角形中关于三边长的一系列有趣的不等式．定理设α、b、c表示△ABC的三边长，证当α、β、γ中只有一个为零时，不妨设α=0，这时β与γ互为相反数，显然（1）式成立：当α、β、γ中有两个为零时，另一个必为零，这时（1）成为恒等式0＝0，显然成立．现设α、β、γ都不为零，那么α、β、γ则必不全同号，不妨设β与γ同号，则综上，（1）式成立，证毕．在不等式（1）中，灵活地对α、β、γ赋值，可得关于三角形三边长的一系列有趣的优美不等式．例1在△ABC中，令整理即得1964…     

涉及三角形中线和高线的一个不等式

问题 如图1,已知ha,hb,hc,ma,mb．mc分别为△ABC三边a,b,c的高线长和中线长,求证：     

关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

一个三角形旁切圆半径与边长的不等式

本文通过一个角平分线不等式和中线不等式定理类比得到一个三角形旁切圆半径与边长的不等式.     

关于三角形中线与边长的一个不等式猜想的证明

以正确分类讨论的方法,研究并证明了三角形中线长与其边长的一个十分精彩的不等式猜想问题,从中领悟研究数学猜想证明的魁力所在.     

涉及三角形边长与面积的一个不等式

本文首先利用基本不等式x~2＋y~2≥2xy及海仑公式给出涉及三角形边长与面积的一个不等式，然后由此导出三角形中一系列有趣的不等式．定理设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ,υ，中任意两数之和均大于零，则有证由基本不等式将以上三式相加并整理，得但由海仑公式，上式右边正好是16△~2．由此即知不等式（1）成立，显然（1）中等式当且仅当时成立．这表明当且仅当时（l）中等式成立．证毕．推论设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ，υ，中任意两数之和均大两式中的等式当且仅当成立．一个新的三…     

一个关于三角形三边长及面积的含参不等式

命题 在△ABC中,BC=0,CA=b,AB=C,记△ABC的面积为S,λ〉1为实数．证明：     

关于三角形中线与边长的一个不等式猜想的证明

以正确分类讨论的方法，研究并证明了三角形中线长与其边长的一个十分精彩的不等式猜想问题，从中领悟研究数学猜想证明的魅力所在。     

三角形中线和高的一个半对称不等式

记△ABC三边为a、b、c,相应边上的中线和高分别为ma、mb、mc和ha、hb、hc,内切圆和外接圆的半径为r、R.     

一个新构成三角形的性质

文[1]证明了:若a、b、c为△ABC的三边,则√a2 b2、√a2 c2、√b2 c2亦可构成另一△A′B′C′.本文对于新构成△A′B′C′的性质进行了一些探索与研究,得到如下结果.     

三个几何不等式猜想的证明

正在本文中约定a,b,c分别为△ABC的三边,ra,rb,rc分别为旁切圆半径,s为半周长△为△ABC的面积,R,r分别为△ABC的外接圆半径与内切圆半径.另记∑为循环求和符号.文[1,P403]提出如下猜想(LBQ100)     

一个三角形不等式链的加强

本文给出文献[1]中的一个三角形不等式链的加强形式,并简化了这个三角形不等式链的证明。