用柯西不等式拆分证明一类不等式

<正>笔者在证明一些不等式时,发现有一类含分式的不等式,如果分式的分子是单项式,且分母有多项,则该类不等式可以借助柯西不等式进行拆分证明,即把一个母分式拆分成若干个子分式之和,进而证明此类不等式.在运用柯西不等式拆分时,常需结合均值不等式处理.下面举例说明这一方法的应用.     

分式不等式的证明变形策略

国内外数学竞赛及各大期刊的“数学问题”中，频繁出现的分式不等式证明问题，可谓千姿百态、精彩纷呈．证明这些分式不等式，虽然证法灵活多变、因题而异，但总以一定的变形为基础，通过变形，沟通与已知不等式之间的联系，使问题获解．可以说，恰到好处的变形是证明分式不等式的关键．为此，本文归纳分式不等式证明的变形策略，供读者参考。     

证明分式不等式的变形技巧

近年来,数学竞赛中涉及的不等式大都是分式不等式,这些不等式的证明常常需要较强的变形技巧,为利用有关方法或基本不等式创造条件,本文介绍分式不等式证明中几种常用变形。1 分离整式 如果不等式中涉及的分式为“假分式”(即分子的次数不低于分母的次数),可将其拆为整式与“真分式”的和,常可简化运算,使     

一类分式不等式的统一证明及推广

分式不等式是一类重要不等式,在各类竞赛和自主招生试题中时有出现。本文从一个简单不等式出发,探究了一类分式不等式的统一证明,并将这些不等式做了一些推广,作为课程补充资源供大家参考。     

证明一类分式不等式的通法

文[1]和文[2]给出了一个分式不等式的多种证明方法,介绍的证明方法可谓个个"精妙绝伦",笔者阅后颇受启发,惟一感到有点遗憾的是这些方法都不容易想到.本文介绍一种思路自然且易于操作的证明这类分式不等式的通法,供大家参考.     

化为同分母循环和证明一类分式不等式

分式不等式的证明难,其难点首先体现在如何去掉分母.本文将通过一些例子获得一个证明分式不等式的有效方法,并希望能成为一个通法:这就是将分式不等式的各部分巧妙地化为同分母循环和(即∑A/A B C=1)获证.     

如何使用放缩法证明不等式

依据不等式的传递性,对不等式进行不等关系的变换,即把不等式一边的各项(或因数)换成较大的量或数,添加或删去一些项,使不等式按同一方向变换,达到证明的目的。这种证明不等式的特有技巧称为放缩法。一、利用分数(式)的性质放缩对于分子、分母都是正数的分式(数),当分子不变,分母增大(或减少)时,分式(数)的值变小(或增大);当分母不变,分子增大(或减小)时,分式(数)的值增大(或减小);真(或假)分数的分子,分母加上同一个正数,分数值增大(或减小)。例1:证明不等式1 1!!2 !!13 … !!1n<2!%n!!(n∈N#)证明:∵1!!k=!%k 2!%k相似文献   

巧证一类分式不等式

在证明一类分式不小于整式的不等式时,可以在不等式左边加上适当的式子后利用基本不等式化去分母,把证明分式不等式转化为证明不含分母的不等式,从而达到简化证明过程的目的.     

用等项匹配法证明分式不等式

近年来,在国内外的数学竞赛和数学问题中,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题。常见证法多是利用柯西不等式、切比雪夫不等式等,有的利用特殊的技巧,证明过程多数较繁,极不利于师生的教与学。本文介绍证明这类不等式的一种简便方法—等项匹配法。 等项匹配法是指把待证明的不等式中的某     

巧添“催化剂”妙证不等式

在某些化学反应过程中,适量添加催化剂能加速化学反应的进程,而催化剂本身又能以等量的结果得到"还原".在某些数学解题的过程中,也会出现类似的现象,即根据题意适当添加一些数或一些项,能加速数学解题的进程,且这些数或项又能以等量的结果得到"还原",这些数或项与化学反应中的催化剂有相同的作用.本文例谈在不等式证明的过程中,添加这样的"催化剂",巧妙地证明不等式.     

不等式“(a~2)/b≥2λa-λ~2b(a,b∈R~ )”的应用

在数学竞赛和数学杂志中,常常可以看到一些高难度的分式不等式的证明问题.我们通常用柯西不等式推论证明,然而若用"a~2/b≥2λa-λ~2b(a,b∈R~ )"来证明,则可以得到一种统一的解法且简单易行,还能解决更多的分式不等式的试题.下面举例说明.     

一分式不等式的应用

在现行统编高级中学课本代数第二册中有这样一个公式不等式利用上述分式不等式,可以把一个分式的值放大或缩小,从而使某些不等式得到较简捷的证明。l、三角形内的不等式例l、已知a、b、c是thABC的三边,证明：分析：根据“三角形两边立和大于第二边判断出是正分数,再利用分式不等式（。）证明。2、合约对恒的不等或证明：因为la＋hi＜la十比;,所以,设mm30o由分式不等式（。）,3、莫它一些不等式分析：原不等式可变形为由分式不等式（斑）,也可以得到下面的不等式一分式不等式的应用@周淑云     

不等式“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”的应用

在数学竞赛和数学杂志中，常常可以看到一些高难度的分式不等式的证明问题．我们通常用柯西不等式推论证明，然而若用“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”来证明，则可以得到一种统一的解法且简单易行，还能解决更多的分式不等式的试题．下面举例说明．     

一类对称型分式不等式的导数方法证明探究

在近几年的各类数学竞赛试题中，分式不等式的证明出现较为频繁，其中有很多分式不等式是多变量的离散型问题，对称型分式不等式亦经常出现在很多试题中．本文试图通过几个例子来探究这类对称型分式不等式的导数方法证明的基本模式．     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具.本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用.1 换元后使用均值不等式在高考和竞赛中,对分式不等式和无理不等式的证明,命题者往往情有独钟,屡见不鲜,由于分母或根式中是多项式,常常使学生束手无策,往往求助于放     

一道不等式例题的引伸及应用

由一道不等式例题引伸得到降幂不等式 :tn nt- (n - 1)　 (其中t 0 ,n∈N且n 2 ,当且仅当t=1时 ,等号成立 ) ,并举例说明该不等式在证明高次不等式、分式不等式及求最值、解方程组、证明等式问题中的应用     

证明分式不等式的变形技巧

在证明分式不等式的过程中，无论使用什么方法，都是以一定的变形为基础，通过变形，沟通待证不等式与已知不等式之间的联系，从而使问题获得解决，从这个意义上说，变形成为证明分式不等式的关键．鉴于此，本文归纳出证明分式不等式的若干变形技巧，供同行参考．     

关于一类分式不等式通法证明之研究

先对契比雪夫不等式、琴生不等式及均值不等式做简单证明作为引理,然后给出了一类分式不等式的一个重要定理及相关推论,并利用该定理证明一类分式不等式。     

几个常见分式不等式的统一构造证明

分式不等式的证明一直是一个比较困扰人们的问题．笔者通过构造所谓的“零件不等式”，举例证明了一些常见的竞赛中的分式不等式，这些构造从思想方法的角度来讲具有很高的统一性，笔者希望这样的构造是有价值的．     

一类竞赛试题的新证法

笔者探究不等式推广时得出一个新不等式,不仅对证明多次出现的一类 IMO 试题非常方便,且证明其推广命题或难度较大的一类分式不等式也很简捷,现介绍如下.